主成分分析在投資組合收益中的應(yīng)用
——以地產(chǎn)股為例

蔣心怡

（蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

一、導(dǎo)論

主成分分析法可用來分析高度相關(guān)的變量，它的主要思想是把多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為綜合指標(biāo)，使這些主成分可以反映變量的絕大部分信息，是一種有效的降維方法。已有不少學(xué)者利用此方法對(duì)相關(guān)變量進(jìn)行了研究。岳田利、彭幫柱等用主成分方法建立了分析蘋果酒香氣的評(píng)價(jià)模型，為評(píng)價(jià)果酒香氣開辟了一條客觀的新途徑[1]。程鴻群、鄒敏通過時(shí)序全局主成分分析法建立了中西部房地產(chǎn)投資環(huán)境評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，并用湖北省數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證研究[2]。彭麗將稀疏主成分分析用于股票投資組合的研究中，驗(yàn)證了稀疏主成分分析的有效性[3]。林海明、杜子芳提出了主成分分析綜合評(píng)價(jià)的應(yīng)用條件，使評(píng)價(jià)結(jié)果更具合理性[4]。劉遵雄、唐順發(fā)基于主成分分析，研究了均值—熵指數(shù)在投資組合風(fēng)險(xiǎn)分散中的應(yīng)用，為投資者的分散投資提供了有效的權(quán)衡[5]。

股票投資組合是投資者把資金按一定比例分別投資于不同股票的一種方案，當(dāng)組合中比例確定后，需要考慮各只股票的收益率對(duì)投資組合整體收益的影響。因股票數(shù)量較多，采用主成分分析方法可以有效地減少維數(shù)，以較少的主成分反映絕大部分信息。

以上研究并未考慮用主成分方法研究投資組合的收益敏感度，為了彌補(bǔ)此不足，本文選定股票收益率作為研究對(duì)象，將主成分分析方法應(yīng)用于代表性股票收益率的時(shí)間序列，求解投資組合收益敏感度。

二、投資組合收益的主成分分析方法

主成分分析方法是一種統(tǒng)計(jì)分析方法，將多個(gè)指標(biāo)化為少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的綜合指標(biāo) (所謂主成分) , 筆者將投資組合收益的主成分分析方法敘述如下:

假定一個(gè)投資組合由p個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成, 它們的收益率分別為xi（i=1,2,…,p）。構(gòu)造收益率影響的主成分，首先是通過對(duì)這p個(gè)資產(chǎn)收益率相關(guān)性的研究，構(gòu)造p個(gè)不相關(guān)的綜合指標(biāo)yi（i=1,2,…,p）,其中每一yi都被合理地表示為各原始收益率的線性組合，這樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所反映的信息就不再有重疊；接著，在上述p個(gè)綜合指標(biāo)中選取較少的m (m＜p) 個(gè)綜合指標(biāo), 這m個(gè)綜合指標(biāo)能反映出原指標(biāo)所提供的絕大部分信息,簡(jiǎn)化了影響因素，從而最終簡(jiǎn)便求解對(duì)整體資產(chǎn)組合收益的影響。

方法的數(shù)學(xué)原理和公式推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)[6], 具體步驟如下:

（一）將各變量xi標(biāo)準(zhǔn)化，即對(duì)同一變量減去其均值再除以標(biāo)準(zhǔn)差，以消除量綱影響。

（二）在標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)陣X=(xij)的基礎(chǔ)上計(jì)算原始收益率相關(guān)系數(shù)R=(rij),其中。

（四）在已確定的全部p個(gè)主成分中合理選擇前m個(gè)來實(shí)現(xiàn)最終的評(píng)價(jià)分析, 一般用方差貢獻(xiàn)率解釋主成分jy反映的信息量大小,m的確定以累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到足夠大的值(一般取85%)為原則;

（五）將各資產(chǎn)一個(gè)基點(diǎn)收益率變化相對(duì)應(yīng)的交易組合價(jià)值變化代入各主成分的表達(dá)式中，獲得對(duì)應(yīng)于主成分一個(gè)基點(diǎn)收益率變化的交易組合價(jià)值變化，即組合收益對(duì)主成分的敏感度。

