處理模長問題常見策略

胡磊

平面向量集數(shù)與形為一體，溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，作為高考的重要考點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在填空題的壓軸題中，尤其是模長問題，為了幫助大家學(xué)習(xí)，整理歸納出了處理平面向量模長問題的常見策略.

策略一：直角坐標(biāo)系法

直角坐標(biāo)系法是處理平面向量模長的常用方法，通過已知條件建立合適的坐標(biāo)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，則向量的坐標(biāo)就可以求出來，從而平面向量的模長可利用數(shù)量積的運(yùn)算求得.

例1?等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，且AP=34AB+14λAC（λ∈R），則|AP|的最大值為????.

分析：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得y=3（x-3），當(dāng)該直線與直線BC相交時，|AP|取得最大值.

解析：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系：∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，∴A（0，0），B（4，0），C（2，23），

設(shè)點(diǎn)P為（x，y），0≤x≤4，0≤y≤23，∵AP=34AB+14λAC（λ∈R），

∴（x，y）=34（4，0）+14λ（2，23）=（3+λ2，32λ），

∴x=3+λ2y=3λ2，∴y=3（x-3）?①，

而直線BC的方程是：y=-3（x-4）?②，

由①②解得：x=72y=32，則點(diǎn)P的軌跡方程為

y=3（x-3），3≤x≤72.

而|AP|2=x2+y2=x2+3（x-3）2

=4x2-18x+27=4（x-94）2+274.

∴當(dāng)x=72時，|AP|2取到最大值.

∴（|AP|2）max=13，即|AP|的最大值為13.

點(diǎn)評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用問題，建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，求出點(diǎn)P的軌跡方程，利用其幾何意義確定模長最大值.

策略二：向量基底法

如果題目不能建立坐標(biāo)系求解，可以嘗試向量的基底法，它是處理平面向量模長問題的主要方法，就是根據(jù)平面向量的基本定理，選擇向量的基底，把相關(guān)向量利用基底表示出來，最后求模長.

例2?如圖，在邊長為1的正△ABC中，點(diǎn)G為邊BC上的中點(diǎn)，線段AB，AC上的動點(diǎn)D，E分別滿足DB=λAB，EC=（2-3λ）AC（λ為實(shí)數(shù)），設(shè)DE的中點(diǎn)為F，則線段FG長度的取值范圍為????.

分析：根據(jù)向量的基本定理，先確定基底，表示出FG，再用二次函數(shù)求取值范圍.

解析：∵DB=λAB，∴AD=（1-λ）AB，

∵EC=（2-3λ）AC，∴AE=（3λ-1）AC，

由1-λ∈[0，1]3λ-1∈[0，1]得13≤λ≤23，

|FG|=FG·FG=（AG-AF）2

=（12AB+12AC-12AD-12AE）2

=（λ2AB+2-3λ2AC）2=7λ2-10λ+44，

∵對稱軸為λ=57>23，

∴二次函數(shù)7λ2-10λ+4在[13，23]上遞減，∴λ=23時，|FG|取得最小值13;λ=13時，|FG|取得最大值136，故線段FG的長度的取值范圍是[13，136]

點(diǎn)評：本題考查了向量數(shù)乘和線性運(yùn)算，根據(jù)向量的基本定理，表示出FG，再用二次函數(shù)求取值范圍.

策略三：平方法

如果題目出現(xiàn)夾角和模長時，一般通過平方法，再結(jié)合向量數(shù)量積公式，可得所要求的向量的模長的關(guān)系式.

例3?平面向量a，b，c兩兩所成角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|a+b+c|為????.

分析：由平面向量a，b，c兩兩所成角相等，可得兩兩所成角為0°或120°.再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

解析：∵平面向量a，b，c兩兩所成角相等，∴兩兩所成角為0°或120°.

∵|a|=1，|b|=2，|c|=3，當(dāng)所成角為120°時，

∴a·b=1×2×cos120°=-1，a·c=-32，b·c=-3，

則|a+b+c|=a2+b2+c2+2（a·b+a·c+b·c）=12+22+32+2（-1-32-3）=3.

同理可得：當(dāng)所成角為0°時，則|a+b+c|=1+2+3=6.故答案為：3或6.

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角，考查了推理能力與計算能力，因?yàn)閮蓛伤山窍嗟?，所以兩兩所成角?°或120°，容易出現(xiàn)漏解的錯誤.

策略四：三角換元法

當(dāng)題目有圓的幾何特征，那么我們可以根據(jù)圓的參數(shù)方程，利用三角換元法解決平面向量的模長問題.

例4?已知點(diǎn)A（0，-1），B（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C：x2+y2=45上.若OP=λOA+μOB，則λ+μ的最小值為????.

分析：設(shè)P（25cosα，25sinα），用α表示出λ，μ，根據(jù)三角恒等變換得出λ+μ的函數(shù)解析式，從而得出答案.

解析：設(shè)P（25cosα，25sinα），則25cosα=2μ25sinα=-λ，

∴λ=-25sinα，μ=15cosα，

∴λ+μ=-25sinα+15cosα=sin（φ-α），其中sinφ=15，cosφ=25，

∴λ+μ的最小值為-1.

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的基本定理，通過三角換元，把問題轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)有界性求最值問題.

策略五：構(gòu)造幾何模型法

向量具有幾何特征和代數(shù)特征，挖掘題目幾何特征，構(gòu)造幾何模型，對問題解決具有快捷的效果.

例5?已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是????.

分析：把已知b2-4e·b+3=0變形，可得b的終點(diǎn)在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上，再由已知得到a的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)O的兩條射線y=±3x（x>0）上，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案.

解析：由b2-4e·b+3=0得（b-e）·（b-3e）=0，∴（b-e）⊥（b-3e），如圖，不妨設(shè)e=（1，0），則b的終點(diǎn)在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上，

又非零向量a與e的夾角為π3，則a的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)O的兩條射線y=±3x（x>0）上.不妨以y=3x為例，則|a-b|的最小值是點(diǎn)（2，0）到直線3x-y=0的距離減1.

即|23|3+1-1=3-1.

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，根據(jù)已知構(gòu)造幾何圖形是解決問題的關(guān)鍵.