提問建構 促進遷移
——以“一次函數、一元一次方程、一元一次不等式”為例

■祁榮圣

函數、方程、不等式是第三學段“數與代數”內容的核心，三者存在密切的內在聯(lián)系，探索三者之間內在聯(lián)系，體現函數“主干”解決問題，是初中學段教學的一個重、難點。下文以“一次函數、一元一次方程、一元一次不等式”教學設計為例，闡釋在不同模型的知識關聯(lián)處，借力“問題驅動”，采用自主問、整體學、類比學的路徑和方式，在探究中體驗、感悟、默會數形結合思想方法，助推學生思維逐步實現常量數學到變量數學的飛躍。

一、學情診斷，因“疑”生問

問題1 如圖1，直線 y=ax+b過點 A（0,2）和點B（-3,0），則方程ax+b=0的解是（ ）。

A.x=2 B.x=0

C.x=-1 D.x=-3

追問1：你是如何思考的？

追問2：可以先設待定系數，再解一元一次方程，但有其他解法嗎？

追問3：如果將上題減少條件，刪除y=ax+b過點A（0,2）這個條件，你還能解決嗎？

設計說明：

1.在形式相同的方程ax+b=0和函數y=ax+b設問，預設大多數學生可能會從數的角度思考，反復代入解決問題。

2.在學生最近發(fā)展區(qū)處追問，緊扣八年級學生求異、求新、好奇的心理特征，喚起探究意識。

3.通過削弱條件探究，原有的認知結構不能解決問題，引發(fā)認知沖突，用疑問點燃思維的火花，達成“為何要學習新知”的目標。

二、把握關聯(lián)，扣“根”追問

活動一：探究一次函數與一元一次方程之間的聯(lián)系。

1.填空：

（1）方程 2x+4=0解是__________；

（2）直線 y=2x＋4與x軸的交點坐標是______；

討論：①上述函數圖像與x軸交點的橫坐標和方程的解之間有什么關系？

②你發(fā)現的關系可以推廣嗎？

③從中你能獲得這類方程的新解法嗎？

3.不解方程，你能說出方程2x+4=4的解嗎？

4.你還能利用圖2的圖像求出哪些一元一次方程的解？

5.通過以上探究，請你說說一次函數與一元一次方程之間的聯(lián)系。

圖2

活動二：探究一次函數與一元一次不等式之間的聯(lián)系。

觀察圖2中一次函數y=2x+4的圖像。

問題1：當圖像在x軸上方時，圖像上點的坐標有什么特征？

問題2：你能把圖像在x軸上方時對應的函數值y滿足的數量關系用式子表示嗎？

問題3：求2x+4＞0解集，你有幾種方法？

問題4：你能發(fā)現一次函數y=kx+b與一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的關系嗎？

問題5：你能說出不等式2x+4＜4的解嗎？

問題6：仿照活動一的探究，你還能提出哪些不等式并用圖像求解集？

問題7：已知一次函數y=kx+b，當x=-3時，y=0；當x=0時，y=-4；求當 x≥0時y的范圍。

設計說明：

1.活動一遵循特殊到一般的認知順序，通過實例發(fā)現一次函數與x軸交點的橫坐標就是與其形式相同的一元一次方程的解，提出“你發(fā)現的關系可以推廣嗎”，發(fā)展“用字母表示數”的概括意識。利用新方式識圖轉化，刺激主體產生“憤”與“悱”的預期狀態(tài)，通過示范“你能觀察圖像說出2x+4=4的解，你還能說出哪些方程的解”，層層追問，在知識遷移運用處拓展問題，不斷“啟”而“發(fā)”之。在函數、方程兩種刻畫現實世界數量關系本源聯(lián)系處引導學而生“疑”，思而破“疑”。

2.活動二在學生會用函數圖像以形定數，把握函數方程聯(lián)系的基礎上，類比設計問題，在函數主路徑解方程的儲備下，觀察思考不等關系是否可以類似地用函數圖像求解，引導學生把握關聯(lián)，在本質處遷移感悟學習方法。豐富問題呈現的方式，從教師指定問，到學生自主提出問題，開放提問，比如設計中“仿照活動一的探究，你還能提出哪些不等式并用圖像求解集”?！安坏仁脚c函數”和之前學習的“方程與函數”有何聯(lián)系？同與不同在何處？這種抽絲剝繭式的追問設計逼近研究本質，在數學本源處追問，在類比學習思辨中概括。問題7主要是引導學生體驗感悟數形不同角度解決問題的繁簡，在對比思辨中主動建構函數圖像破解一類方程不等式新方法，在“數”還是“形”求解選擇中優(yōu)化思維，從x軸為界線的不等式探究、頓悟關于y軸為界的含x的不等式解法，完成知識應用創(chuàng)新。

