一個豎直面輕繩模型圓周運動問題的深入分析

李 寧 丁慶紅 肖偉華

(1. 北京市第九中學,北京 100041; 2. 北京教育學院石景山分院，北京 100043; 3. 北京景山學校遠洋分校,北京 100040)

1 問題的提出

豎直面內的圓周運動輕繩模型作為圓周運動的一個典型應用,可以綜合考查受力分析,向心力方程,豎直面內圓周運動的臨界條件,兩個狀態(tài)之間的能量關系等知識,并且容易與其它運動模型或電磁場等組合,成為考試命題的一個熱點內容．

在教學中,遇到這樣一個常規(guī)輕繩模型問題:質量為M的人抓住長L的輕繩,繩的另一端系著質量為m的小球,現(xiàn)讓小球在豎直平面內做圓周運動,已知小球通過最高點時速率為v0,則此時人對地面的壓力是多大?

圖1 問題情境圖

不難看出,當小球通過最高點時,人對地面的壓力小于人的重力,但此時人對地面的壓力是最小嗎?小球轉到什么位置時人對地面的壓力最大呢?是在最低點嗎?這幾個問題值得進一步深入研究．

2 一個常規(guī)輕繩模型問題的解決

解法1:分別隔離小球和人分析,根據(jù)牛頓第二定律求解.

對小球,在最高點受力分析如圖2所示.

圖2

由牛頓第二定律可得

圖3

解法2:將小球和人作為質點組,根據(jù)質點組的牛頓第二定律求解.

圖4

對小球和人組成的質點組,受力分析如圖4所示.

3 小球通過最高點時,人對地面的壓力是否最小

圖5

3.1 根據(jù)動能定理和牛頓第二定律求拉力F的豎直分量的表達式

設當小球運動到與豎直方向夾角為α時,小球的速度為v,人對地面的壓力最小,此時繩的拉力為F.

由動能定理可得

由牛頓第二定律可得

整理可得

繩子拉力的豎直分量

3.2 求Fcosα的極值

3.3 關于Fcosα的極值討論

根據(jù)三角函數(shù)知識可知:當0°≤α≤90°時,|cosα|≤1.

故當cosα=1,即α=0°時,Fcosα取最大值,

不難得出人對地面最小壓力

Nmin′=Mg-(Fcosα)max.

此時人對地面最小壓力

Nmin′=Mg-(Fcosα)max，

4 人對地面的壓力最大及最大值的表達式

圖6

4.1 人對地面的壓力最大時,尋找小球的位置

設當小球運動到與豎直方向夾角為β時,小球的速度為v,人對地面的壓力最小,此時繩的拉力為F.

由動能定理可得

繩子拉力的豎直分量

4.2 求Fcosβ的極值

4.3 關于Fcosβ的極值討論

根據(jù)三角函數(shù)知識可得當0°≤β≤90°時,|cosβ|≤1,故當cosβ=1,即β=0°,小球轉到最低點時,Fcosβ具有最大值．

此時人對地面最大壓力

Nmax′=Mg+(Fcosβ)max，

4.4 直接研究小球從最高點運動至最低點

由分析可知:小球轉到最低點時,拉力豎直向上,具有最大值．

對小球從最高點至最低點:

整理可得

此時人對地面最大壓力Nmax′=Mg+Fm，

5 結論

(1) 當小球通過最高點時,人對地面的壓力小于人的重力,但此時人對地面的壓力不一定是最小.