含分?jǐn)?shù)階的灰色模型及其在地基沉降預(yù)測中的應(yīng)用

賴文杰，齊昌廣，鄭金輝，王新泉，左殿軍

(1.寧波大學(xué)建筑工程與環(huán)境學(xué)院，浙江 寧波 315211；2. 浙江大學(xué)城市學(xué)院土木工程系，浙江 杭州 310015；3. 交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究院巖土工程研究中心，天津 300456; 4. 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098)

路基實測數(shù)據(jù)沉降預(yù)測方法是交通土建工程界研究的熱點，同時也是軟基沉降控制計算方法理論研究的一大難題。這是由于軟基實際固結(jié)規(guī)律的復(fù)雜形式難于用一般數(shù)學(xué)曲線擬合所造成的。為了更好地通過實測數(shù)據(jù)預(yù)測路基沉降發(fā)展規(guī)律，工程界對基于實測數(shù)據(jù)的沉降預(yù)測方法進(jìn)行了廣泛的研究，其中具有代表性的有：雙曲線法、三點法、指數(shù)函數(shù)法、Asaoka法、灰色模型預(yù)測法等。通過將上述方法的預(yù)測結(jié)果和實測沉降數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)，預(yù)測方法計算結(jié)果仍與實際值有較大的誤差，故需對傳統(tǒng)預(yù)測模型及計算方法做進(jìn)一步改進(jìn)。

目前國內(nèi)對沉降預(yù)測模型及計算方法的改進(jìn)研究主要有：甘友文等[1]對傳統(tǒng)對雙曲線預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)，提出精度更高的修正的雙曲線模型。王志亮等[2]基于拋物線插值法和直線最小二乘法，對Asaoka法中時間間隔取值Δt進(jìn)行研究，該方法成功應(yīng)用于多級荷載路堤工程中的沉降預(yù)測。肖治宇[3]將自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)(ANFIS)應(yīng)用于軟基沉降預(yù)測，提出ANFIS軟土地基沉降預(yù)測模型。該模型克服了局部極小值的缺點,預(yù)測精度高于傳統(tǒng)的生長曲線預(yù)測模型。唐利民[4]指出最小二乘法的病態(tài)性會導(dǎo)致沉降預(yù)測模型參數(shù)求解失敗，可通過正則化無偏估計處理參數(shù)來提高預(yù)測精度。朱志鐸等[5]基于成長型曲線建立軟基全過程沉降預(yù)測的Logistic模型，確定模型參數(shù)及其對不同階段的地基沉降影響。曹文貴等[6]對單項預(yù)測模型沉降的計算和實測值的誤差描述方法進(jìn)行改進(jìn)，擬合出新型目標(biāo)誤差函數(shù)，從而獲得簡單實用的工后沉降預(yù)測方法。復(fù)雜工況下的沉降規(guī)律并不明顯，為了能夠更準(zhǔn)確預(yù)測沉降，眾多學(xué)者采用灰色理論來預(yù)測地基沉降。如劉國華等[7]將基于單變量的灰色預(yù)測模型推廣至多變量的灰色預(yù)測模型。李洪然等[8]采用參數(shù)累計法代替最小二乘法對傳統(tǒng)GM(1,1)地面沉降模型進(jìn)行修正，構(gòu)建了參數(shù)估計的灰色沉降預(yù)測模型。此外，苗雨等[9]、李篷等[10]也對灰色理論預(yù)測沉降提出相關(guān)計算模型，并給出了誤差性分析。雖然上述基于灰色理論建立的沉降計算模型具有一定的應(yīng)用價值，但求解的微分方程均為整數(shù)階，即預(yù)測模型存在不連續(xù)的問題，局限性較大。

本文以灰色預(yù)測模型為研究對象，把模型中的一階微分代換為分?jǐn)?shù)階微分，提出一種基于分?jǐn)?shù)階的灰色預(yù)測模型。與傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型相比，增加了分?jǐn)?shù)階階次的識別，從而增大參數(shù)識別的難度。為此，筆者基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型，建立了含分?jǐn)?shù)階的灰色模型，結(jié)合工程實例驗證該模型的合理性，并計算了分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型誤差。

1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型

分?jǐn)?shù)階目前存在三種定義，本文采用Caputo微積分定義，函數(shù)y(t)的α階微分可表示為：

(1)

r-1<α

式中：r——正整數(shù)；

α——一個分?jǐn)?shù)；

Γ()——Gamma函數(shù)。

(2)

其Laplace變換可表示為：

(3)

本文中，考慮的為零初始條件，此時，Laplace變換為：

L[Dαy(t)]=sαY(s)

(4)

有關(guān)sα的計算，通常采用整數(shù)階積分進(jìn)行近似處理，本文采用相位前置式濾波器的方式來模擬sα的輸出結(jié)果。假設(shè)擬合頻率段為(ωb,ωh)，則可構(gòu)造如下濾波器的傳遞函數(shù)，為：

(5)

式中：2N+1——所選擇的濾波器階次。

式(5)也可表示為狀態(tài)方程的形式：

w=CIzI(t)(6)

式中：zI(t)——N+1維狀態(tài)矢量。

CI=[0 … 0 1]

式(6)可轉(zhuǎn)換為：

w=CzI(t)

(7)

2 含分?jǐn)?shù)階的灰色模型

設(shè)原始時間序列為：

y(0)=[y(0)(1)y(0)(2) …y(0)(n)]

其一次累加生成序列為：

y=[y(1)y(2) …y(n)]

則灰色模型可表示為：

(8)

式(8)中的待定常數(shù)b1、b2由下式確定：

(9)

