在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”中引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”
——以《釘子板上的多邊形》教學(xué)為例

□江蘇省南京市櫻花小學(xué) 林超

一、案例引言

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種為了獲得某種數(shù)學(xué)結(jié)論，檢驗(yàn)?zāi)撤N數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，而引導(dǎo)學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的特定物質(zhì)條件下，經(jīng)過操作、探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動，最后領(lǐng)悟概念和解決問題的教學(xué)手段，這種教學(xué)手段能將抽象的理論具體化，從而帶動全體學(xué)生的思考活動，提高對疑問的興趣。因此將“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”提煉到課程的層次，則是對數(shù)學(xué)教學(xué)體系的有益補(bǔ)充，而在以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”為載體的《釘子板上的多邊形》一課教學(xué)中，我就深刻認(rèn)識到，需著眼于讓學(xué)生明確探究的問題，親歷探索的過程，在主動思考、探索操作中合理猜想，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考”，并積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、案例描述

來自“給予”和“生成”的思考：如何讓實(shí)驗(yàn)成為需要？

【前期的試上】（片段1）

1.課前，我請同學(xué)們發(fā)揮想象，在釘子板上或是在點(diǎn)子圖上創(chuàng)作多邊形，黑板上就是同學(xué)們的部分作品。

而我在和同學(xué)們一起參觀時(shí)，發(fā)現(xiàn)大家的想象力都非常豐富，因?yàn)橥瑢W(xué)們設(shè)計(jì)出的多邊形很有心思，我這也選取了其中兩個(gè)作品，現(xiàn)在就請作者來介紹一下自己的設(shè)計(jì)想法。（字母P、圣誕樹）（為什么設(shè)計(jì)這個(gè)多邊形，多邊形的面積又是怎樣算的？）

2.介紹非常清楚，同時(shí)大家有沒有注意，這兩位同學(xué)在介紹時(shí)，特別關(guān)注了三個(gè)數(shù)量，分別是？（多邊形的面積、多邊形邊上的釘子數(shù)、里面的釘子數(shù)）（貼條）

3.那么，同學(xué)們有沒有想過在計(jì)算面積時(shí)它們之間可能會有什么規(guī)律嗎？

不僅是在座的同學(xué)們，數(shù)學(xué)家們也希望找到這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，研究它們之間千變?nèi)f化的規(guī)律，其實(shí)，奧地利有位數(shù)學(xué)家叫做喬治皮克，他就是專門研究這個(gè)問題的，并且獲得了非常大的成就。

今天，我們每個(gè)同學(xué)都可以做小小數(shù)學(xué)家，嘗試做些數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，試著找出其中的規(guī)律，大家愿不愿意試一試？

以上的片段1是我教學(xué)的引入環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)意圖是希望在我適當(dāng)?shù)摹胺龀帧毕?，學(xué)生們通過對兩幅作品的觀察比較，發(fā)現(xiàn)要使“多邊形的面積”“邊上的釘子數(shù)”“里面的釘子數(shù)”這三個(gè)數(shù)量呈現(xiàn)規(guī)律，必須經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié)，方能得出結(jié)論，最終能體會到實(shí)驗(yàn)的必要性。按說這樣的設(shè)計(jì)并沒有問題，但我在與學(xué)生互動時(shí)，就已經(jīng)聽到有不少孩子小聲嘀咕道：“這節(jié)課好難?。?shí)驗(yàn)？怎么去做實(shí)驗(yàn)？”“黑板上怎么突然多了三個(gè)數(shù)量，我都暈了?！薄斑@些數(shù)量怎么可能會有規(guī)律？面積和釘子數(shù)壓根兒沒關(guān)系啊！”“那為什么要研究邊上的釘子和里面的釘子？”“可是書上說的就是釘子板上的多邊形，那肯定和釘子有關(guān)！”此言一出，爭議聲似乎也沒有了。課后，這樣的聲音雖在耳邊消失，卻在我的心間縈繞，為什么會讓孩子們有“難”的感覺呢？那正是因?yàn)楹⒆觽冇懈杏冢骸懊髅鞑幌嚓P(guān)的三個(gè)數(shù)量怎么可能會有規(guī)律呢？”正是有了這個(gè)潛意識，后續(xù)的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)就是以嚴(yán)謹(jǐn)縝密的成人思維壟斷了學(xué)生的自我成長。我想，這不僅僅是個(gè)別學(xué)生曾有過的疑問，若再投射到一個(gè)個(gè)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷上，再具體到一節(jié)節(jié)的數(shù)學(xué)課上，好像這樣的懸而未決的問題之所以仍能存在，或與我們沒有找到不同領(lǐng)域、不同知識的相似之處、激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、讓學(xué)生大膽地提出猜想有關(guān)。

