LPV模型的動態(tài)壓縮測量辨識算法

邱棚， 李鳴謙， 姚旭日， 翟光杰,*， 王雪艷

(1. 中國科學(xué)院國家空間科學(xué)中心， 北京 100190； 2. 中國科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049；3. 北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 北京 100192)

目前，被控對象的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，而且系統(tǒng)的運(yùn)行條件也不再是穩(wěn)定的、單一的，而是一個動態(tài)的過程，這些過程都表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性特征。比如，多熱源的溫度控制系統(tǒng)、渦扇引擎控制、車輛橫向控制、高速飛行器控制等[1]?？紤]到當(dāng)非線性系統(tǒng)被描述為線性參變 (Linear Parametric Variation, LPV)模型時，很多針對線性系統(tǒng)的控制理論都可以直接推廣使用[2]，LPV模型在分析這類非線性系統(tǒng)中發(fā)揮了重要的作用。因而，LPV模型被大量應(yīng)用于基于模型的控制算法中，如魯棒控制、自適應(yīng)控制和最優(yōu)控制等。

一般來說，一個系統(tǒng)的LPV模型可以通過雅可比線性化、狀態(tài)變換法以及函數(shù)替代法等理論推導(dǎo)的方法得到[3]。不過，在實(shí)際系統(tǒng)中就需要通過系統(tǒng)辨識的方法獲得模型參數(shù)。現(xiàn)有LPV模型辨識方法分為兩類：基于狀態(tài)空間模型[4]和基于輸入輸出模型[5]。針對輸入輸出模型的辨識方法有一般有兩類：全局非線性擬合的辨識算法以及局部滑動窗口辨識算法。第1類算法要求選定一組恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)基底，再計算各基底的權(quán)值，如非線性最小二乘算法[6]。這類算法對參變函數(shù)的近似程度高，但是需要對系統(tǒng)的先驗。第2類算法屬于非參數(shù)化的方法，典型算法如基于支持向量機(jī)辨識算法[7]和基于貝葉斯的辨識算法[8]以及遞推最小二乘算法等。此類算法在參變函數(shù)近似為分段常數(shù)函數(shù)的情況下，可以準(zhǔn)確地辨識得到系統(tǒng)模型。但是，如果當(dāng)參變函數(shù)是線性分段或者類似正弦函數(shù)等非線性的情況下，再利用常數(shù)近似就會引入較大的函數(shù)近似誤差。另外，最小二乘算法求解的基礎(chǔ)是要求辨識數(shù)據(jù)個數(shù)大于未知數(shù)個數(shù)。因而，當(dāng)模型規(guī)模較大時，由于模型參數(shù)大量增加，這就需要辨識數(shù)據(jù)也大量增加。一方面，對于采樣成本高或者系統(tǒng)響應(yīng)時間長的情況，很難獲得大量的辨識數(shù)據(jù)。另一方面，LPV模型的參數(shù)是一直在變化的，因而增加測量數(shù)據(jù)就意味著需要擬合更復(fù)雜的變化情況。如果近似模型維持原狀，就會降低模型的近似程度，也就是模型的近似程度也限制了辨識數(shù)據(jù)的多少。在這種情況下，最小二乘算法很難同時提高計算精度，又減少因為數(shù)據(jù)量增多而帶來的近似誤差。但其實(shí)高階模型中的參數(shù)是存在大量零值的，而非零值是十分有限的。因此，在解決高階模型辨識問題上，利用NNG[9]和LASSO[10]等稀疏估計器是一個有效的辦法。本文基于壓縮測量辨識(Compress Measurement Identification，CMI)算法提出的動態(tài)壓縮測量辨識(Dynamic CMI，DCMI)算法是從兩個方面解決上述問題。其一，利用“勻速變化”和“非勻速變化”模型，提高對參變函數(shù)函數(shù)的近似精度，同時避免函數(shù)基底的選擇。其二，利用壓縮感知理論，通過減少所需的辨識數(shù)據(jù)個數(shù)，從而提高算法在辨識數(shù)據(jù)有限的情況下的辨識精度及參數(shù)規(guī)模。

