歐陽才學(xué)
一、“非等可能性”與“等可能性”
對(duì)比分析不論是古典概型還是幾何概型,都要求每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,這是使用古典概型與幾何概型概率計(jì)算公式的前提而在解法1中,基本事件不是等可能發(fā)生的,如基本事件(紅,紅,紅)與(紅,紅,黃)發(fā)生的概率分別為1/84和3/28,兩者并不相等,因而解法1是錯(cuò)誤的。解法2是將9面旗子編號(hào)(同顏色看成有區(qū)別),每個(gè)基本事件是等可能發(fā)生的,所以解法2是正確合理的。
二、逐個(gè)抽取與一次抽取
對(duì)比分析本題是考生易錯(cuò)的一個(gè)題型,產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)何時(shí)看成有序、何時(shí)看成無序弄不清楚。上述解法是將(I)(II)都看作有序,(Ⅲ)看作無序,但顯然(II)與(Ⅲ)的意義相同,因而(Ⅲ)的解法也適用于(II),這說明(II)也可以看成無序來解一般地,在涉及逐次抽取與一次抽取、有序與無序等概率問題時(shí),考生可參考這樣的思路:逐次抽取(抽后不知結(jié)果)按有序處理,一次抽取按無序處理;無論有序還是無序,計(jì)算總基本事件數(shù)與所求事件含有的基本事件數(shù)須持同一看法。
三、古典概型與幾何概型
對(duì)比分析古典概型與幾何概型作為兩種不同的概率模型,有相同點(diǎn),即都要求試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性,但也有區(qū)別。以本題為例,在古典概型中由P(AUB)=P(A)+P(B),可知事件A與B必互斥再由兩者概率和為1得兩者對(duì)立,因而答案選C。在幾何概型中,滿足P(AUB)=P(A)+P(B)=1的兩事件不一定互斥,更不一定對(duì)立,所以應(yīng)選D。
由此可見,兩種概型之間確實(shí)存在區(qū)別,忽略了這點(diǎn),將會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的出現(xiàn)。
四、條件概率P(B|A)與積事件的概率P(A·B)
對(duì)比分析“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P(A·B)”是兩個(gè)容易產(chǎn)生混淆的概念。P(B|A)表示在縮減的樣本空間中,作為條件的事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率;P(A·B)表示在樣本空間中,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的概率。本題中“第二次才取到黃球”顯然表示“第一次取到白球,且第二次取到黃球”,故解法2正確。
區(qū)別條件概率與積事件概率的方法主要是兩點(diǎn):一是看題目中是否有“……發(fā)生的條件下”之類的話;二是根據(jù)題意,結(jié)合生活常識(shí)分析事件間的關(guān)系。
五、超幾何分布與二項(xiàng)分布
對(duì)比分析本題的幾個(gè)小題涉及超幾何分布和二項(xiàng)分布,產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別等問題認(rèn)識(shí)不清??忌趶?fù)習(xí)中要弄清如下問題:
①超幾何分布,是指N件產(chǎn)品中有M件次品,從中任取n件,其中次品件數(shù)X的概率公式抽取n件一般指一次性抽取,若是無放回逐個(gè)抽取,則由乘法原理得公式結(jié)果與一次性抽取相同故在超幾何分布中,抽取n件也可認(rèn)為是無放回逐個(gè)抽取,但無放回逐個(gè)抽取與一次抽取并不完全相同,前者常表示有序,產(chǎn)生的可能結(jié)果較復(fù)雜,而后者表示無序,產(chǎn)生的可能結(jié)果相對(duì)簡(jiǎn)單。
②二項(xiàng)分布要具備兩個(gè)條件:一是n次試驗(yàn)相互獨(dú)立;二是每次試驗(yàn)只有A與A兩個(gè)結(jié)果,P(A)=p,無放回逐個(gè)抽取滿足第二個(gè)條件,但不滿足第一個(gè)條件。
③當(dāng)總量N很大且抽取的數(shù)量n相對(duì)較小時(shí),無放回抽取與有放回抽取差別不大,此時(shí),本來服從超幾何分布的,可近似看成服從二項(xiàng)分布。