G -半預(yù)不變凸函數(shù)的新性質(zhì)

李 婷

(山西大學(xué) 商務(wù)學(xué)院，山西 太原 030031)

近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對凸函數(shù)和廣義凸函數(shù)進(jìn)行研究，提出了一系列的廣義凸函數(shù)，并研究了這些廣義凸函數(shù)的性質(zhì)及其在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用.其中，1988年，Weir和Mond在文獻(xiàn)[1]中定義了預(yù)不變凸函數(shù)；1992年，Yang等在文獻(xiàn)[2]中提出了半預(yù)不變凸函數(shù)的概念，這是一種比預(yù)不變凸函數(shù)更廣的函數(shù)；接著，Antczak在文獻(xiàn)[3]和[4]中引入了G-預(yù)不變凸函數(shù)的概念，并討論了其在非線性規(guī)劃中的幾個應(yīng)用；2013年，Peng等在文獻(xiàn)[5]和[6]中先后定義了G-半預(yù)不變凸函數(shù)和半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)，并研究了它們的性質(zhì)和應(yīng)用；2015年，李科科等在文獻(xiàn)[7]中又提出了一類新的廣義凸函數(shù)——嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)，并研究了它的性質(zhì)及其在優(yōu)化問題中的應(yīng)用.

在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文主要研究其中一類廣義凸函數(shù)——G-半預(yù)不變凸函數(shù)，首先討論了G-半預(yù)不變凸函數(shù)與上半連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系，然后在中間點的嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸性條件下，根據(jù)半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸性，獲得了嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)的一個充分條件.

1 基本概念

定義1[2]稱集合K?Rn是關(guān)于η(x，y，λ)的半不變凸集，若存在一個向量值函數(shù)

η:Rn×Rn×[0，1]→Rn(當(dāng)x≠y時，η≠0)，對?x，y∈K，?λ∈[0，1]，都有y+λη(x，y，λ)∈K.定義2[5]設(shè)集合K?Rn是關(guān)于η：X×X×[0，1]→Rn的半不變凸集，f:K→R是定義

K上的函數(shù)，如果存在連續(xù)遞增函數(shù)G:If(K)→R和向量函數(shù)η:Rn×Rn×[0，1]→Rn，使

f(y+λη(x，y，λ))≤G-1(λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))) .

則稱f是K上關(guān)于η的G-半預(yù)不變凸函數(shù).

f(y+λη(x，y，λ))

則稱f是K上關(guān)于η的嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù).

f(y+λη(x，y，λ))

則稱f是K上關(guān)于η的半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù).

為了討論G-半預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)，需要引入下面的條件：

條件B1設(shè)z1=y+λ1η(x，y，λ1)，z2=y+λ2η(x，y，λ2)，則?x，y∈K，?α，λ1，λ2∈[0，1]，有

z1+αη(z2，z1，α)=y+((1-α)λ1+αλ2)η(x，y，(1-α)λ1+αλ2) .

條件B2設(shè)z=y+λη(x，y，λ)，則?x，y∈K，α，λ∈[0，1]，有

z+αη(x，z，α)=y+((1-α)λ+α)η(x，y，(1-α)λ+α) .

條件B3設(shè)集合K?Rn是關(guān)于η：Rn×Rn→Rn的半不變凸集，則?x，y∈K，有

f(y+η(x，y，1))≤f(x) .

這些條件是Zhao在文獻(xiàn)[8]中提出的.

2 G -半預(yù)不變凸函數(shù)的新性質(zhì)

本節(jié)我們將討論G-半預(yù)不變凸函數(shù)與上半連續(xù)函數(shù)之間的關(guān)系.

引理1設(shè)K?Rn是關(guān)于η：X×X×[0，1]→Rn的半不變凸集，η(x，y，θ)滿足條件B1，f:K→R滿足條件B3，且?x，y∈K，?α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))≤G-1[αG(f(x))+(1-α)G(f(y))].

(1)

則集合A={λ∈[0，1]|f(y+λη(x，y，λ))≤G-1[λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))]，?x，y∈K}在

[0，1]上稠密.

證明 因為f(y)≤f(y)和f(y+η(x，y，1))≤f(x)(條件B3)，所以0，1∈A.

假設(shè)A在[0，1]上不稠密，那么存在λ0和λ0的一個領(lǐng)域N(λ0)，使得

A∩N(λ0)=?.

(2)

令

λ1=inf{λ∈A|λ≥λ0}.

(3)

λ2=sup{λ∈A|λ≤λ0}.

(4)

由(2)式，有0≤λ2<λ1≤1 .又max{α，1-α}∈(0，1)，選取u1，u2∈A，使u1≥λ1，u2≤λ2，且

max{α，1-α}(u1-u2)<λ1-λ2.

(5)

從而有

u2≤λ2<λ1≤u1.

y+u2η(x，y，u2)+αη(y+u1η(x，y，u1)，y+u2η(x，y，u2)，α) .

于是由(1)式，有

G-1{αG[f(y+u1η(x，y，u1))]+(1-α)G[f(y+u2η(x，y，u2))]} .

又u1，u2∈A，所以

f(y+u1η(x，y，u1))≤G-1[u1G(f(x))+(1-u1)G(f(y))].

f(y+u2η(x，y，u2))≤G-1[u2G(f(x))+(1-u2)G(f(y))] .

從而

G-1{α[u1G(f(x))+(1-u1)G(f(y))]+(1-α)[u2G(f(x))+(1-u2)G(f(y))]}=

G-1{(αu1+(1-α)u2)G(f(x))+[1-(αu1+(1-α)u2)]G(f(y))}=

這與(3)式矛盾.