我想，在課堂中，教師給予學(xué)生的研究路徑多是能找到答案的路徑，只不過在實(shí)際的課堂生成中，情況往往是無法預(yù)設(shè)的：既不知道問題在哪里，也不知道能不能解決，更不知道該用什么方法來解決。為了幫助學(xué)生捅破這層窗戶紙，我們就要相信學(xué)生是與生俱來的探究者，引導(dǎo)他們自主生成研究的路徑。我不禁想到了特級教師劉德武說過的一句話：“只有在對比的情況下，學(xué)生才能深刻經(jīng)歷、感受?！蹦俏覀儜?yīng)在把準(zhǔn)知識的生成點(diǎn)、學(xué)生的困惑點(diǎn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生的實(shí)踐操作應(yīng)伴隨著問題的發(fā)生而逐步展開，數(shù)學(xué)思維自然地植入其中，讓實(shí)驗(yàn)成為知識與思維融合的媒介。故而，我做了以下的點(diǎn)滴改變。

【正式的課上】（片段2）

1.現(xiàn)在請每個(gè)同學(xué)在釘子板上圍一個(gè)面積是4平方厘米的多邊形，盡量圍得和別人不一樣。

2.你是怎樣確定這些多邊形的面積是4平方厘米的？除了數(shù)格子、用公式計(jì)算，還有其他的方法嗎？可以大膽地猜想一下。

3.雖然都是4平方厘米，可這些多邊形有沒有不同之處？要不，你再變一變，能圍出一個(gè)比4平方厘米大的多邊形嗎？

4.通過變一變、圍一圍，你現(xiàn)在又有什么感覺嗎？你覺得釘子板上的多邊形的面積可能與什么有關(guān)？

5.我也學(xué)著大家的樣子變一變，面積變大，邊長變長，邊上的釘子數(shù)呢？里面的釘子數(shù)呢？

6.多邊形里面的釘子數(shù)、邊上的釘子數(shù)和多邊形的面積，這三個(gè)數(shù)量之間到底又有怎樣的關(guān)系呢？你覺得可以從哪里開始研究呢？

如片段2，研究路徑必須由學(xué)生說了算，想來，著眼于學(xué)生的潛意識，讓學(xué)生學(xué)會確定研究的路徑或許比發(fā)現(xiàn)的規(guī)律更加重要。在片段1中，研究路徑的設(shè)計(jì)痕跡明顯，由教師一步步“給予”孩子的，而片段2中則花了數(shù)倍于前者的時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生“生成”實(shí)驗(yàn)研究的路徑，孩子們雖然經(jīng)歷了前期的海闊天空般的創(chuàng)想，但圍出了各種奇思妙想的圖形，這是基于經(jīng)驗(yàn)、感悟的創(chuàng)造，最終基于思辨，明確了研究的路徑，為下一步數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展制造了認(rèn)知條件。

