May譜序列某些直和項(xiàng)

高姍, 鐘立楠

( 1.太原工業(yè)學(xué)院， 山西 太原 030008； 2.延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

球面穩(wěn)定同倫群的計(jì)算是代數(shù)拓?fù)涞囊粋€(gè)重要問題.目前,球面穩(wěn)定同倫群的計(jì)算方法主要是利用經(jīng)典Adams譜序列.經(jīng)典Adams譜序列的E2-項(xiàng)是Steenrod代數(shù)[1]的上同調(diào). Steenrod代數(shù)的上同調(diào)的計(jì)算可由May譜序列的逼近來完成,因此又可利用May譜序列來計(jì)算經(jīng)典Adams譜序列.復(fù)數(shù)域上緊致半單李代數(shù)的分類可由相關(guān)李代數(shù)的Dynkin圖的分類確定，對(duì)于Dykin圖為An的李代數(shù)的正根系n， 它的模p系數(shù)上同調(diào)群在代數(shù)拓?fù)渲兄苯訛镸ay譜序列的一個(gè)直和項(xiàng).文獻(xiàn)[2]給出了如下定理：設(shè)Dynkin圖為An的李代數(shù)的正根系為n,基為{ei,j, 0≤i

1 預(yù)備知識(shí)

定義2[5]Rn中權(quán)為(i0,i1,…,in)的所有基元素生成的子空間稱為權(quán)子空間R(i0,i1,…,in).

性質(zhì)1[2]權(quán)子空間滿足以下性質(zhì)：

1)若(j0,j1,…,jn)為(i0,i1,…,in)的一個(gè)重新排列，則R(j0,j1,…,jn)和R(i0,i1,…,in)作為線性空間的維數(shù)相等.

2)由鏈復(fù)形Rn到自身的反射同構(gòu)導(dǎo)出：

dimH*(R(i0,i1,…,in))=dimH*(R(n-in,n-in-1,…,n-i0)).

3)由鏈復(fù)形Rn到自身的對(duì)偶同構(gòu)導(dǎo)出：

dimH*(R(i0,i1,…,in))=dimH*(R(n-i0,n-i1,…,n-in)).

4)由鏈復(fù)形Rn到自身的旋轉(zhuǎn)同構(gòu)導(dǎo)出： dimH*(R(i0,i1,…,in))=dimH*(R(i1,…,in,i0)).

定理1[2]對(duì)于m,n≥0， 權(quán)(k0,…,km+1)稱為可約的，如果它為(i0,…,im,j0+m+1,j1+m+1,…,jn+m+1)的一個(gè)置換且保持子序列(i0,…,im)和(j0+m+1,j1+m+1,…,jn+m+1)的順序不變,則有以下權(quán)子復(fù)形的鏈同構(gòu)：

R(i0,…,im,j0+m+1,j1+m+1,…,jn+m+1)?R(i0,i1,…,im)×R(j0,j1,…,jn).

特別地，當(dāng)m=0和n=0時(shí)，有:

R(j0+1,…,jk-1+1,0,jk+1,…,jn+1)?R(j0,j1,…,jk-1,jk,…,jn),

R(i0,…,ik-1,m+1,ik,…,im)?R(i0,…,ik-1,ik,…,im).

定理2[4]在(R4,d)中,如果(j0,j1,j2,j3,j4)為(0,1,2,3,4)的一個(gè)排列，則:

dimH*(R(j0,j1,j2,j3,j4))=1；

dimH*(R(2,1,3,1,3))=dimH*(R(1,2,3,1,3))=dimH*(R(1,3,2,1,3))=

dimH*(R(1,3,1,2,3))=dimH*(R(3,1,3,1,2))=dimH*(R(2,3,1,3,1))=

dimH*(R(3,2,1,3,1))=dimH*(R(3,1,2,3,1))=dimH*(R(3,1,3,2,1))=

dimH*(R(3,1,3,1,2))=2;

其他情況的上同調(diào)群為0.

定理3[6]在(R5,d)中，

dimH*(R(j0,j1,j2,j3,j4,5))=dimH*(R(j0,j1,j2,j3,j4))；

dimH*(R(0,j1,j2,j3,j4,j5))=dimH*(R(j1-1,j2-1,j3-1,j4-1,j5-1))；

dimH*(R(1,2,3,2,3,4))=dimH*(R(2,1,3,2,3,4))=dimH*(R(2,3,1,2,3,4))=

dimH*(R(2,3,2,1,3,4))=dimH*(R(2,3,2,3,1,4))=dimH*(R(1,3,2,3,2,4))=

dimH*(R(3,1,2,3,2,4))=dimH*(R(3,2,1,3,2,4))=dimH*(R(3,2,3,1,2,4))=

dimH*(R(3,2,3,2,1,4))=2;

dimH*(R(2,3,1,3,2,4))=4；

其他情況的上同調(diào)群為0.