1 壓縮感知

壓縮感知理論是在2006年由Donoho[11]、Candès和陶哲軒[12]提出的一個高效的采樣理論。近年來，該理論在信號處理領(lǐng)域中，已經(jīng)取得了大量令人矚目的成績[13-14]。信號的稀疏性是壓縮感知的理論基礎(chǔ)。對于一個離散信號x，其稀疏度可以定義為信號非零項的個數(shù)。所以，信號的稀疏度越小，該信號的稀疏程度就越高，那么理論上所需的采樣數(shù)也就越少。而采樣值yi是由測量向量ri分別與信號x進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算得到的，即yi=〈ri,x〉?？紤]多次測量，則測量值y可以寫為矩陣形式，即y=Rx。其中，矩陣R被稱為測量矩陣。如果R是一個單位矩陣，那么壓縮感知采樣就退化為了傳統(tǒng)采樣。在壓縮感知理論中，測量值y的長度要遠(yuǎn)小于原信號x。為了保證這個采樣過程是無損的，Candès和Romberg給出了有限等距性質(zhì)(Restrict Isometric Property，RIP)[15]，即當(dāng)測量矩陣R滿足RIP時，采樣過程就是無損的。S階有限等距常數(shù)δS定義為使得測量矩陣R任選幾列組成的子矩陣RT,T?{1,2,…,N}滿足式(1)的最小值：

(1)

式中：x為任意稀疏信號。當(dāng)有效等距常數(shù)(Restrict Isometry Constants,RIC)滿足0<δS<1時，該測量矩陣認(rèn)為是滿足RIP的[16]。根據(jù)壓縮感知理論可知，欠定方程y=Rx解空間中最稀疏的解就是原信號x。由于這是一個組合問題(NP-Hard)，因此該問題需要利用貪婪的思想進(jìn)行求解。而文獻(xiàn)[17]中提出的正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法是其中的代表，該算法在每次迭代中尋找最匹配的向量，作為信號的支撐基，從而得到原信號的最佳近似。另外，Candès和陶哲軒[12]已經(jīng)證明了，該問題可以轉(zhuǎn)換為在解空間中尋找信號的最小1范數(shù)的解，如下：

s.t.y=Rx

(2)

上述問題可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為典型的線性規(guī)劃問題，那么也就有很多成熟的算法可以使用，比如內(nèi)點(diǎn)法、單純形法等。除此以外， Li和Zhang還提出了可以利用TV范數(shù)重建原信號[18]。

2 LPV模型

本文中采用LPV模型的輸入輸出的表示形式為

y(k)+a1(p)y(k-1)+…+ana(p)y(k-na)=

b1(p)u(k-d-1)+…+bnb(p)u(k-d-

nb)+e(k)

(3)

式中：y(k)為系統(tǒng)的輸出信號；u(k)為系統(tǒng)的輸入信號；參數(shù)p為一個可測量的參量；ai(p)和bi(p)為關(guān)于參數(shù)p的函數(shù)；na和nb分別為模型的輸入和輸出階數(shù)；當(dāng)p=k時，LPV模型也就變化為常見的線性時變(Linear Time-Variant, LTV)模型。在實(shí)際系統(tǒng)中，還要考慮到系統(tǒng)的輸入延遲以及噪聲，在此用e(k)為一個零均值的隨機(jī)噪聲；d為系統(tǒng)時延。上述模型可以改寫為

y(k)=φT(k)θ(p)+e(k)

(4)

式中：φ(k)∈Rna+p由輸入輸出數(shù)據(jù)組成；θ(p)∈Rna+p為系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)，由多個參變函數(shù)組成；l為輸入信號的的長度，而且有d+nb

