明確“初末位置” 構(gòu)建“直線邊界”
——對(duì)稱規(guī)律在有界磁場(chǎng)中的巧妙應(yīng)用

李 進(jìn)

(山東省鄒平市第一中學(xué),山東 鄒平 256200)

1 問題的提出

2018年全國(guó)卷高考物理試題迎來(lái)了“帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)”的全面回歸,全國(guó)Ⅰ卷和全國(guó)Ⅱ卷均在第25題進(jìn)行重點(diǎn)考查,總分20分,全國(guó)Ⅲ卷將其放在第24題,總分12分．該問題情境題目多、題型多、綜合性強(qiáng)、難度大,能考查學(xué)生的分析綜合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力．筆者在多年高三物理教學(xué)工作中發(fā)現(xiàn),許多物理參考資料都是按照有界磁場(chǎng)的形狀對(duì)題目進(jìn)行所謂的歸類,如“圓形磁場(chǎng)”、“三角形磁場(chǎng)”、“平行邊界磁場(chǎng)”等．仔細(xì)分析就能發(fā)現(xiàn),這些名詞對(duì)解題并沒有什么實(shí)際意義．

筆者發(fā)現(xiàn),在粒子入射點(diǎn)和出射點(diǎn)確定的情況下可以進(jìn)行如下處理:先連結(jié)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)構(gòu)建“直線邊界”,然后利用粒子進(jìn)出直線邊界時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)稱性分析問題．

2 帶電粒子進(jìn)出直線邊界磁場(chǎng)時(shí)軌跡的對(duì)稱性

從直線邊界射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的粒子,從同一直線邊界射出時(shí),入射時(shí)速度與邊界的夾角同出射時(shí)速度與邊界的夾角相等,且等于圓心角的一半．

(1) 粒子速度與邊界成直角時(shí),粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周后垂直于邊界射出磁場(chǎng)[如圖1(a)所示].

(2) 粒子速度與邊界成鈍角時(shí),粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段優(yōu)弧后射出磁場(chǎng)[如圖1(b)所示].

(3) 粒子速度與邊界成銳角時(shí),粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段劣弧后射出磁場(chǎng)[如圖1(c)所示]．

以上是所有參考資料里面都有的內(nèi)容,其弊端是會(huì)讓學(xué)生認(rèn)為只有題目中出現(xiàn)如圖1所示的直線邊界才能用以上結(jié)論處理問題,其實(shí)并非如此,以下將舉例說(shuō)明．

圖1

3 舉例

在各種形狀的有界磁場(chǎng)中,只要粒子的初末位置確定時(shí),連結(jié)初末位置則可以構(gòu)建出“直線邊界”,進(jìn)而運(yùn)用以上規(guī)律巧妙地分析問題．

圖2

例1.(2016年全國(guó)卷Ⅱ第18題)一圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向與筒的軸平行,筒的橫截面如圖2所示．圖中直徑MN的兩端分別開有小孔．筒繞其中心軸以角速度ω順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．在該截面內(nèi),一帶電粒子從小孔M射入筒內(nèi),射入時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與MN成30°角.當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90°時(shí),該粒子恰好從小孔N飛出圓筒.不計(jì)重力.若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞,則帶電粒子的比荷為

圖3

以上方法的優(yōu)點(diǎn)在于,連接M與N1后,將該連線看做直線邊界,根據(jù)圓心角等于弦切角的2倍這一幾何關(guān)系迅速得出運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角的大?。?/p>

圖4

例2.如圖4所示,在邊長(zhǎng)為2a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為-q(q>0)的帶電粒子(重力不計(jì))從AB邊的中心O以速度v進(jìn)入磁場(chǎng),粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與AB邊的夾角為60°,若要使粒子能從AC邊穿出磁場(chǎng),則勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B需滿足

解析:解答該題的關(guān)鍵是判斷帶電粒子能否經(jīng)過C點(diǎn),若不能經(jīng)過C點(diǎn),則要判斷何時(shí)軌跡與AC邊相切．許多學(xué)生正是因?yàn)闊o(wú)法得出以上結(jié)論而不能正確解答該題．

圖5

其實(shí),我們可以做如下處理:如圖5所示,假設(shè)粒子能夠經(jīng)過C點(diǎn),連結(jié)OC并延長(zhǎng),將其做為直線邊界,則入射速度與邊界夾角為30°,根據(jù)帶電粒子進(jìn)出直線邊界磁場(chǎng)時(shí)軌跡的對(duì)稱性可知,從C點(diǎn)出射時(shí)速度與邊界夾角也是30°,從而得出經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度沿AC方向,且圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°．

