分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

朱香梗，李玉霞2，武 波

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590;2.山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

分?jǐn)?shù)階微積分是對(duì)整數(shù)階微積分的推廣，整數(shù)階微積分可以看成是分?jǐn)?shù)階微積分的特例，因此研究分?jǐn)?shù)階微積分更具有普遍意義[1]。在描述復(fù)雜物理學(xué)問(wèn)題時(shí)，與非線性模型相比較，分?jǐn)?shù)階模型的物理意義更清晰，表述更簡(jiǎn)潔[2]。分?jǐn)?shù)階控制隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的不同可以增大控制的自由度，從而可獲得更優(yōu)良的控制性能；另一方面，分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶功能，這種記憶功能確保歷史信息對(duì)現(xiàn)在和未來(lái)的影響，有利于改善控制的品質(zhì)[3-4]。

三維動(dòng)力系統(tǒng)在非線性電路、生物網(wǎng)絡(luò)以及信息安全等領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用潛力，現(xiàn)已成為非線性科學(xué)理論與應(yīng)用研究的熱點(diǎn)[5-7]。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的不斷發(fā)展，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究引起了廣泛關(guān)注，產(chǎn)生了一系列重要的研究成果，包括穩(wěn)定性分析、分岔與混沌等[8-10]。近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在系統(tǒng)控制、粘彈性阻尼、電解質(zhì)極化、分形與混沌和機(jī)器人等領(lǐng)域得到了廣泛推廣和應(yīng)用，這一推廣在跨學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用中表現(xiàn)尤為普遍[11-12]。

Langford系統(tǒng)是Langford W.F.根據(jù)Hopf建立的湍流模型演變而來(lái)的，研究表明，該系統(tǒng)具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)[13]對(duì)Langford系統(tǒng)中的規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)行定性分析，研究了Langford系統(tǒng)的混沌特性、Hopf分岔以及極限環(huán)的穩(wěn)定性，并給出了全局分岔圖。Nikolov等[14]給出了Langford系統(tǒng)的第一個(gè)Lyapunov值的具體表達(dá)式，并首次得到一個(gè)混沌解[14]。目前，對(duì)于Langford系統(tǒng)的研究結(jié)果僅限于整數(shù)階，對(duì)分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)的研究較少。本研究基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，著重分析分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件。研究結(jié)果將有助于豐富Langford系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，為進(jìn)一步討論分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供參考意義。

1 分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

分?jǐn)?shù)階微積分有多種定義， 常用的定義有三種，即：Caputo定義、 Grunwald-Letnikov 定義和Riemann-Liouville定義。由于Caputo導(dǎo)數(shù)只需根據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)給出的初始條件即可表示實(shí)際情況中良好的特性，更適用于工程問(wèn)題，因此本研究基于Caputo導(dǎo)數(shù)定義。

(1)

首先引入分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。

引理1[16]對(duì)于下面的分?jǐn)?shù)階自治系統(tǒng)：

(2)

其中0<α<1，x∈Rn且A∈Rn×n，如果矩陣A的所有特征值λ滿足|arg(λ)|>απ/2，則系統(tǒng) (2) 的零解是漸近穩(wěn)定的。

文獻(xiàn)[17]考慮了如下Langford系統(tǒng)：

(3)

其中a,b,c,d,e表示系統(tǒng)參數(shù)。易見(jiàn)，系統(tǒng) (3) 具有兩個(gè)平衡點(diǎn)O(0,0,0)和E(0,0,e)。

利用分?jǐn)?shù)階Caputo微分定義將上述系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)階，得到分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型如下：

(4)

其中α∈(0,1]。

2 Langford系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性

2.1 系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處的穩(wěn)定性

易見(jiàn)系統(tǒng) (4) 對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣為：

將平衡點(diǎn)O代入，可得此時(shí)雅可比矩陣為：

J1對(duì)應(yīng)的特征方程為：

p1(λ)=(λ-e)[λ2-(a+d)λ+(ad-bc)]。

(5)