三、建構學法，拓“深”精問

問題1：某校初中部的同學們在老師的帶領下，乘坐客車來到距離學校35km的高鐵北站，然后乘坐動車前往孔子故里山東曲阜和泰山，開展“圣賢瞻仰，名山登頂”的戶外實踐活動。假設動車以200km/h的速度勻速行駛了xh。試根據上述情境，提出一些問題，并用一次函數、一元一次方程或一元一次不等式求解。

問題2：已知y1、y2關于x的函數圖像在坐標系中有三個交點，交點橫坐標如圖3所示，則當y1≥y2時，自變量x的取值范圍是____________。

設計說明：

1.問題1改編自教材問題情境，通過熟悉的行程情境設計開放問題，將提問的主動權交給學生，這種開放就是堅持“用教材教”，而不是“教教材”的原則，是堅信“培養(yǎng)學生提出問題比解決問題更重要”理念，可以“由淺到淺”，也可“由淺入深”的結果放開，兼顧學生學習的分層，基于學生立場的重心下放和信息回收，有效的應用、回應、反饋、感知，在頂層設計中充分預設各種可能，在課堂生成中逐步發(fā)展數學的應用意識。

圖3

2.問題2選用未學過的二次函數與一次函數相交的圖像，在新情境中激發(fā)主體探究欲望。這種問題設計立足于已知的三個一次關系理解，著力函數“主干”研究方程、不等式的核心方法，走向自主探究未知函數圖像解不等式的知識創(chuàng)新應用。這種數學內部的問題情境符合學生認知需要，引領學生在品嘗“函數味道”中提升數學內容問題化的寬度和深度，在問題解決中進一步體驗、感知，頓悟數形結合的思想方法，延伸運用本課相關數學概念的本質聯(lián)系。從已知到未知的問題驅動，形成研究本章核心問題的基本套路。

四、自主梳理，反思“自問”

作業(yè)：

1.必做題：圍繞所學內容，選取自己喜愛的一道試題，以“三個一次的邂逅”為題完成反思小文章。

2.選做題：結合我們判斷一次函數y=kx+b圖像所在象限的經驗，函數y=x2-的圖像不經過（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

設計說明：

問題1的設計關注學生學習過程中的個體體驗，引導學生自覺地從數學的角度看待問題。問題2著力于整章方法提純，融列表、描點、繪圖像直觀認識于一體，解決“學得怎么樣”的目標檢測。分層問題設計滿足不同層次學生用數學方法、數學思維思考問題、解決問題的需求，在數形結合中發(fā)展形象思維與抽象思維。

五、幾點思考

1.開放提問方式，追問激活思維。

章建躍博士在文中指出：“課堂教學中必須注意教師主導取向的講授式與學生自主取向的活動式的結合，要把引導學生提問，使學生在獨立思考后提出有質量的數學問題作為學生活動的重要內容?！苯處煈摪焉朴谔釂栕鳛橐豁椫匾臄祵W基本功修煉，其中在何處發(fā)問，能否提出好的問題至關重要。好的問題情境能體現“富而不臃，簡而不透”的特點。

教學設計案例通過具體情境的一次函數一般式及圖像，研究一元一次方程一般式的解，在學生已有待定系數法知識儲備處設計問題，復習回顧中通過追問“削弱條件你還能求出方程的解嗎”，為從數向形過渡，以形助數，為學生直接讀圖像獲取新方法預設認知沖突，從而引發(fā)探究欲望，再設特殊的問題探究情境，為尋找圖像數量的本質關聯(lián)提供例證，在不完全歸納中形成猜想，緊扣變量轉化為常量這一本源揭示數形兩種解法的實質同源，“不解方程求方程2x+4=4的解。你還能利用圖像求出哪些一元一次方程的解？”通過開放的問題追問，鞏固認知，即學即用，為后繼不等式與函數關聯(lián)提供學法結構。教師引導學生學會提出問題，形成發(fā)問的學法建構的方法可以從課本例題出發(fā)，交換題設結論再發(fā)問。比如，如果知道方程ax+4=4的解為x=0，你能判定函數y=ax+4一定過哪個定點嗎？可以改變試題呈現質態(tài)，從運動的視角發(fā)問；減少或增加條件探究設問結論的變化問：板塊二的例題中將函數y＝2x+4旋轉過定點（0，-2），你能不解方程觀察圖像直接寫出方程2x+4=-x-2的解嗎？再如運用從特殊到一般的概括性推廣問：“你還能利用圖像求出哪些一元一次方程的解？請你說說一次函數與一元一次方程之間的聯(lián)系？”