從式(8)可以看出，灰色模型是無輸入的常微分方程，這里對其做兩個方面的變動：其一是增加輸入項u；其二是變常微分方程為分?jǐn)?shù)階微分方程，即：

(10)

為保持原灰色模型的特點，此處，輸入項u可采用單位階躍函數(shù)，即：

(11)

對式(10)兩邊進(jìn)行Laplace變換，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(12)

若定義z(t)的頻域表示為：

(13)

則輸出變量y(t)可表示為：

Dαz(t)=-b1z(t)+u(t)

y(t)=b2z(t)

(14)

上式可等效地寫為：

y(t)=b2zN+1(t)

(15)

(16)

需要說明兩點：其一，含分?jǐn)?shù)階的模型識別，需要系統(tǒng)輸入，按式(11)輸入才能得到正確結(jié)果；其二，與常規(guī)的灰色模型識別方法相比，雖然只是增加了一個參數(shù)α(或者是中間參數(shù)δ和η)，但就是由于參數(shù)α的出現(xiàn)，使得識別難度大大增加，在獲得式(16)之后，方可使得識別變得可行。具體識別算法可采用常規(guī)的識別算法即可，如Marquardt算法[16]等。

3 預(yù)測模型在沉降預(yù)測中的應(yīng)用

以浙江省某高速公路K1049+678斷面為例，該段地基富含軟土，壓縮性較大。通過在地基上打入塑料排水板將土體內(nèi)的水分排出，并在斷面上選擇P、Q、Z三個點進(jìn)行沉降監(jiān)測(圖1)。工程自2016年3月開工，沉降監(jiān)測頻率為30 d/次，并于2017年6月22日截止。利用傳統(tǒng)的雙曲線沉降預(yù)測模型及本文提出的含分?jǐn)?shù)階灰色理論預(yù)測模型對該斷面的沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，并對計算結(jié)果進(jìn)行驗證分析。沉降觀測點原始數(shù)據(jù)見表1。

以2016年3月至10月的數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測，預(yù)測2016年11月至2017年6月的沉降，并與實測值進(jìn)行對比。

采用本文所提出的模型(即式(10))，在采用分?jǐn)?shù)階微分濾波器近似時，考慮到高速公路的特點，選擇的擬合頻率段為(0.001 1000)rad/s，N=4，即濾波器的階次為9。參數(shù)估計分別為：

α=1.14；b1=0.135；b2=1.200

V(s)=2.63·s10+1398·s9+1.316×105·s8+2.573×106·s7+1.075·107·s6+9.652×106·s5+1.864×106·s4+7.692·104·s3+658.7·s2+s

W(s)=s9+658.7·s8+7.692×104·s7+1.864×106·s6+9.652×106·s5+1.075×107·s4+2.573×106·s3+1.316×105·s2+1398·s+2.63

圖1 測點布置簡圖Fig.1 Schematic diagram of the measuring points

表1 沉降觀測原始數(shù)據(jù)

通過二階范數(shù)進(jìn)行誤差分析，定義式如下：

(17)

式中：y——實測累加數(shù)據(jù)；

傳統(tǒng)雙曲線沉降預(yù)測模型的計算表達(dá)式[17]如下：

(18)

式中：S0——時間t0時的累積沉降量；

t0——時間零點；

St——時間t時的累積沉降量；

根據(jù)圖解法得到：

觀測點P：α=0.7779，β=0.0553

觀測點Q：α=0.9071，β=0.0426

觀測點Z：α=0.8057，β=0.0273

將α，β代入式(18)中，即可得到傳統(tǒng)雙曲線沉降預(yù)測模型。

采用灰色預(yù)測模型時(即式(8))，可由式(9)估計其參數(shù)，分別為：

觀測點P：b1=0.0729；b2=127.0539

觀測點Q：b1=0.0759；b2=116.4983

觀測點Z：b1=0.0591；b2=131.0533

根據(jù)計算得到的參數(shù)，代入式(8)可計算出整數(shù)階預(yù)測模型。

根據(jù)式(17)，雙曲線預(yù)測模型計算的P，Q，Z誤差分別為282，139，225，整數(shù)階模型的誤差為186，202，93。本文提出含分?jǐn)?shù)階灰色模型方法的誤差分別為116，63，53，可見本文提出含分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型較傳統(tǒng)雙曲線和整數(shù)階預(yù)測模型計算結(jié)果更優(yōu)。

將實測結(jié)果和本文含分?jǐn)?shù)階灰色理論預(yù)測模型計算結(jié)果、傳統(tǒng)雙曲線預(yù)測模型、整數(shù)階匯于圖2中，相比較可以看出，本文提出含分?jǐn)?shù)階灰色理論沉降計算方法能得到更好地預(yù)測結(jié)果。

圖2 實測結(jié)果與預(yù)測結(jié)果的比較Fig.2 Comparison of the measured results andpredicted results at points

4 結(jié)論

(1)傳統(tǒng)的灰色模型是無輸入的常微分方程，本文對其進(jìn)行兩方面的改進(jìn)：其一是增加輸入項u；其二是變常微分方程為分?jǐn)?shù)階微分方程。

(2)結(jié)合工程實例對分?jǐn)?shù)階灰色模型、整數(shù)階灰色模型及雙曲線模型進(jìn)行誤差計算，本文建立的含分?jǐn)?shù)階灰色理論預(yù)測結(jié)果與工程實測結(jié)果之間的誤差較整數(shù)階灰色理論沉降預(yù)測模型、雙曲線預(yù)測模型的精度更高，與實測結(jié)果擬合更好。