當(dāng)然，此時(shí)的孩子們內(nèi)心中也產(chǎn)生了一個(gè)大大的疑問：“這三個(gè)數(shù)量之間到底又有怎樣的關(guān)系呢？”進(jìn)而聯(lián)系第3問和第4問的提出，在制造認(rèn)知矛盾的過程中造成認(rèn)知的不平衡，再次激發(fā)學(xué)生刨根問底般的探究欲，為后面運(yùn)用“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”研究多邊形內(nèi)部有1個(gè)釘子及更多釘子數(shù)的情況做好鋪墊。這樣看來，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)不正是讓學(xué)生在動手操作中打開被掩蓋的思維軌跡嗎？通過多種學(xué)習(xí)方式的參與，增強(qiáng)對實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的融入程度，感受到實(shí)驗(yàn)的必要性。

來自“牽引”和“生長”的思考：如何明確實(shí)驗(yàn)的路徑？

【前期的試上】（片段3）

1.那今天這節(jié)課我們就一起從最簡單的開始研究，當(dāng)多邊形內(nèi)部只有1個(gè)釘子時(shí)，看看會有什么發(fā)現(xiàn)。出示：研究單一。

2.小組內(nèi)完成表格并交流匯報(bào)。

提問：可以怎樣計(jì)算面積？（可以數(shù)方格計(jì)算，還可以用公式計(jì)算）

3.觀察這些數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：（1）多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積越大；（2）多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半；（3）多邊形的面積乘2等于多邊形邊上的釘子數(shù)（追問：反過來就是說……）

4.剛才幾位同學(xué)都把意思表達(dá)出來了，只是還不夠簡潔。

在數(shù)學(xué)上，一般用a表示多邊形內(nèi)的釘子數(shù)，S表示面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那么這個(gè)發(fā)現(xiàn)可以怎樣說？（板書）

5.那S=n2這個(gè)發(fā)現(xiàn)是不是適用于釘子板上所有的多邊形呢？（多邊形內(nèi)部只能有1個(gè)釘子）

如果，a=2、3、4、5……的話，面積和邊上的釘子數(shù)會有怎樣的關(guān)系呢？誰能大膽地猜測一下？（板書）

【正式的課上】（片段4）

1.學(xué)生1：為了找到多邊形里面的釘子數(shù)、邊上的釘子數(shù)和多邊形的面積這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，我們小組準(zhǔn)備通過實(shí)驗(yàn)的方法來研究。

學(xué)生2：可以在釘子板上先確定里面的釘子數(shù)，再改變邊上的釘子數(shù)，這樣可以看看面積有沒有變化，說不定就能看出它們之間的關(guān)系。

2.教師：那你們準(zhǔn)備先確定多邊形里面有幾枚釘子呢？先動手試一試吧！出示：

3.教師：小組內(nèi)做實(shí)驗(yàn)時(shí)，你覺得要注意什么？觀察每組匯報(bào)的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

4.現(xiàn)在能下結(jié)論——多邊形里面只有1枚釘子時(shí)，面積就一定是邊上釘子數(shù)的一半嗎？為什么？有沒有類似的例子，看看你們組的例子是不是符合這個(gè)發(fā)現(xiàn)。這樣的例子舉得完嗎？

5.我們再來看看多邊形里面有2枚釘子時(shí)的例子吧。（逐一展示多邊形內(nèi)有多枚釘子的情況）

以上兩個(gè)片段的設(shè)計(jì)思路都是希望通過實(shí)驗(yàn)操作，由具體到抽象，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會實(shí)驗(yàn)分工、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，在完善實(shí)驗(yàn)方案的過程中感受到規(guī)律，畢竟過程的感知比發(fā)現(xiàn)規(guī)律更為重要。在授課過程中，我發(fā)現(xiàn)前者雖然程序性強(qiáng)，與知識版塊結(jié)合緊密，活動容易開展，討論容易進(jìn)行，也更容易得出結(jié)論，但是，總感覺實(shí)驗(yàn)的展開是被我牽著走的，數(shù)學(xué)味淡，學(xué)生的參與感不強(qiáng)烈，思維沒有那種自然而生的味道。而后者也有程序的設(shè)計(jì)，但是，在學(xué)生自主的討論中產(chǎn)生與提出疑問，再由自己分析解決這些產(chǎn)生的問題，注重了學(xué)生活動過程中思維“生長”的力量，比如“研究單一”的設(shè)計(jì)完全推翻了片段3中的設(shè)計(jì)，三個(gè)實(shí)驗(yàn)步驟的提出，著眼點(diǎn)在于使學(xué)生自己“生長”出發(fā)現(xiàn)的過程，逐漸明白為什么這樣做，需要注意些什么，還可以怎樣做，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之序。