聯(lián)系學習內容，循教材呈現的邏輯順序，這個方法能否運用到其他問題的解決之中？這種變化引申，獲得的益處在于提供范例，每一種變式發(fā)問都有利于激發(fā)學生的探索精神，開拓思維的廣闊性，更在于各種變式之間的共性與個性水乳交融。結論的相似、學法的相通，隨著一個個問題的發(fā)散，學生會在問題意識的形成之中積極思考，逐步學會思考發(fā)問，在搭建類比學法的“腳手架”的過程中把已有的事和物與未知的事和物聯(lián)系起來，遷移找到解決新問題的方法，培育一種觸類旁通的類比學習的思維方式。

2.創(chuàng)新設計互動，開放探究生成。

當下課堂流行的問法：你有什么發(fā)現？你能提出哪些問題？你有什么想法……這種開放的設計，立足于學情，以生為本，廣泛發(fā)散，旨在培養(yǎng)學生的問題意識，訓練思維的發(fā)散性。教師需要在學生有價值的問題處引申拓展，扣“根”追問，拓“深”精問，有序指導學生進行實質性的思考體驗。教師要練就“問出去，能收回頭”收放自如的基本功，激發(fā)學生在自主問題驅動下的探索熱情，在臨近最近發(fā)展區(qū)處打造生成課堂、生本課堂，讓課堂成為學生認識事物本質的主陣地，讓有意義的學習在課堂“真正”發(fā)生。比如教學設計：“動車以200km/h的速度勻速行駛了xh。試根據上述情境，提出一些問題，并用一次函數、一元一次方程或一元一次不等式求解?！薄耙阎獃1、y2關于x的函數圖像在坐標系中有三個交點，交點橫坐標如圖，則求y1≥y2時自變量x的取值范圍?！边@些問題的架構實現了書本知識與學生現實生活、個人經驗、體驗實踐的溝通。開放的教學使學生生成基礎資源，在掃除困難與障礙中豐富認識和體驗，提升思維的層次，從已知到未知的資源利用使學生生成新的認識，有效避免“小問題設計小步走、問題缺乏挑戰(zhàn)力度、學生的思維被動”的“假開放”的教學質態(tài)。在充分了解學生前在狀態(tài)、潛在狀態(tài)和發(fā)展可能的前提下，通過創(chuàng)新設計，打造互動生成的教學環(huán)境，以追求師生真實的生命成長。

鄭毓信教授倡導把善于舉例、善于提問、善于反思作為數學教師必須掌握的三項基本功，并提倡把設計作為一個案例，應該跳出單純的教學設計，深入地思考相應的普遍性問題。從上述案例可以管窺函數、方程、不等式聯(lián)系的主流教學，類比地搭建學習通法。比如教學反比例函數圖像與性質l例3（蘇科版八下P131），可以設計如下對比反思問題：“已知反比例函數y=，指出當x＜-1時，y的取值范圍”與“已知一次函數y=2x-1，指出當x＜-1時，y的取值范圍”這兩種情況有什么不同。讓學生在類比相同思想方法中，關注兩類函數圖像的不同點，感悟函數本質。

3.滲透思想方法，自主遷移感悟。

在拓展延伸環(huán)節(jié)，通過分層作業(yè)，學生在完成反思小文章中自主梳理學法，完成個體學法建構。教師通過開放自主的問題選擇，放手讓學生提煉數形結合的基本思想，感受數學問題解決就是一個個不斷轉化的過程，為提純數學思想方法（本節(jié)課的核心——數形結合、轉化），建立問題解決之模型，揭示數形關聯(lián)、形在其內、模型有法的教學方式本質。照顧到不同層次學生發(fā)展的需求，設置陌生函數y=x2-，圖像不經過哪個象限的問題，再次回歸函數章節(jié)學法本質，在學生畫圖解決問題過程中融入列表、描點、圖像三位一體的解題方法，問題設計“跳一跳”學生能夠“夠得到”，“示意圖”的核心方法，請形上數，以形助數，數形統(tǒng)一，讓學生在問題螺旋式上升的探究中感受“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，在濃濃的函數味道中強化函數學法，切實感受數學之美。

教無定法，教師通過把握教學的“度”來設計創(chuàng)新，需要以問題情境為載體，圍繞數學活動，在師生互問互動中引導學生“悟道”，循“知識理解——知識遷移——知識創(chuàng)新”的序，關注探究中學生深度學習是否發(fā)生，“思維想象的教學”是否落地生根，這些應該成為培育學生核心素養(yǎng)下數學課堂的永恒追求。