三、地產(chǎn)股收益的主成分分析

（一）投資組合的構(gòu)造

目前中國房地產(chǎn)行業(yè)形勢(shì)復(fù)雜，一方面一、二線城市房源需求持續(xù)增加，另一方面國家調(diào)控加強(qiáng)，倒逼開發(fā)商進(jìn)行自我革新。在此背景下，大型房企強(qiáng)者恒強(qiáng)，龍頭企業(yè)不論是土地儲(chǔ)備還是融資方面，都遠(yuǎn)超中小房企。因此，本文關(guān)注大型上市房企的股價(jià)情況，構(gòu)造投資組合，選擇了具有代表性的八支房地產(chǎn)股票，分別是中國恒大、碧桂園、融創(chuàng)中國、中國海外發(fā)展、華潤(rùn)置地、龍湖集團(tuán)、雅居樂、金地商置。

為了研究主成分對(duì)投資組合收益率的影響，本文采用市值加權(quán)法進(jìn)行了投資組合的構(gòu)造。市值加權(quán)是一種傳統(tǒng)的投資組合構(gòu)建方式，方法是按市值的占比來分配權(quán)重，因此市值高的公司對(duì)應(yīng)的權(quán)重就更大，當(dāng)這些大公司的股票表現(xiàn)良好時(shí)，該投資組合的表現(xiàn)也更好。比如標(biāo)普500指數(shù)就是按照市值進(jìn)行加權(quán)計(jì)算的。

企業(yè)流通市值等于流通股票數(shù)與其股價(jià)的乘積，以2019年5月2日收盤價(jià)為股價(jià)，計(jì)算得各企業(yè)流通市值如表1所示。

表1 8個(gè)房企的流通市值

融創(chuàng)中國 44.326 40.5 1795.2龍湖集團(tuán) 59.504 29.3 1743.48雅居樂集團(tuán) 39.17 11.92 466.91金地商置 158.869 1.04 165.22

假設(shè)總投資金額為100萬，以市值加權(quán)得到向每個(gè)企業(yè)的投資金額如表2所示：

表2.各企業(yè)投資額

設(shè)與第i個(gè)房企一個(gè)基點(diǎn)收益率變化相對(duì)應(yīng)的交易組合價(jià)值變化為εi，第i個(gè)房企權(quán)重為μi，基點(diǎn)a= 0.01%，投資總額I=1000000，則有，將計(jì)算結(jié)果列于表3中：

表3. 與一個(gè)基點(diǎn)收益率變化相對(duì)應(yīng)的交易組合價(jià)值變化（單位：元）

由上表可分析得到，中國恒大收益率變化一個(gè)基點(diǎn)會(huì)觸發(fā)組合價(jià)值增加量為20.81元，中國海外發(fā)展的收益率變化一個(gè)基點(diǎn)則會(huì)觸發(fā)組合價(jià)值增加20.31元，各房企的收益率與投資組合價(jià)值同向變動(dòng)。

（二）主成分的提取

1、樣本矩陣的建立

用choice金融終端軟件得到八支房企股票2016年5月到2019年5月間每天的收盤價(jià)格。然后對(duì)選定的八支房地產(chǎn)股票進(jìn)行收益率的計(jì)算。假定一只股票在第i天的收盤價(jià)為iS，定義iu為在第i天連續(xù)復(fù)利收益率，則有

以中國恒大2016年5月上旬為例，得到的收益率如表4所示：

表4.中國恒大2016年5月上旬收益率

2016年5月至2019年5月間約有739個(gè)交易日，將8只股票的收益率看成一個(gè)739×8的矩陣，因?yàn)槭找媛试谕涣烤V上，所以這里不再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算。

2、協(xié)方差矩陣的建立

要實(shí)現(xiàn)一個(gè)主成分分析，第一步需要從觀測(cè)中計(jì)算出一個(gè)方差-協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱陣，對(duì)角元為方差，第i行和j列的元素為變量i和j的協(xié)方差，協(xié)方差越大，說明兩者相關(guān)性越強(qiáng)。

對(duì)于8只股票的收益率矩陣，分別用Excel中的COVARIANCE.S和VAR.S函數(shù)計(jì)算它們的協(xié)方差和方差，用x1～x8表示8只股票的收益率，得到協(xié)方差矩陣如表5所示：

表5.收益率的協(xié)方差矩陣

從對(duì)協(xié)方差矩陣的觀察可知，碧桂園和融創(chuàng)、恒大和融創(chuàng)、雅居樂和融創(chuàng)的收益率具有一定程度的相關(guān)性，金地與其他企業(yè)的收益率相關(guān)性較弱，由此已對(duì)房企收益率之間的關(guān)系有了一初步認(rèn)識(shí)。

