拉格朗日中值定理的10個推廣

(玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,云南 玉溪 653100)

拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析中很重要的定理，同時在高等數(shù)學(xué)中也占有重要的地位，它可以研究函數(shù)在整個區(qū)間的整體性.在各類大型考試中，拉格朗日中值定理也占有很重要的位置，是主要的考點，經(jīng)常會出現(xiàn)在一些理論分析和證明題中.本文主要闡述拉格朗日中值定理在實函數(shù)論中的推廣，通過這些推廣可以拓寬拉格朗日中值定理的使用范圍.

本文探究了拉格朗日中值定理的10個推廣，并根據(jù)拉格朗日中值定理的推廣來解決實際問題.總體看,不同的推廣有不同的特點，且每個推廣與拉格朗日中值定理之間是相互聯(lián)系的.

1 拉格朗日中值定理

下面介紹本文涉及的定理：

定理(拉格朗日中值定理) 若函數(shù)f(x)滿足：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得

顯然，當(dāng)f(a)=f(b)時，拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理.

這表明羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情況.

2 拉格朗日中值定理的推廣

定理1 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得

因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，

則由羅爾中值定理可得，存在一點ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0.即

定理2 設(shè)函數(shù)f1(x),f2(x),…,fn(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，存在一點ξ∈(a,b)，使得

因為F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=o，

則由羅爾中值定理可得，存在一點ξ∈(a,b)，使得F′(x)=0.即

類似可證：

類此可證：

證明設(shè)f(x)僅在c∈(a,b)不可微，則由拉格朗日中值定理可得，存在ξ1∈(a,c)，ξ2∈(c,b),其中，ξ∈(a,b)，使得

f(c)-A=f′(ξ1)(c-a)，ξ1∈(a,c)，

B-f(c)=f′(ξ2)(b-c)，ξ2∈(c,b).

令，|f′(ξ)|=max{|f′(ξ1)|,|f′(ξ2)|}則

|B-A|≤|f′(ξ)|(b-a).

證明設(shè)f(x)僅在c∈(a,b)內(nèi)不可微，則由拉格朗日中值定理可得，存在ξ1∈(a,c)，ξ2∈(c,b),其中，ξ∈(a,b)，使得

f(c)-A=f′(ξ1)(c-a)，ξ1∈(a,c)，

B-f(c)=f′(ξ2)(b-c)，ξ2∈(c,b),

取實數(shù)α1,α2，使得α1(b-a)=c-a，α2(b-a)=b-c,則α1+α2=1,α1>0,α2>0，且

B-A=[α1f′(ξ1)+α2f′(ξ2)](b-a).

定理7 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在右導(dǎo)數(shù)f′+(x)，當(dāng)f(a)>f(b)(或f(a)

證明存在m，使得f(a)>m>f(b).

令E={x|f(x)

在c的領(lǐng)域內(nèi)，當(dāng)a

同理可證：

推論2 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)f′-(x)，當(dāng)f(a)f(b))時，則存在一點c∈(a,b)，使得f′-(c)≥0(或f′-(c)≤0).

定理8 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在右導(dǎo)數(shù)f′+(x)，且f(a)=f(b)，則存在x1,x2∈(a,b)，使得f′+(x1)≤0,f′+(x2)≥0.

證明①若f(x)=f(a)，則對任意的x1，有

所以f′+(x1)=0，結(jié)論成立.

②若f(x)≠f(a)，則存在一點c∈(a,b)，使得f(c)>f(a)；或存在一點d∈(a,b)，使得f(d)

由定理7可得，存在x1,x2，且a

f′+(x1)≤0,f′+(x2)≥0.

同理可證：

推論3 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)f′-(x)，且f(a)=f(b)，則存在x1,x2∈(a,b)，使得f′-(x1)≤0,f′-(x2)≥0.

對F(x)求右導(dǎo)數(shù)，得:

因為函數(shù)F(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在f′+(x)，且F(a)=F(b)=0.

由定理7可得，存在x1,x2∈(a,b)，使得F′+(x1)≤0,F′+(x2)≥0.即

推論4 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)f′-(x1)，則存在x1,x2∈(a,b)，使

定理10 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)存在右導(dǎo)數(shù)f′+(x),g′+(x)，且f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在x1,x2∈(a,b)，使

(f(b)-f(a))g′+(x1)-(g(b)-g(a))f′+(x1)≤0，

(f(b)-f(a))g′+(x2)-(g(b)-g(a))f′+(x2)≥0.

對F(x)求右導(dǎo)數(shù)，得:

F′+(x)=(f(b)-f(a))g′+(x)-(g(b)-g(a))f′+(x).

因為F(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)′+(x)在(a,b)內(nèi)存在，且F(a)=F(b)=0.

由定理7可得，存在x1,x2∈(a,b)，使得F′+(x1)≤0,F′+(x2)≥0.所以有，

(f(b)-f(a))g′+(x1)-(g(b)-g(a))f′+(x1)≤0，

(f(b)-f(a))g′+(x2)-(g(b)-g(a))f′+(x2)≥0.

推論5 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)存在f′-(x),g′-(x)，且f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在x1,x2∈(a,b)，使

(f(b)-f(a))g′-(x1)-(g(b)-g(a))f′-(x1)≤0，

(f(b)-f(a))g′-(x2)-(g(b)-g(a))f′-(x2)≥0.