中考幾何探究性問題研究

☉江蘇省宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉 媚

中考數(shù)學(xué)中，幾何問題幾乎占據(jù)“半壁江山”.在幾何試題中，幾何探究性問題最引人注目，在中考中主要出現(xiàn)以下三類問題：圖形變換問題、動態(tài)幾何問題和類比探究問題.本文分別加以舉例說明，供大家參考.

一、圖形變換問題

圖形變換問題主要包括圖形的軸對稱、圖形的平移及圖形的旋轉(zhuǎn).在涉及圖形變化的考題中，解決問題的方法較多，關(guān)鍵在于解決問題的著眼點(diǎn)，從恰當(dāng)?shù)闹埸c(diǎn)出發(fā)，再根據(jù)圖形變換的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律很重要.近幾年各地的中考試題中，有較多問題需要利用圖形變換進(jìn)行思考和求解.這類問題能更好地綜合考查考生的思維品質(zhì)，并具有很好的選拔與區(qū)分功能，是一個炙手可熱的中考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn).

例1（1）如圖1，在直角三角形ABC中，∠ABC是直角，先繞著點(diǎn)B將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1BC1；再繞著點(diǎn)C將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A2B1C.最后連接C1B1，那么C1B1與BC的位置關(guān)系為______.

（2）如圖2，當(dāng)△ABC的最大角為銳角，且∠ABC=α（α≠60°）時，把△ABC仿照（1）中的變換方法旋轉(zhuǎn)α，再連接C1B1，這時C1B1與BC具有怎樣的位置關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

圖1

圖2

圖3

解析：（1）由旋轉(zhuǎn)的有關(guān)性質(zhì)，可知∠C1BC=∠B1CB=90°，BC1=BC=B1C，于是可推出CB1∥BC1，進(jìn)一步可推知四邊形BCB1C1是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)定理就可以推知所求的結(jié)論了.

（2）經(jīng)過點(diǎn)C1作C1E∥B1C交BC于點(diǎn)E，由此得出∠C1EB與∠B1CB相等.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)性質(zhì)知BC1=BC=B1C，且∠C1BC與∠B1CB相等，于是∠C1BC=∠C1EB.因?yàn)榈冉菍Φ冗叄蔆1B=C1E，進(jìn)而C1E=B1C，于是四邊形C1ECB1是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)定理就可得到所求結(jié)論.

（3）設(shè)C1B1與BC之間的距離為h，根據(jù)已知條件就可得到相似比與面積比都等于底邊的比，這樣結(jié)論就容易得出了.

評析：本題考查旋轉(zhuǎn)變換.圖形變換是中考命題中的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，尤其是旋轉(zhuǎn)變換.在具體問題的解答過程中，我們應(yīng)恰當(dāng)應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，抓住圖形特征，開闊思路，化難為易.從本題可以看出，對于圖形的旋轉(zhuǎn)變換問題，我們不僅要學(xué)會借助推理，更要借助直覺和觀察，在分析問題時要變換視角，讓數(shù)學(xué)直覺更敏銳，觀察更入木三分.

二、動態(tài)幾何問題

動態(tài)幾何問題，是探究幾何圖形（如點(diǎn)、直線、三角形、四邊形）運(yùn)動變化過程中與圖形相關(guān)的某些量（如角度、線段、周長、面積及相關(guān)的關(guān)系）的變化或其中存在的函數(shù)關(guān)系的一類開放性題目.解答這類問題的關(guān)鍵是“動中求靜”，并靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識加以解決.這類問題形式多樣，難度較大，在中考中往往以壓軸題的身份出現(xiàn).

圖4

圖5

例2如圖4，矩形ABCD的邊AB上，有一個動點(diǎn)E從A出發(fā)，沿AB→BC方向移動，一旦點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，馬上停止移動，過點(diǎn)E作FE⊥AE，交CD于F點(diǎn)，令點(diǎn)E移動路程的長度為x，F(xiàn)C=y，圖5所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖像，當(dāng)點(diǎn)E在BC上移動時，F(xiàn)C的最大長度是，那么矩形ABCD的面積是（ ）.

解析：點(diǎn)E在BC上時，如圖6，由∠EFC與∠AEB互余，∠FEC與 ∠EFC互 余 ，得∠CFE與∠AEB相等.

在△CFE和△BEA中，∠CFE=∠AEB，∠C=∠B=90°，所以△CFE △BEA.

圖6

評析：幾何與代數(shù)的綜合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，歷來是中考命題熱點(diǎn).本題不僅考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時考查相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形面積的計(jì)算，試題體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、類比探究問題

類比是偉大的引路人.類比思想是數(shù)學(xué)探究中經(jīng)常用到的思想方法，類比探究，也成為中考命題的重要考點(diǎn).在中考試題中，類比探究問題的知識跨越大，綜合性較強(qiáng)，命題立意高，題意新穎，構(gòu)思精巧，追求考題深度和難度.解答這類問題，考生必須有扎實(shí)的基本功，以及善于思考、樂于鉆研的創(chuàng)新能力.應(yīng)在平時加強(qiáng)綜合能力訓(xùn)練，只有這樣，才能以不變應(yīng)萬變，才能在中考中順利攻克這類問題.

例3（1）劉剛同學(xué)特別喜歡數(shù)學(xué)，尤其喜歡鉆研數(shù)學(xué)競賽題，下面這道題請你也不妨來做做看：

假如已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六條邊長分別為3個3和3個5，那么該六邊形ABCDEF的面積你會求嗎？

劉剛同學(xué)采用“同圓中相等的弦所對的圓心角相等”，把六邊形進(jìn)行分割重組，得到圖9.能求出六邊形ABCDEF的面積等于______.

（2）繼續(xù)類比探究：假如圓內(nèi)接八邊形各邊長度分別為4個2和4個3.試求這個八邊形的面積.同學(xué)們，請你仿照劉剛同學(xué)的做法，求出這個八邊形的面積.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

評析：本題主要考查幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換和類比推理能力，考查三角形面積的計(jì)算.本題新穎獨(dú)特，又具有一定的思維量，能全面考查考生分析問題與解決問題的能力，區(qū)分度較強(qiáng).

幾何探究題年年變化，年年出新.在平時復(fù)習(xí)時，我們應(yīng)抓住典型問題，深入研究，這樣我們才能悟出其中的方法，才可以不變應(yīng)萬變.W