AutoCAD環(huán)境下漸開線齒形畫法研究

王文革

摘 要：在AutoCAD環(huán)境下用Autolisp語言編制程序自動繪制標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪;本程序解決了AutoCAD軟件不能繪制漸開線齒形曲線的問題，提高了齒輪圖形繪制的效率，并且繪出的齒輪圖形更加形象化。

關(guān)鍵詞：漸開線齒形 Autolisp語言 壓力角 展開角

中圖分類號：TH126文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1003-9082（2019）04-0-01

常用的標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的齒形曲線為漸開線，不能用幾何作圖法直接畫出，國內(nèi)有諸多文獻(xiàn)對漸開線的畫法進(jìn)行了研究，多用三段或多段圓弧代替漸開線，有一定的直觀性，但不夠精確且步驟繁瑣。隨著電腦繪圖的普及，有些軟件已經(jīng)可以精確畫出漸開線齒形曲線，如CAXA、Pro/E、UG等，但是作為應(yīng)用最為廣泛的繪圖軟件AutoCAD卻沒有這個功能，給廣大使用者帶來不便。本程序用AutoCAD內(nèi)嵌的Autolisp語言編制，可以在AutoCAD繪圖界面下自動、精確、快速繪制漸開線齒形曲線。

一、有關(guān)參數(shù)

根據(jù)漸開線的形成原理，漸開線的形狀與基圓的大小有關(guān)，所以要繪制出漸開線齒形，還必須由齒數(shù)z與模數(shù)m計算出基圓半徑大小，根據(jù)漸開線形成原理，漸開線極坐標(biāo)參數(shù)方程為：ri=rb/cosαi θi=tanαi-αi其中rb—基圓半徑;ri—漸開線上任意一點的極徑;αi—漸開線上相應(yīng)點的壓力角;θi—漸開線上相應(yīng)點的展開角，標(biāo)準(zhǔn)齒輪分度圓上的壓力角α=20°，所以基圓半徑rb=r*cos20°=0.5*m*z*cos20°;對于標(biāo)準(zhǔn)齒輪，齒根圓半徑rf=0.5*m*（z-2.5），基圓半徑rb=0.5*m*z*cos20°，得z=41.45時，rf=rb，所以當(dāng)齒數(shù)z≤41時，齒根圓小于基圓，需在基圓與齒根圓之間添加過渡曲線，漸開線與過渡曲線共同組成齒形曲線;當(dāng)z≥42時，齒根圓大于基圓，漸開線直接與齒根圓相接，不需要添加過渡曲線，為簡化程序，本程序中用一小段直線段作為過渡曲線。

二、算法設(shè)計

1.極徑的確定

如圖1所示：以齒輪中心為原點建立XOY坐標(biāo)系，讓一個輪齒關(guān)于Y軸對稱，C點為漸開線上任意點，設(shè)θi、αi分別為該點對應(yīng)的展開角和壓力角，B點為分度圓與漸開線交點，A點在基圓或齒根圓（兩者中的大者）上，為漸開線的起始點，設(shè)A點的極徑為r0，則r0=max（rb rf），由于從A點至齒頂D點，漸開線上任意點的極徑是單調(diào)遞增的，把A點到齒頂?shù)母叨萵等分，可得到漸開線上任意點的極徑ri：ri=r0+（ra-r0）*K ?（K=0～n），等分點越多繪出的曲線越圓滑，本程序中設(shè)置n=300*m，把ri代入漸開線極坐標(biāo)參數(shù)方程ri=rb/cosαi，θi=tanαi-αi可計算出任應(yīng)意點C對應(yīng)的展開角θi。

2.極角的計算

在圖1所示幾何關(guān)系中：∠COC=∠BOB-2∠BOC，因為∠BOB為分度圓齒厚對應(yīng)圓心角，所以∠BOB=π/z，∠BOC為任意點C對應(yīng)展開角θi與分度圓上點B展開角θ之差，結(jié)合漸開線的極坐標(biāo)公式可得∠BOC=θi-（tanα-α），得到圓心角∠COC=π/Z-2[θi-（tanα-α）]，把2.1中計算出的任意點展開角θi代入，可計算出輪齒任意齒厚對應(yīng)的圓心角∠COC。

在圖1所示坐標(biāo)系中，根據(jù)幾何關(guān)系可得C點的極角∠XOC=π/2-0.5*∠COC

3.漸開線的繪制

以K為循環(huán)控制變量，K=0～n，重復(fù)2.1和2.2過程，不斷計算出任意點C的極徑ri和極角∠XOC，用Autolisp語言中的POLAR函數(shù)生成C點的極坐標(biāo)，用COMMAND pline命令順次連接各點，即畫出齒形曲線的漸開線段。

4.齒頂圓、齒根圓、過渡曲線的繪制

在上述過程中當(dāng)K=n時得到的是齒頂圓上D點的極坐標(biāo)和圓心角∠DOD，用COMMAND arc命令可繪出齒頂圓弧，當(dāng)K=0時得到A點坐標(biāo)和圓心角∠AOA，如果Z≥42A點即為齒根圓上的點，按幾何關(guān)系∠AOA1=2π/z-∠AOA，由A點坐標(biāo)和∠AOA1，用COMMANDarc命令可繪出齒根圓弧AA1，如果Z≤41，由A點坐標(biāo)和三角形AFO和三角形EGO可計算出E點坐標(biāo)和∠GOE，用COMMAND line命令畫出渡線段AE，計算出∠XOE1=2π/z-2*∠GOE，結(jié)合E點坐標(biāo)，用COMMAND arc命令畫出齒根圓弧E。

5.全部輪齒的繪制

對于上述過程中繪出的漸開線段和過渡線段用對稱命COMMAND mirror可得到一個完整輪齒曲線，將輪齒曲線、齒頂弧、齒根弧生成一個選擇集S，對選擇集S按齒數(shù)z以齒輪中心為圓周中心，進(jìn)行中心陣列，即可得到全部輪齒的齒形圖。

三、程序使用說明

主程序中定義的函數(shù)名為clqx，在AutoCAD界面下由下拉菜單“工具→Autolisp→加載應(yīng)用程序”將主程序加載到當(dāng)前內(nèi)存，在命令行中輸入clqx，即可啟動繪圖程序。

參考文獻(xiàn)

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