分數(shù)階磁流體方程組的一些研究進展

周 勇,朱銘旋

(1.中山大學， 廣東 珠海 519082； 2.嘉興學院， 浙江 嘉興 314001)

1 相關研究進展

本文主要討論的是分數(shù)階磁流體方程組，其具體形式如下：

(1)

Wu[21]用Galerkin逼近的方法得到全局存在的弱解，其弱解定義為:如果向量函數(shù)(u,b)滿足以下條件：

①u∈L∞(0,T;L2)∩L2(0,T;Hα)

b∈L∞(0,T;L2)∩L2(0,T;Hβ)

那么，稱(u,b)是方程(1)的一個弱解。

近期，Jiang和Zhou[12]證明了廣義磁場流體方程組(1)強解的局部適定性，具體如下：

u∈C(0,T*;Hs(Rn))∩L2(0,T*;Hs+α(Rn))

b∈C(0,T*;Hs(Rn))∩L2(0,T*;Hs+β(Rn))

當s≥2時，

u∈C(0,T*;Hs(Rn))∩C1(0,T*;Hs+α-2(Rn))

b∈C(0,T*;Hs(Rn))∩C1(0,T*;Hs+β-2(Rn))

(2)

(3)

③α≥2，β=0

(4)

基于其結論，很多數(shù)學工作者做了一定的改進[1,4,11,15,16,23-25,29,31]。Zhou等[4]將式(2)改進至

α>0,β=1

(5)

Jiu等[15]將式(3)改進至

α=0，β>1

(6)

三維時，Zhou[33]對α，β≥1時建立了下列正則性準則：

或者

2 一些公開問題

下面提出兩個公開問題：

1) 對于二維情況下式(1)存在整體解的條件，現(xiàn)在最優(yōu)的是如下4種情況：

①α≥2,β=0;

②α>0,β=1；

③α=0，β>1;

④β∈(0,1),α+β≥2。

能否將指標進一步降低，是該領域關注的熱點問題。猜測當α+β≥1時，分數(shù)階磁流體方程組整體解存在。當前階段該猜測有較大的難度，α+2β≥2是值得嘗試的問題。

2) 當不考慮磁場的影響，式(1)退化為分數(shù)階Navier-Stokes方程組。

ut+u·▽u+▽P+vΛ2αu=0,

divu=0