圖6

例3.如圖6所示,紙面內(nèi)有E、F、G3點(diǎn),∠GEF=30°,∠EFG=135°,空間有一勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外．先使帶有電荷量為+q的點(diǎn)電荷a在紙面內(nèi)垂直于EF從F點(diǎn)射出,其軌跡經(jīng)過G點(diǎn);再使帶有同樣電荷量的點(diǎn)電荷b在紙面內(nèi)與EF成一定角度從E點(diǎn)射出,其軌跡也經(jīng)過G點(diǎn),兩點(diǎn)電荷從射出到經(jīng)過G點(diǎn)所用的時(shí)間相同,且經(jīng)過G點(diǎn)時(shí)的速度方向也相同．已知點(diǎn)電荷a的質(zhì)量為m,軌道半徑為R,不計(jì)重力,求:

(1) 點(diǎn)電荷a從射出到經(jīng)過G點(diǎn)所用的時(shí)間;

(2) 點(diǎn)電荷b的速度的大?。?/p>

圖7

解析:如圖7所示,該題中a、b兩個(gè)粒子分別從F點(diǎn)和E點(diǎn)出發(fā)并均經(jīng)過G點(diǎn),則分別連接FG和EG并延長(zhǎng),將它們看做直線邊界．a(chǎn)粒子入射時(shí)速度與邊界夾角為45°,根據(jù)帶電粒子進(jìn)出直線邊界磁場(chǎng)時(shí)軌跡的對(duì)稱性可知,a粒子到達(dá)G點(diǎn)時(shí)速度與邊界夾角∠HGI也是45°(如圖5所示)進(jìn)而得出G點(diǎn)速度方向水平向右．a(chǎn)粒子軌跡的圓心角θ=90°．b粒子到達(dá)G點(diǎn)時(shí)速度方向與a粒子相同,也是水平向右的,該速度與EG連線的夾角為30°,再次根據(jù)帶電粒子進(jìn)出直線邊界磁場(chǎng)時(shí)軌跡的對(duì)稱性可知,b粒子從E點(diǎn)入射時(shí)速度方向與EG連線的夾角也是30°,它的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角θ1=60°．

(1) 設(shè)點(diǎn)電荷a的速度大小為v,由牛頓第二定律得

(1)

由(1)式得

(2)

設(shè)點(diǎn)電荷a做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,有

(3)

如圖7,O和O1分別是a和b的圓軌道的圓心．設(shè)a在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度為θ,b在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度為θ1,由幾何關(guān)系得

θ=90°,θ1=60°.

(4)

故a從開始運(yùn)動(dòng)到經(jīng)過G點(diǎn)所用的時(shí)間t為

(5)

(2) 設(shè)點(diǎn)電荷b的速度大小為v1,軌道半徑為R1,依題意有

(6)

由(6)式得

(7)

由于兩軌道在G點(diǎn)相切,所以過G點(diǎn)的半徑OG和O1G在同一直線上．由幾何關(guān)系和題給條件得

θ1=60°，R1=2R.

(8)

聯(lián)立(2),(4),(7),(8)式,解得

(9)

圖8

(1) 編號(hào)為①的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的初速度大小;

(2) 編號(hào)為②的粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;

圖9

(3) 編號(hào)為③的粒子在ED邊上飛出的位置與E點(diǎn)的距離．

解析: (1) 如圖9所示,設(shè)編號(hào)為①的粒子在正六邊形區(qū)域磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1,將AF看做直線邊界,初速度大小為v1,與AF夾角為60°,根據(jù)帶電粒子進(jìn)出直線邊界磁場(chǎng)時(shí)軌跡的對(duì)稱性可知,軌跡所對(duì)應(yīng)圓心角為120°．

(2) 設(shè)編號(hào)為②的粒子在正六邊形區(qū)域磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r2,線速度大小為v2,周期為T2,則

將AE連線做為直線邊界,初速度與其夾角為30°,根據(jù)帶電粒子進(jìn)出直線邊界磁場(chǎng)時(shí)軌跡的對(duì)稱性可知,運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

(3) 設(shè)編號(hào)為③的粒子在正六邊形區(qū)域磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r3,由幾何關(guān)系可得

4 結(jié)束語(yǔ)

“帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”是高中物理的重點(diǎn),其難點(diǎn)主要在于“幾何關(guān)系”的確定,包括圓心、角度、長(zhǎng)度等．多數(shù)參考資料的試題講解部分對(duì)“幾何關(guān)系”的說(shuō)明一帶而過,不能幫助學(xué)生突破難點(diǎn)．通過以上分析可以看到,“直線邊界”的構(gòu)建可以幫助學(xué)生迅速撥開形狀各異的有界磁場(chǎng)帶來(lái)的“迷霧”,快速找到邊角關(guān)系,進(jìn)而順利解決問題．