記

Δ1=(a+d)2-4(ad-bc)。

則特征方程(5)的特征根分別為：

下面，通過(guò)討論參數(shù)a,b,c,d,e的取值范圍來(lái)分析特征方程(5)根的正負(fù)性。

引理2對(duì)于特征方程(5)，可知：

1) 當(dāng)Δ1>0且ad-bc≠0時(shí)，特征方程(5)的所有根都為實(shí)數(shù)：

① 如果e>0，ad-bc>0且a+d>0，則特征方程(5)有三個(gè)正實(shí)根；

② 如果e>0，ad-bc>0且a+d<0，則特征方程(5)有一個(gè)正實(shí)根，兩個(gè)負(fù)實(shí)根；

③ 如果e>0且ad-bc<0，則特征方程(5)有兩個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根；

④ 如果e<0，ad-bc>0且a+d>0，則特征方程(5)有兩個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根；

⑤ 如果e<0，ad-bc>0且a+d<0，則特征方程(5)有三個(gè)負(fù)實(shí)根；

表1 特征方程(5)的根在空間(a,b,c,d,e)中的分布Tab.1 Distribution of roots of Eq.(5) in (a,b,c,d,e)-space

⑥ 如果e<0且ad-bc<0，則特征方程(5)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根。

2)當(dāng)Δ1<0且ad-bc≠0時(shí)，特征方程(5)有一個(gè)實(shí)數(shù)根和一對(duì)復(fù)共軛根：① 如果e>0且a+d>0，則特征方程(5)有一個(gè)正實(shí)根和一對(duì)復(fù)共軛根，其中復(fù)根的實(shí)部均為正數(shù)；② 如果e>0且a+d<0，則特征方程(5)有一個(gè)正實(shí)根和一對(duì)復(fù)共軛根，其中復(fù)根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)；③ 如果e<0且a+d>0，則特征方程(5)有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)復(fù)共軛根，其中復(fù)根的實(shí)部均為正數(shù)；④ 如果e<0且a+d<0，則特征方程(5)有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)復(fù)共軛根，其中復(fù)根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)。

由引理2可以看出曲線Δ1=0,e=0,ad-bc=0,a+d=0將空間(a,b,c,d,e)分成了如表1中的10個(gè)區(qū)域。易得：

定理1分?jǐn)?shù)階Langford系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處的穩(wěn)定性結(jié)論如下：

1) 如果(a,b,c,d,e)∈Ω5∪Ω10，則系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處對(duì)任意的α∈(0,1]都是局部漸近穩(wěn)定的；

2) 如果(a,b,c,d,e)∈Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4∪Ω6∪Ω7∪Ω8，則系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處對(duì)任意的α∈(0,1]都是不穩(wěn)定的；

3) 如果(a,b,c,d,e)∈Ω9且α滿足下面的不等式

(6)

則系統(tǒng) (4) 在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的；

4) 如果(a,b,c,d,e)∈Ω9且α滿足下面的不等式

(7)

則系統(tǒng) (4) 在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是不穩(wěn)定的。

證明：由引理1，易得如下結(jié)論

1) 如果(a,b,c,d,e)∈Ω5∪Ω10，則式(5)的所有實(shí)特征根和共軛特征根的實(shí)部都為負(fù)數(shù)。這意味著方程 (5) 的所有特征根都在穩(wěn)定域內(nèi)。因此，系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的。

2) 如果(a,b,c,d,e)∈Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4∪Ω6∪Ω7∪Ω8，則方程 (5) 至少有一個(gè)正實(shí)根。因此系統(tǒng) (4) 在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是不穩(wěn)定的。

3) 如果(a,b,c,d,e)∈Ω9, 則特征方程(5)有一對(duì)具有正實(shí)部的復(fù)共軛特征根λ2,3以及一個(gè)負(fù)實(shí)根λ1，分別為：

進(jìn)而有

因此，若滿足式(6)，則系統(tǒng) (4) 在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是局部漸近穩(wěn)定的。

4) 由3)中的推論可知，若 滿足式(7)，則系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是不穩(wěn)定的。

2.2 系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E(0,0,e)處的穩(wěn)定性

系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E(0,0,e)處的雅可比矩陣為：

J2對(duì)應(yīng)的特征方程為：

p2(λ)=(λ+e)[λ2-(a+d+2e)λ+(a+e)(d+e)-bc]。

(8)