3 動態(tài)壓縮測量辨識算法

CMI算法是利用壓縮感知理論對線性時不變系統(tǒng)進(jìn)行辨識的一種算法。該算法在應(yīng)用于LPV模型時，則需要加以改進(jìn)。本文受到壓縮感知運(yùn)動成像理論的啟發(fā)[19]，將參數(shù)變化函數(shù)的連續(xù)變化視作多個離散點(diǎn)之前的轉(zhuǎn)換。假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù)θ(p)是滿足唯一性的關(guān)于參數(shù)p的復(fù)雜函數(shù)，即對于每個參數(shù)p都有唯一的狀態(tài)θ(p)與之對應(yīng)。這個假設(shè)在大部分非線性系統(tǒng)中都是滿足的，比如溫度控制系統(tǒng)中的傳熱系數(shù)是與溫度一一對應(yīng)的。但是，當(dāng)系統(tǒng)中包含繼電器特性環(huán)節(jié)，該系統(tǒng)就不滿足這個假設(shè)。對函數(shù)θ(p)進(jìn)行采樣就可得到一系列離散的狀態(tài)點(diǎn){θ(p1),θ(p2),…,θ(pn)}。為了保證采樣的準(zhǔn)確性，采樣過程要滿足Nyquist采樣定理，即采樣頻率要大于θ(p)帶寬的二倍以上。此時，連續(xù)函數(shù)θ(p)被n個離散點(diǎn)分割為n-1段函數(shù)，原辨識問題也就變?yōu)榱藢γ慷魏瘮?shù)的辨識問題。如果可以準(zhǔn)確地辨識得到其中一段的系統(tǒng)狀態(tài)，那么也就可以通過滾動迭代的方法得到局部參變函數(shù)。以下將以辨識系統(tǒng)其中一段，即從離散狀態(tài)θ(p1)到θ(p2)的過程為基礎(chǔ)。

由于參變函數(shù)可能是非線性函數(shù)，所以在離散后的每一段函數(shù)中還是非線性的，也就很難直接對其進(jìn)行辨識。為了簡化這個問題，可以引入函數(shù)θ(p)是連續(xù)n階可導(dǎo)的假設(shè)。此時，該函數(shù)可以利用泰勒級數(shù)在p1和p2的中點(diǎn)處展開，此時參變函數(shù)可以表示為

(5)

式中：θ(n)(p)為θ(p)的n階導(dǎo)數(shù)；Rn(p)為泰勒公式的余項。如果只保留一階導(dǎo)數(shù)，得到原函數(shù)的一個近似線性函數(shù)為

(6)

該線性函數(shù)和原函數(shù)的近似誤差主要取決于高階項的大小。如果采樣頻率遠(yuǎn)大于原信號頻率或者原信號是緩慢變化的，那么利用式(6)來近似就可以得到比較好的結(jié)果。然而，式(6)等號右側(cè)的各項都是未知的，所以可以將式(6)改寫為

(7)

相應(yīng)的，系統(tǒng)的輸出也可以視為由各離散狀態(tài)以及輸入信號而產(chǎn)生的。此時，如果使用傳統(tǒng)的辨識算法，辨識結(jié)果將無法收斂。為了保證近似模型的精度就要提高系統(tǒng)采樣頻率，但系統(tǒng)的參數(shù)一直在改變，所以對于每個狀態(tài)下所獲得的辨識數(shù)據(jù)M的個數(shù)可能小于待辨識的參數(shù)個數(shù)N。所以，該辨識問題相當(dāng)于求解一個欠定的方程組。顯然，用傳統(tǒng)的辨識算法都很難處理這種情況。這就需要用到壓縮感知理論，結(jié)合該理論的CMI算法正好適用于這種采樣數(shù)不足的情況。不過，利用CMI算法對該模型進(jìn)行辨識，仍然會存在很大的誤差。這是因為CMI算法適用于模型不變的系統(tǒng)，而此處系統(tǒng)狀態(tài)是一直在改變的。因此，還需要引入“運(yùn)動”的思想，即系統(tǒng)狀態(tài)一直在變化的，是從一個離散狀態(tài)“運(yùn)動”到另一個離散狀態(tài)的過程。而系統(tǒng)每一時刻的輸入是對這個“運(yùn)動”狀態(tài)的一次觀測，系統(tǒng)的輸出就是狀態(tài)在“運(yùn)動”過程中所產(chǎn)生的。也就是說，系統(tǒng)在任意時刻的輸出，都可以表示為由相鄰的兩個狀態(tài)與輸入信號的卷積所產(chǎn)生的。從之前的敘述可知，系統(tǒng)某一時刻的采樣值y(k)可以認(rèn)為是由臨近的兩個離散狀態(tài)所共同影響，并且兩個狀態(tài)對系統(tǒng)輸出影響的比例是一直在變動的。此時，式(4)可以改寫為

y(k)=(1-λ)φT(k)θ(p1)+

λφT(k)θ(p2)+e(k)

(8)

考慮M次采樣，系統(tǒng)輸出可以表示為

y=(P*Φ)θ(p1)+(Q*Φ)θ(p2)+e=

[P*Φ,Q*Φ][θ(p1),θ(p2)]+e

(9)