本文討論的是R6的模3系數(shù)上同調(diào)，即H*(R6,Z3).要計(jì)算R6的模3系數(shù)上同調(diào)，只需計(jì)算它的全部權(quán)子復(fù)形R(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6)的上同調(diào)即可.由性質(zhì)1可知，只需求滿足i6為in(n=0,1,2,3,4,5,6)中的最大值的權(quán)子復(fù)形的上同調(diào)即可.

2 主要結(jié)果及其證明

定理4H*(R6,Z3)中的直和項(xiàng)可能不為零的情況如下：

1)H*(R(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6))， 其中(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6)為下列數(shù)組的任意排列(1,1,1,4,4,5,5),(1,1,3,3,3,5,5),(1,1,2,4,4,4,5),(1,2,3,3,3,4,5),(1,2,2,4,4,4,4)，(2,2,3,3,3,4,4)；

2)(i0,i1,i2,i3,i4,i5,6)， 其中H*(i0,i1,i2,i3,i4,i5)不為零；

3)(i0,i1,i2,i3,i4,i5,0)， 其中H*(i0-1,i1-1,i2-1,i3-1,i4-1,i5-1)≠0.

證明權(quán)子復(fù)形可按i6的不同情況分為以下3類：

I)i6=6. 由定理1可知權(quán)(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6)可約：H*(R(i0,i1,i2,i3,i4,i5,6))?H*(R(i0,i1,i2,i3,i4,i5))， 而定理3已經(jīng)給出了(R5,d)的權(quán)子復(fù)形的上同調(diào).

II)i6=5, 有以下2種情況： ①i0,i1,i2,i3,i4,i5中最小為0， 不妨設(shè)i0=0， 則權(quán)可約，由定理1知H*(R(i0,i1,i2,i3,i4,i5,5))?H*(R(i1-1,i2-1,i3-1,i4-1,i5-1,4)).②其余情形如表1所示.

III)i6=4, 有以下2種情況： ①i0,i1,i2,i3,i4,i5中最小為0，不妨設(shè)i0=0，則權(quán)可約，由定理1知，H*(R(i0,i1,i2,i3,i4,i5,4))?H*(R(i1-1,i2-1,i3-1,i4-1,i5-1,3)).②其余情形如表2所示.

表2 i6=4時(shí)的權(quán)子復(fù)形的上同調(diào)

綜上，定理4所述結(jié)論成立.

以下用譜序列的方法求H*(R6,Z3)中的一些直和項(xiàng)的上同調(diào).

定理5H*(R(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6))=0， 其中(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6)為(1,1,1,4,4,5,5)，(1,2,2,4,4,4)的任意排列.

證明由定義1知，R(1,1,1,4,4,5,5)中的所有上三角矩陣滿足第6列中只有1個(gè)元素為1.令A(yù)i為權(quán)子復(fù)形中由所有滿足以下條件的上三角矩陣[ai,j]生成的子復(fù)形,其中[ai,j]滿足第6列為1的元素是aj,6,j≤i(i=1,2,3,4,5,6)， 則A1?A2?A3?A4?A5?A6是R(1,1,1,4,4,5,5)的一個(gè)濾子.該濾子確定一個(gè)譜序列，其E2-項(xiàng)為：

由此可知，H*(R(1,1,1,4,4,5,5))=0.同理，當(dāng)(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6)為(1,1,1,4,4,5,5)，(1,2,2,4,4,4)的任意排列時(shí)，H*(R(i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6))=0.

定理6dimH*(R(1,1,3,3,3,5,5))=2.

證明R(1,1,3,3,3,5,5)中的所有上三角矩陣滿足第6列中只有一個(gè)元素為1.令A(yù)i為權(quán)子復(fù)形中由所有滿足以下條件的上三角矩陣[ai,j]生成的子復(fù)形,其中[ai,j]滿足第6列為1的元素是aj,6,j≤i(i=1,2,3,4,5,6)， 則A1?A2?A3?A4?A5?A6是R(1,1,3,3,3,5,5)的一個(gè)濾子.該濾子確定一個(gè)譜序列，其E2-項(xiàng)為：

dimH*(R(1,1,3,3,3,5,5))=2.