記

Δ2=(a+d+2e)2-4[(a+e)(d+e)-bc],μ0=(a+e)(d+e)-bc。

特征方程 (8) 的特征根分別記為：

下面通過(guò)討論參數(shù)a,b,c,d,e的取值范圍來(lái)分析特征方程(8)的根的特性。

引理3對(duì)于特征方程 (8)，有如下結(jié)果：

1) 當(dāng)Δ2>0且μ0≠0時(shí)，特征方程(8)的所有特征根都為實(shí)數(shù)：

① 如果e>0，μ0>0且a+d+2e>0，則特征方程(8)有兩個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根；

② 如果e>0，μ0>0且a+d+2e<0，則特征方程(8)有三個(gè)負(fù)實(shí)根；

③ 如果e>0，μ0<0，則特征方程(8)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根；

④ 如果e<0，μ0>0且a+d+2e>0，則特征方程(8)有三個(gè)正實(shí)根；

⑤ 如果e<0，μ0>0且a+d+2e<0，則特征方程(8)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根；

⑥ 如果e<0，μ0<0，則特征方程(8)有兩個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根；

2) 當(dāng)Δ2<0且μ0≠0時(shí)，特征方程(8)有一個(gè)實(shí)數(shù)根和一對(duì)復(fù)共軛根：

① 如果e>0且a+d+2e>0，則特征方程(8)有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)共軛特征根；

② 如果e>0且a+d+2e<0，則特征方程(8)有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)實(shí)部為負(fù)的復(fù)共軛特征根；

表2 特征方程(8)的根在空間(a,b,c,d,e)中的分布Tab. 2 Distribution of roots of Eq.(8) in (a,b,c,d,e)-space

③ 如果e<0且a+d+2e>0，則特征方程(8)有一個(gè)正實(shí)根和一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)共軛特征根；

④ 如果e<0且a+d+2e<0，則特征方程(8)有一個(gè)正實(shí)根和一對(duì)實(shí)部為負(fù)的復(fù)共軛特征根。

由引理3可以看出曲線Δ2=0,e=0,μ0=0,a+d+2e=0將空間(a,b,c,d,e)分成了如表2所示的10個(gè)區(qū)域。

由引理3，可得系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E(0,0,e)處的穩(wěn)定性結(jié)果。

定理2

1) 如果(a,b,c,d,e)∈S2∪S8，則系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E(0,0,e)處對(duì)所有的α∈(0,1]都是局部漸近穩(wěn)定的。

2) 如果(a,b,c,d,e)∈S1∪S3∪S4∪S5∪S6∪S9∪S10，則系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E(0,0,e)處對(duì)所有的α∈(0,1]都是不穩(wěn)定的。

3) 如果(a,b,c,d,e)∈S7且α滿足下列不等式

則系統(tǒng) (4) 在平衡點(diǎn)E(0,0,e)處是局部漸近穩(wěn)定的。

4) 如果(a,b,c,d,e)∈S7且α滿足下列不等式

則系統(tǒng) (4) 在平衡點(diǎn)E(0,0,e)處是不穩(wěn)定的。

證明：同定理1的證明，此處不再贅述。

3 數(shù)值仿真

圖1 Langford系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性Fig.1 Stability of Langford system at equilibrium point

圖1(d)～1(h)表明系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)處是不穩(wěn)定的，其中圖1(d)與1(c)的系統(tǒng)參數(shù)值相同，只改變階數(shù)α，圖(d)的階數(shù)取值為α=0.8>α*；圖1(e)的系統(tǒng)參數(shù)取值為(a,b,c,d,e)=(-1,1,1,-2,2)∈Ω2，階數(shù)取值為α=0.6；圖1(f)的系統(tǒng)參數(shù)取值為(a,b,c,d,e)=(0.4,0.2,0.3,0.2,-0.1)∈Ω4，階數(shù)取值為α=0.03；圖1(g)的系統(tǒng)參數(shù)取值為(a,b,c,d,e)=(0.01,-0.3,0.1,0.2,0.1)∈Ω7，階數(shù)取值為α=0.1；圖1(h)的系統(tǒng)參數(shù)取值為(a,b,c,d,e)=(-0.01,-0.3,0.1,-0.2,0.1)∈Ω8，階數(shù)取值為α=0.2。

4 結(jié)論

分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題有著十分重要的作用，本研究利用Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義將三維整數(shù)階Langford系統(tǒng)推廣到分?jǐn)?shù)階上，并通過(guò)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的討論判斷了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證所得定理的正確性。