數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探討

劉雷

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，提高學(xué)生解決實際問題的能力，新教學(xué)模式越來越重視教學(xué)與實踐的結(jié)合。隨著數(shù)學(xué)建模思想的廣泛應(yīng)用，更多高校逐漸將數(shù)學(xué)建模教育應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中。本文將簡要分析數(shù)學(xué)建模的方法和過程，并結(jié)合實例分析建模思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用教學(xué)

近年來的高校擴招使得同一層次的學(xué)生之間存在較大的基礎(chǔ)差異，尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，部分學(xué)生接觸到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程《高等數(shù)學(xué)》表現(xiàn)出一定的難度，針對這種問題，高等數(shù)學(xué)教學(xué)也在頻繁進行教學(xué)改革，并以理論知識和實踐相結(jié)合的方式進行高等數(shù)學(xué)知識的普及，尤其是數(shù)學(xué)建模比賽，這種方式幫助學(xué)生提高對高等數(shù)學(xué)的理解能力和積極性，是未來高等數(shù)學(xué)教育的發(fā)展方向。

一、數(shù)學(xué)建模的方法與過程

數(shù)學(xué)建模思想事實上是為了使學(xué)生所學(xué)的知識更加具有實際應(yīng)用價值，幫助學(xué)生運用理論知識構(gòu)建一個依附于實際的假設(shè)，探索其與現(xiàn)實事件之間存在的聯(lián)系和發(fā)展規(guī)律，從而結(jié)合該假設(shè)模型去解決實際問題。

數(shù)學(xué)建模方法包含兩種類型：第一種是類比原理的方法，該方法是構(gòu)建有具體物理背景或發(fā)展規(guī)律的模型，并結(jié)合實際來對其進行分析研究，探索其真實存在的邏輯關(guān)系，得出其內(nèi)部相關(guān)演變原理。第二種是不明確發(fā)展規(guī)律的模型，我們首先需要將所構(gòu)建的模型類比為一個“黑箱”，盡可能利用測量手段獲取具有一定規(guī)律的實驗數(shù)據(jù)，再結(jié)合計算機技術(shù)或統(tǒng)計的方法對這些實驗數(shù)據(jù)進行分析整理，并對模型進行相貼合的修改，從而使模型更接近于研究對象，利用這種系統(tǒng)辨識的方式解決實際問題，并得出其他演變參數(shù)。

數(shù)學(xué)建模的過程如下：（1）分析問題和研究對象;（2）構(gòu)建模型假設(shè);（3）參數(shù)及符號說明;（4）數(shù)據(jù)分析處理;（5）研究分析模型;（6）評價模型效果;（7）模型改進與推廣等。所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型可以進行分類：按照研究對象與方法的差異可將其分為邏輯模型、幾何模型、圖論模型、微分方程模型等。按照研究對象的種類可將其分為生態(tài)模型、交通模型、環(huán)境模型、社會模型、經(jīng)濟模型等。

二、數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.在理論教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模思想產(chǎn)生于其與實際客觀發(fā)展規(guī)律的聯(lián)系，即高等數(shù)學(xué)中理論知識與實際發(fā)展規(guī)律的結(jié)合，一個數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程多需要經(jīng)過漫長的研究驗證，最終才能應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，也就是說，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程與實際不可分割，且目的是解決實際問題。數(shù)學(xué)建模思想更是極大地提現(xiàn)了這一屬性，將其應(yīng)用于理論教學(xué)中，以概念具象化的方式激起學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的積極性和學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更易于接受理論知識。具體到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、向量、級數(shù)等均是高等數(shù)學(xué)中極具代表性的高頻概念。對于這些概念相關(guān)的理論知識講解，教師應(yīng)該引入建模思想，列舉適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來加深學(xué)生對這些概念的理解。

例如，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，教師可以結(jié)合物理問題列舉變速直線運動求瞬時速度的數(shù)學(xué)模型，或者求切線斜率問題的幾何模型，從而使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與變化率之間的聯(lián)系，以此為依據(jù)使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)概念的含義，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義解決一些實際問題;關(guān)于定積分概念的學(xué)習(xí)，教師可以結(jié)合求曲邊梯形面積列舉幾何模型，或者結(jié)合求變力做功的物理問題列舉物理模型，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定積分“化整為零”思想，將定積分的求解分化成“分割、近似、求和、取極限”四個步驟，從而解決問題。

2.在實際問題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型的建立更在于提高學(xué)生解決實際問題的能力，因此解決實際問題時構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用更為廣泛且更為重要。學(xué)生在解決高等數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)盡可能回顧教學(xué)過程中與生活實際相類似的數(shù)學(xué)模型，仔細發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而將研究對象與數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，進行問題的分析和處理，提煉出有效數(shù)據(jù)信息，深化模型發(fā)展變化，以便更好地解決問題。

實際數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用類型很多，主要列舉如下兩個問題進行應(yīng)用分析：

第一類是最值問題。對于導(dǎo)數(shù)的研究，函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和凹凸性與拐點是最常見的研究對象，研究方法也存在很多共同點，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在長時間的教學(xué)和練習(xí)過程中善于進行歸納總結(jié)，得出有關(guān)最值求法的主要解題步驟，并結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想為主要解題步驟增加一些延伸問題來進行更深層次的研究，以打開個人思維，積累解決問題的經(jīng)驗，并多加練習(xí)，使自己熟練掌握以數(shù)學(xué)建模為指導(dǎo)思想的最值問題解法。

第二類是微分方程問題。微分方程在高等數(shù)學(xué)中主要以計算問題為主，相應(yīng)的理論知識也是針對多種典型的微分方程示例進行求解。而微分方程在解決實際問題上應(yīng)用非常廣泛，典型的微分方程也只是實際問題的一部分。學(xué)生應(yīng)該結(jié)合微分方程示例總結(jié)出通用的解題過程，首先分析方程中存在的顯性變量，并結(jié)合具體方程研究這些變量之間的邏輯關(guān)系，其次結(jié)合數(shù)學(xué)乃至其他學(xué)科如物理、化學(xué)、生物等的相關(guān)知識建立相應(yīng)的微分方程，結(jié)合微分方程中的初始條件分析如何進行求解并得出最終計算結(jié)果，最后應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的建模思想及其他理論知識進行結(jié)果分析和驗證。

總的來講，數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用具有較多優(yōu)勢，但也存在一定的局限性，只有理論知識或研究對象之間的邏輯關(guān)系與之前學(xué)習(xí)歸納總結(jié)的方法存在相同之處甚至有很大聯(lián)系時，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)建模思想的最大應(yīng)用價值。

結(jié)語

應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想既能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，也能夠培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，對于高等數(shù)學(xué)不斷改革的今天，高校更應(yīng)重視數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)建模思想融入到教育教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生善于總結(jié)歸納，運用數(shù)學(xué)建模思想解決實際問題。同時多舉辦一些數(shù)學(xué)建模大賽或是學(xué)術(shù)交流會，鼓勵學(xué)生相互學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模思想，全面提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，保證為社會輸送更多優(yōu)質(zhì)人才。

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