式中：pi和qi分別為在k時刻狀態(tài)θ(p1)和θ(p2)在系統(tǒng)輸出中所占的權(quán)重；Φ代表測量矩陣；P、Q為權(quán)重矩陣；e為噪聲向量。其中，權(quán)重矩陣P、Q與Φ的“*”運(yùn)算為Hadamard內(nèi)積，即對應(yīng)項相乘。而且，從本節(jié)描述可知矩陣P、Q與變化速度v相關(guān)。對于“勻速”變化，pi和qi的大小由變化速度v所決定；對于非勻速變化，只需要按照 “非勻速”速度計算得出各項值即可。在此，本文將[P*Φ,Q*Φ]稱為比例測量矩陣，用B表示。而[θ(p1),θ(p2)]整體變?yōu)榱艘粋€新的待辨識參量，其長度為原信號的兩倍，用x表示。那么，式(9)就變?yōu)榱顺Ｒ姷膲嚎s感知的形式，y=Bx+e。通過上述方法，就可以在采集到所有辨識數(shù)據(jù)后獲得系統(tǒng)模型，即離線的對系統(tǒng)進(jìn)行辨識。而此方法是可以很容易推廣到在線辨識的情況的。因為，本文對假設(shè)的各離散狀態(tài)的位置是任意的。所以，只要在采集到了最新的M個辨識數(shù)據(jù)后，就可以辨識得到兩個離散狀態(tài)。而且，通過滾動辨識的方法就可以實(shí)時的獲取最新的系統(tǒng)狀態(tài)，利用該狀態(tài)得到的系統(tǒng)輸出預(yù)測值也是最準(zhǔn)確的。在此給出，系統(tǒng)的一步預(yù)測器：

y*(k+1)=φ(k+1)θ*(k)

(10)

式中：y*(k+1)為一步預(yù)測器在k時刻的預(yù)測值；φ(k+1)為在k+1時刻的系統(tǒng)輸入輸出組成的觀測向量；θ*(k)為辨識算法得到第k時刻的模型參數(shù)。

為了保證采樣的準(zhǔn)確性，就需要測量矩陣滿足RIP。在壓縮感知理論中，Candès和陶哲軒[12]證明了獨(dú)立同分布的隨機(jī)測量矩陣是滿足RIP的。不過，由于線性系統(tǒng)的輸出是用卷積的形式表示的，所以測量矩陣是一個有結(jié)構(gòu)的Toeplitz矩陣。Bajwa等證明了當(dāng)Toeplitz矩陣各項服從高斯分布或者伯努利分布時，Toeplitz矩陣有很大可能滿足RIP，只要測量數(shù)M>O(S2lb(N/S))[20]，N為信號總長度。隨后Rauhut等利用Dudley不等式證明了，當(dāng)測量數(shù)M>O(S1.5·lb(N1.5))[21]，測量矩陣也是滿足RIP的。不過，隨機(jī)測量矩陣對測量數(shù)的要求只要M>O(Slb(N/S))[22]，這是因為Toeplitz矩陣各列之間的相關(guān)度要大于隨機(jī)測量矩陣。對于本文中的比例測量矩陣，該矩陣是由兩個Toeplitz矩陣分別乘以不同的系數(shù)所組成，因而該矩陣相比于測量矩陣，其各列之間的相關(guān)性被進(jìn)一步放大。因此，要想獲得同等準(zhǔn)確的采樣值，所需的測量數(shù)肯定要更多。

4 仿真試驗

假設(shè)待辨識系統(tǒng)模型參數(shù)是稀疏的，即在{ai(p)}和{bi(p)}中一共只有S個位置是非零值，其他位置均為0。鑒于實(shí)際系統(tǒng)中S個非零項的大小和位置都是未知的，因此在每一次仿真中非零項的位置和大小在都會隨機(jī)改變。由于DCMI方法并不要求提前設(shè)定準(zhǔn)確的模型階數(shù)，因而在仿真中選擇的模型階數(shù)足夠大即可。仿真中設(shè)置稀疏度S=6，輸入信號階數(shù)na與輸出信號階數(shù)nb均為20，即信號總長度N=40。