3、特征值與特征向量的計(jì)算

進(jìn)一步計(jì)算協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量。矩陣的特征向量即因子載荷，它是因子所對(duì)應(yīng)的收益率變動(dòng)，而矩陣的特征值為因子得分，它是任意一天收益率變化對(duì)應(yīng)某一因子的系數(shù)。分別用Excel中編寫的Eigenvalues和Eigenvectors函數(shù)求得特征值、 特征向量，如表6、表7中所示：

表6.協(xié)方差矩陣的特征值

表7.協(xié)方差矩陣的特征向量

最高特征值3.73所對(duì)應(yīng)的特征向量PC1為第一主元素，第二高特征值0.58所對(duì)應(yīng)的特征向量PC2為第二主元素，以此類推。由于前四個(gè)特征值的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率已達(dá)87%，故前四個(gè)主成分已反映原始指標(biāo)所提供的絕大部分信息，可利用它們來對(duì)投資組合收益進(jìn)行研究。

主成分的線性表達(dá)式中的原始指標(biāo)系數(shù)在理論上可取對(duì)應(yīng)于特征值的正則化單位特征向量, 而對(duì)應(yīng)于每一特征值的單位特征向量又不是唯一的 (存在符號(hào)上的差異) ，本文選取已求得的特征向量作為系數(shù)，構(gòu)造出符合實(shí)際的前四個(gè)主成分依次為:

由線性表達(dá)式中系數(shù)的大小及符號(hào), 可對(duì)各主成分的實(shí)際意義做如下解釋:第一主成分為所有八項(xiàng)收益率的綜合；第二主成分則與六項(xiàng)收益率成正相關(guān)，而與另兩項(xiàng)負(fù)相關(guān)；第三、四主成分又分別較多體現(xiàn)x2、x3的信息。

（三）組合收益的敏感度分析

對(duì)于以上構(gòu)建的投資組合，計(jì)算它對(duì)四個(gè)主成分的敏感度（對(duì)于主成分的一個(gè)基點(diǎn)變動(dòng)所觸發(fā)的變動(dòng)數(shù)量）。

以第一主成分為例，它的一個(gè)基點(diǎn)變動(dòng)對(duì)投資組合收益影響為:

同理得到其他三個(gè)主成分變動(dòng)一個(gè)單位后，投資組合收益的變動(dòng)，匯總為下表：

表8.組合收益率對(duì)PC1-PC8的敏感度

（四）結(jié)果分析及方法的進(jìn)一步應(yīng)用

通過對(duì)計(jì)算結(jié)果的分析，本文得到以下結(jié)論：

投資組合對(duì)主成分的敏感性暴露程度之比等于表5中投資組合收益變動(dòng)的絕對(duì)值之比，所以投資組合對(duì)第四個(gè)主成分的暴露程度是對(duì)于第三個(gè)主成分的3.55倍。但是基于表3，第三個(gè)主成分的標(biāo)準(zhǔn)差（0.67）是第四個(gè)主成分的標(biāo)準(zhǔn)差（0.61）的1.098倍。某主成分對(duì)于一個(gè)特定的交易組合的重壓性可以通過敏感性暴露和因子得分的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量[7]，采用這個(gè)方法，第二個(gè)主成分的重要性是第一個(gè)主成分的3.23倍。

主成分分析進(jìn)一步可應(yīng)用于檢測(cè)交易中的特定風(fēng)險(xiǎn)，有如下一些方面：

1、投資組合價(jià)值對(duì)其中某一資產(chǎn)的敏感性稱為Delta，利用主成分分析可以計(jì)算其對(duì)某一因子的Delta。

2、期權(quán)投資組合對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)的兩級(jí)偏導(dǎo)數(shù)稱為Gamma，如果直接計(jì)算會(huì)造成信息超負(fù)荷，故可以選擇計(jì)算交易組合價(jià)值對(duì)于主成分分析中前兩個(gè)主要因子的Gamma值。

3、利率產(chǎn)品投資組合的Vega是用來檢測(cè)交易組合價(jià)值對(duì)于波動(dòng)率的暴露程度，與一般檢驗(yàn)波動(dòng)率的方法相比，更簡(jiǎn)便的是采用主成分分析方法，計(jì)算出影響不同產(chǎn)品的波動(dòng)率變化的主要因子，然后可計(jì)算出對(duì)應(yīng)于前兩個(gè)或三個(gè)主要因子的Vega數(shù)量。