三、案例反思

《釘子板上的多邊形》是一節(jié)數(shù)學(xué)活動課，教材所提供的素材也非常便于實(shí)驗(yàn)的開展。按照以往的經(jīng)驗(yàn)，這節(jié)課無論怎樣安排教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生個(gè)體的操作和師生的互動都會頻繁交替出現(xiàn)，整個(gè)課堂會顯得非常忙碌。而這次，我用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思路去思考了本節(jié)課，思維頓時(shí)豁然開朗，原來數(shù)學(xué)課還可以這樣上。整節(jié)課，我沒有組織繁多的交流反饋，也沒有口若懸河地引導(dǎo)講解，在一片“此處無聲勝有聲”的氛圍中，學(xué)生全身心地投入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，較圓滿地完成了研究任務(wù)。

回想《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，其中也明確指出：“教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識與學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系、與學(xué)生學(xué)科知識的聯(lián)系，組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，抽象概括，運(yùn)用知識進(jìn)行判斷……”我想，這里的“實(shí)驗(yàn)”是有別于我們曾經(jīng)自以為是的“實(shí)驗(yàn)”。那種看作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式，更多是一種操作演示：或是教師的操作演示，或是組內(nèi)個(gè)別學(xué)生的操作演示，更多的學(xué)生只是看客。課標(biāo)所提倡的“實(shí)驗(yàn)”是當(dāng)面對一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，全員全程參與到探索研究的活動中來，即可獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，也可組內(nèi)實(shí)驗(yàn)，“推著”所有學(xué)生參與，避免看客的存在。在學(xué)習(xí)時(shí)，美國學(xué)者H·拉斯維爾《傳播在社會中的結(jié)構(gòu)與功能》一文給了我很大的啟發(fā)，文中首次提出“五W模式”，即“拉斯維爾程式”。這五個(gè)W分別是英語中五個(gè)疑問代詞的第一個(gè)字母，即：Who（誰）、Says What（說了什么）、In Which Channal（通過什么渠道）、To Whom（向誰說）、With What Effect（有什么效果）。這一過程模式，正是教材想向?qū)W生表達(dá)的，若是運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中來，可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀問題及自我反思的能力。因?yàn)閷W(xué)生對新知都具備或多或少的認(rèn)識，所以才會在學(xué)習(xí)過程中不斷在腦中問一問Why。而敢于提出問題，本身就是一種高效的學(xué)習(xí)方式，初期，學(xué)生對為什么要實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了疑惑，后又對實(shí)驗(yàn)的路徑產(chǎn)生了不認(rèn)同，這還是與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式有關(guān)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“自下而上”的，應(yīng)首先向?qū)W生明確實(shí)驗(yàn)的目的與任務(wù)，再讓學(xué)生帶著目的和任務(wù)進(jìn)行探究，學(xué)生在任務(wù)的驅(qū)動下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以保證不偏離實(shí)驗(yàn)的方向，而我后續(xù)的教學(xué)設(shè)計(jì)也是聚焦于這五個(gè)W與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)合開展的。

兩組教學(xué)片段的呈現(xiàn)都是面對動態(tài)多變的課堂而自然生成的，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過程中也暴露出模糊、片面之處，可這恰恰可能是學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，能將學(xué)生置身于一個(gè)“實(shí)驗(yàn)操作”的環(huán)境中，學(xué)生或可通過動手實(shí)驗(yàn)提出問題、再解決問題，從而構(gòu)建出屬于自己的知識體系，真正實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的再創(chuàng)造。