系統(tǒng)的輸入信號u(k)各項是從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布中隨機(jī)選取。為了接近真實(shí)情況，觀測值是包含噪聲的。該噪聲的大小由信噪比(SNR)所衡量。本文比較了DCMI算法、CMI算法以及最小二乘算法對θ(p1)和θ(p2)的變化過程的辨識結(jié)果。此外，由于最小二乘算法在欠定條件下無法獲得唯一解，因而本文在目標(biāo)函數(shù)中增加了正則項來解決。其中，DCMI和CMI的恢復(fù)算法均選用OMP算法來重建模型參數(shù)信號。為了保證仿真結(jié)果的普適性，本文進(jìn)行了200次蒙特卡羅仿真，并且在每次仿真中都會重新隨機(jī)生成一個新的LPV系統(tǒng)模型?？紤]到真實(shí)系統(tǒng)中的模型真值是未知的，因而本文除了比較模型本身外，還比較了利用模型預(yù)測的系統(tǒng)輸出以及實(shí)測系統(tǒng)輸出的差距來評價模型的準(zhǔn)確性。具體指標(biāo)為均方誤差(Mean Square Error，MSE)和平均接近程度(Average Fit Rate，AFR)，該指標(biāo)的具體形式如下：

(11)

4.1 勻速變化模型

假設(shè)兩個系統(tǒng)狀態(tài)θ(p1)和θ(p2)之間的變化是線性的，LPV模型真值和不同算法辨識結(jié)果的對比如圖1所示。雖然已知狀態(tài)變化是線性，但是狀態(tài)中的各參數(shù)的變化速度是不同的，而且其大小也是是未知的。

此時，權(quán)重矩陣P和Q由系統(tǒng)測量值個數(shù)M給出：

(12)

圖1中：Idx表示θ(p)向量中的位置，f(p)表示θ(p)中下標(biāo)為Idx處的參數(shù)值大小。該圖中展現(xiàn)了200次試驗中的兩次結(jié)果，其中圖1(a1)、(b1)為LPV模型θ(p)的真值，其他各分圖分別表示各辨識算法計算得到的模型參數(shù)值?？梢钥闯?，最小二乘算法和CMI算法的結(jié)果是用常數(shù)來近似表示線性函數(shù)，只有DCMI算法辨識結(jié)果與模型真值是一致的。另外，最小二乘算法的結(jié)果在很多原本是零的位置，得到了大量的非零值，即導(dǎo)致了模型的過擬合，引入了大量的誤差。

鑒于在高階LPV模型的辨識問題中，系統(tǒng)輸入輸出的測量值個數(shù)是主要的影響因素，因而隨后重點(diǎn)分析測量數(shù)對各算法的影響。由于在實(shí)際系統(tǒng)中，模型真值一般是未知的，因而也就無法直接對模型進(jìn)行比較。另一個評價的辦法就是給定一個輸入信號，對比系統(tǒng)輸出的實(shí)測值和利用模型得到的預(yù)測值，該預(yù)測值由第3節(jié)中提到的一步預(yù)測器給出。圖2顯示了3種算法在不同測量數(shù)條件下的預(yù)測結(jié)果。其中，最小二乘算法效果最差，而且隨著測量數(shù)的增加，預(yù)測精度反而下降。此外，該算法在測量數(shù)M=40時，由于過擬合導(dǎo)致極大的預(yù)測誤差。相比較而言，CMI算法要強(qiáng)于最小二乘算法，但同樣隨著測量數(shù)的增加，算法的預(yù)測精度反而逐漸下降。這同樣是由于算法沒有考慮到參數(shù)是動態(tài)變化的所導(dǎo)致的。從圖中可以看到，DCMI算法的預(yù)測精度顯然是最高的，但該算法在測量數(shù)不足時表現(xiàn)較差。因為，該算法需要同時重建兩個時刻的模型參數(shù)，其長度是其他兩個算法的2倍。由于觀測本身存在誤差，而且一步預(yù)測器利用的是上一時刻的模型參數(shù)，所以DCMI的預(yù)測值與觀測值還是存在差距的。同時，由于算法計算時間同測量數(shù)多少直接相關(guān)。因而，在仿真中記錄了各算法所花費(fèi)的時間，并發(fā)現(xiàn)算法計算花費(fèi)時間均在在1 ms以內(nèi)，但會隨著模型規(guī)模的增加而增加。

