廣義凹算子定理在分數階脈沖邊值問題中的研究

鄭鳳霞，肖維忠，謝茂森

(四川文理學院 數學學院, 四川 達州 635000)

近年來,許多學者運用各種不動點定理研究了脈沖微分方程邊值問題的解,見文獻[1-9].其中文獻[1]運用廣義凹算子不動點定理研究了一類二階脈沖邊值問題解的存在唯一性.

受上述文獻的啟發(fā),本文利用廣義凹算子不動點定理,研究如下分數階脈沖邊值問題：

(1)

1 預備知識

定義1[10-11]函數f:[0,∞)→R的α階分數階積分定義為:

定義2[10-11](廣義分數階導數)函數f:[0,∞)→R的α階分數階導數定義為:

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,其中q>0,ci∈R,i=0,1,2,…,n-1,n=[q]+1.

引理2[1]設P是Banach空間E中的正規(guī)錐,若算子A:P→P單調遞增且滿足:

i)存在w∈Pw使得Aw∈Pw.

ii)對于u∈P,t∈(0,1),存在φ(t)∈(t,1)使得A(tu)≥φ(t)Au.

則算子方程Ax=x在Pw中有唯一解x*.且對任意初值x0∈Pw,可以構造迭代序列xn=Axn-1,n=1,2,…,當n→∞,xn→x*.

注1[1]：如果算子A滿足引理2中的條件ii),則A稱為廣義凹算子.

引理3[2]給定h(t)∈C(J,R+),1

(2)

的唯一解是

其中

這里稱G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)是分數階脈沖微分方程邊值問題(2)的Green函數.

引理4[2]引理3中的Green函數G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)具有如下性質:

i)G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)∈C(J×J,R+),G1(t,s),G2(t,ti),G3(t,ti)>0,?t,ti,s∈(0,1).

注2：由引理3易知,當Ik(u(tk))≡0,Jk(u(tk))≡0,k=1,2,…,m,如下問題

的唯一解是

其中

2 主要結果

H2)任意γ∈(0,1),t∈[0,1],u∈[0,∞),存在φ1(γ)∈(γ,1)滿足

f(t,γu)≥φ1(γ)f(t,u).

H3)Ik,Jk∈C(R+,R+),且Ik(u),Jk(u),k=1,2,…,m關于u單調遞增.

H4)任意γ∈(0,1),t∈[0,1],u∈[0,∞),存在φ2(γ),φ3(γ)∈(γ,1)滿足

Ik(γu)≥φ2(γ)Ik(u),Jk(γu)≥φ3(γ)Jk(u).

則問題(1)在Pw中存在唯一解u*.且對任意初值u0∈Pw,構造一迭代序列

證明由引理3,問題(1)等價于下列積分方程

算子A:P→E定義為

又由H1),我們有

故Aw∈Pw.即引理2中條件(i)滿足.

下證引理2中條件ii)滿足.對任意u∈P,γ∈(0,1),設φ(γ)=min{φ1(γ),φ2(γ),φ3(γ)},則φ(γ)∈(γ,1).由H2)和H4),我們得

最后,利用引理4可得結論.

當Ik(u(tk))≡0,Jk(u(tk))≡0,k=1,2,…,m,由定理1和注2易得下面的推論.

推論1 假設H1)～H2)成立,則問題(1)在Pw中存在唯一解u*.且對任意初值u0∈Pw,構造一迭代序列

當n→∞時,un(t)→u*(t).

注3：本文提供了研究一類分數階脈沖邊值問題的新方法，所得結論不需要非線性函數及脈沖函數有界或滿足Lipschitz條件.但文獻[2-9]中，所得結論需要非線性函數及脈沖函數有界或滿足Lipschitz條件.

3 例子

例考慮如下的問題:

(3)

顯然,f:J×R+→R+連續(xù).I1,J1∈C(R+,R+),R+=[0,+∞).f,I1,J1都關于u∈[0,+∞)是單調遞增的.通過簡單的計算,我們有

因此,f(t,c1)>0.

然后,對于t∈[0,1],γ∈(0,1),u∈[0,∞)有

因此H1)～H3)成立.

最后由定理1知,方程(3)在Pw中存在唯一解.