這與(4)式矛盾.

綜上可知，A在[0，1]上稠密.

定理1設(shè)K?Rn是η：X×X×[0，1]→Rn的開半不變凸集，η(x，y，θ)滿足條件B1，B2，且?

f:K→R在K上是上半連續(xù)的，且滿足條件B3，則f是K上關(guān)于η的G-半預(yù)不變凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?x，y∈K，?α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))≤G-1[αG(f(x))+(1-α)G(f(y))] .

證明 必要性由G-半預(yù)不變凸函數(shù)的定義可直接得到.下證充分性.

(6)

取

則yn→y0(n→) .

由于K是開半不變凸集，所以當(dāng)n充分大時，有yn∈K.又由條件B2得：

(7)

又由f的上半連續(xù)性，有?ε>0，?N>0，使得當(dāng)n>N時，有

f(yn)≤f(y0)+ε

故由(7)式和λn∈A，有

f(z)=f(yn+λnη(x0，yn，λn))≤G-1[λnG(f(x0))+(1-λn)G(f(yn))]≤

由于ε>0可以任意小，所以有

上式與(6)式矛盾.故f不是K上關(guān)于η的G-半預(yù)不變凸函數(shù).

定理2設(shè)K?Rn是η：X×X×[0，1]→Rn的半不變凸集，η(x，y，θ)滿足條件B1，B2，且?

f:K→R在K上是上半連續(xù)的，且滿足條件B3，則f是K上關(guān)于η的G-半預(yù)不變凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?x，y∈K，?α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))≤G-1[αG(f(x))+(1-α)G(f(y))].

(8)

證明 必要性由G-半預(yù)不變凸函數(shù)的定義可直接得到.下證充分性.

(9)

令

g(λ)=f(y+λη(x，y，λ))-G-1[λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))] .

因f上半連續(xù)，則g(λ)在[0，1]上也上半連續(xù)，且

再由f滿足條件B3，有

g(1)=f(y+η(x，y，1))-f(x)≤0 .

令

則由g(λ)的上半連續(xù)性得g(λ1)=g(λ2)=0，即

f(y+λ1η(x，y，λ1))-G-1[λ1G(f(x))+(1-λ1)G(f(y))]=0.

f(y+λ2η(x，y，λ))-G-1[λ2G(f(x))+(1-λ2)G(f(y))]=0 .

從而

G[f(y+λ1η(x，y，λ1))]=λ1G(f(x))+(1-λ1)G(f(y)).

(10)

G[f(y+λ2η(x，y，λ1))]=λ2G(f(x))+(1-λ2)G(f(y)).

(11)

令x*=y+λ1η(x，y，λ1)，y*=y+λ2η(x，y，λ2)，則?β∈(0，1)，有λ1<βλ1+(1-β)λ2<λ2.

由條件B1，有

y*+βη(x*，y*，β)=y+λ2η(x，y，λ2)+βη(y+λ1η(x，y，λ1)，y+λ2η(x，y，λ2)，β)=

y+[βλ1+(1-β)λ2]η(x，y，βλ1+(1-β)λ2) .

從而由(9)、(10)及(11)式，有

f(y*+βη(x*，y*，β))=f{y+[βλ1+(1-β)λ2]η(x，y，βλ1+(1-β)λ2)}>

G-1{[βλ1+(1-β)λ2]G(f(x))+[1-(βλ1+(1-β)λ2)]G(f(y))}=

G-1{β[λ1G(f(x))+(1-λ1)G(f(y))]+(1-β)[λ2G(f(x))+(1-λ2)G(f(y))]}=

G-1{βG(f(x*))+(1-β)G(f(y*))} .

上式與(8)矛盾.故f不是K上關(guān)于η的G-半預(yù)不變凸函數(shù).

注：定理2沒有用到定理1中X是開集這一條件.

3 嚴(yán)格G -半預(yù)不變凸函數(shù)的一個充分條件

本節(jié)我們在中間點的嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸性條件下，利用半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸性，得到了嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)的一個充分條件.

定理3設(shè)K?Rn是η：X×X×[0，1]→Rn的半不變凸集，η(x，y，θ)滿足條件B1，B2，且?

f:K→R在K上是關(guān)于η的半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)，則?x，y∈K，x≠y，?α∈(0，1)，使得

f(y+αη(x，y，α))

(12)

則f是K上關(guān)于同一η的嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù).

證明 假設(shè)f不是K上關(guān)于的嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)，則?x，y∈K，x≠y，?λ∈(0，1)，使得

f(y+λη(x，y，λ))≥G-1[λG(f(x))+(1-λ)G(f(y))].

(13)

令z=y+λη(x，y，λ)，

如果f(x)≠f(y)，由f是K上關(guān)于η的半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)知，

f(z)=f(y+λη(x，y，λ))

這與(13)式矛盾，故f(x)=f(y) .于是(13)式變?yōu)椋?/p>

f(z)≥f(x)=f(y).

(14)

(15)

由f是K上關(guān)于η的半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)和(15)式，有

G-1[uG(f(y))+(1-u)G(f(y))]=G-1[G(f(y))]=f(y)

上式與(14)式矛盾.

由f是K上關(guān)于η的半嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù)和(15)式，有

G-1[vG(f(y))+(1-v)G(f(y))]=G-1[G(f(x))]=f(x) .

上式與(14)式矛盾.

綜上可知，f是K上關(guān)于η的嚴(yán)格G-半預(yù)不變凸函數(shù).