圖1 LPV模型真值和不同算法辨識結(jié)果對比Fig.1 Comparison between truth value of LPV model and identification result of different algorithms

圖2 測量數(shù)對不同算法預(yù)測精度的影響Fig.2 Influence of measurement number on prediction accuracy of different algorithms

接下來，本文對3種算法的魯棒性進(jìn)行了測試。為了避免測量數(shù)在結(jié)果中的影響，在此設(shè)置測量數(shù)M=50，仿真結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，CMI和DCMI兩種算法對白噪聲都有一定的抗干擾能力，而最小二乘算法的對噪聲比較敏感，其結(jié)果偏差較大。當(dāng)噪聲分貝降低到40 dB左右時，噪聲基本不會影響DCMI算法的預(yù)測的準(zhǔn)確性。這是因為CMI算法考慮到了信號本身是稀疏的，所以大部分噪聲在辨識結(jié)果中被抑制了。而且重建算法OMP采用了貪婪的思想，即只考慮了測量矩陣中影響最大的幾列，從而降低了噪聲對恢復(fù)結(jié)果的干擾。

圖3 觀測噪聲對不同算法預(yù)測精度的影響Fig.3 Influence of measurement noise on prediction accuracy of different algorithms

4.2 非勻速變化模型

在4.1節(jié)中考慮了參數(shù)“勻速”變化的情況，本節(jié)將以一個參數(shù)以“勻加速”變化的系統(tǒng)作為例子來說明該方法在參數(shù)非線性變化的LPV系統(tǒng)中的使用。先假設(shè)系統(tǒng)兩個相鄰的離散狀態(tài)θ(p1)和θ(p2)，參數(shù)變化速度v以加速度a均勻增加。由于參數(shù)變化是非勻速的，所以權(quán)重矩陣也就需要根據(jù)測量數(shù)的不同而重新計算。已知，兩個離散狀態(tài)之間的任意狀態(tài)可以由式(7)表示。那么，對于測量初始時刻ts的狀態(tài)θs和最后時刻te的狀態(tài)θe有：

(13)

式中：λe和λs分別為初始時刻和最后時刻兩個狀態(tài)的影響比例。

將式(13)整理可得

(14)

再將式(14)代入式(7)，可得θs和θe之間任意狀態(tài)θ的表示為

(15)

根據(jù)式(15)就可以計算得出DCMI算法所需的權(quán)重矩陣P和Q。由于4.1節(jié)已經(jīng)分析了噪聲的影響，所以為了減少噪聲對結(jié)果的影響，設(shè)置噪聲大小為40 dB。將圖4與圖2對比可以發(fā)現(xiàn)，在線性變化的系統(tǒng)中最小二乘算法和CMI算法的AFR與DCMI算法差距在10%左右，而在非線性變化的系統(tǒng)中的該差距被拉大到20%以上。這是因為最小二乘和CMI算法的本質(zhì)都是靜態(tài)算法，因而算法辨識出的模型參數(shù)是各狀態(tài)的均值。而該參數(shù)均值與當(dāng)前值的差距，在非線性變化過程中被拉大了，所以利用該均值得到的預(yù)測值與觀測值的差距也就被拉大了。這同樣影響到了DCMI算法的準(zhǔn)確性，相比于線性變化情況，此處最佳的AFR要降低了2%左右。而且，可以看出此時算法所需的測量數(shù)要高于線性變化的情況。其原因可能是由于非線性的權(quán)重矩陣使得測量矩陣性質(zhì)變差。

圖4 線性變化情況下測量數(shù)對不同算法預(yù)測精度的影響Fig.4 Influence of measurement number on output prediction accuracy of different algorithms in case of linear variation

5 結(jié) 論

1) 根據(jù)仿真試驗結(jié)果表明，DCMI算法中使用的勻速變化模型可以無損地對線性參變函數(shù)近似，而“非勻速變化”模型對非線性參變函數(shù)近似程度明顯好于傳統(tǒng)算法。

2) 本文提出的DCMI算法在測量數(shù)據(jù)量不足的情況下，仍然能夠得到準(zhǔn)確的LPV模型。另外，DCMI算法可以很好地避免參數(shù)過擬合問題，而無需根據(jù)先驗知識選定恰當(dāng)?shù)哪Ｐ碗A數(shù)。

3) DCMI算法可以有效地抵抗白噪聲對辨識結(jié)果的干擾。