基于高度的阻力系數(shù)實(shí)時(shí)修正方法

楊小會(huì)，張 英，何江楊，于 良

(1.機(jī)電動(dòng)態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065；2.山東特種工業(yè)集團(tuán)有限公司，山東 淄博 255200)

0 引言

彈道修正是彈藥實(shí)現(xiàn)精確打擊的重要途徑，快速準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)彈丸落點(diǎn)是實(shí)施彈道修正的前提。采用衛(wèi)星定位進(jìn)行彈道測(cè)量，利用當(dāng)前彈道參數(shù)結(jié)合理想的彈道模型外推實(shí)際落點(diǎn)是一種常用的落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法[1]，空氣動(dòng)力參數(shù)是彈道解算中的關(guān)鍵參數(shù)，其中阻力系數(shù)又尤其關(guān)鍵，其準(zhǔn)確度直接影響落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度。

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)表明，高空與地面的空氣密度和黏性系數(shù)差別很大，導(dǎo)致雷諾數(shù)的變化很大，如30 km高空上的雷諾數(shù)大約只有地面值的15%[2-3]，這使得彈丸的阻力系數(shù)增大，并且隨著高度的增加阻力系數(shù)增量也越大[4-5]。過去由于彈丸射程小，飛行高度不大，因此彈道解算中直接應(yīng)用在地面測(cè)得的阻力系數(shù)，不考慮隨飛行高度不同雷諾數(shù)變化的影響，解算誤差一般不大。然而現(xiàn)代彈丸的飛行距離和高度大為增加，例如155 mm復(fù)合增程彈飛行高度可達(dá)25～30 km，若不考慮雷諾數(shù)對(duì)阻力系數(shù)的影響則彈道解算誤差較大，射程誤差可達(dá)1%，已不能忽視[6]。

通常雷諾數(shù)對(duì)于阻力系數(shù)的影響采用風(fēng)洞試驗(yàn)獲得，但是只有在可變雷諾數(shù)、較高水平的風(fēng)洞中才能實(shí)現(xiàn)，因此不容易獲取到不同雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)。通過空氣動(dòng)力計(jì)算軟件可以比較容易地獲取到不同彈道高度條件下雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)，可以將雷諾數(shù)對(duì)阻力系數(shù)的修正轉(zhuǎn)換為高度對(duì)阻力系數(shù)的修正。針對(duì)不同彈道高度的氣象不同引起雷諾數(shù)不同，進(jìn)而導(dǎo)致阻力系數(shù)不準(zhǔn)確的問題，本文提出了基于高度的阻力系數(shù)實(shí)時(shí)修正方法。

1 雷諾數(shù)對(duì)阻力系數(shù)的影響

1.1 阻力系數(shù)計(jì)算方法

彈箭的阻力系數(shù)由零升阻力系數(shù)和誘導(dǎo)阻力系數(shù)組成，零升阻力系數(shù)Cx0主要由摩阻系數(shù)Cxf、渦阻系數(shù)Cxb和波阻系數(shù)Cxw組成[7]，見式(1)：

cx0=cxf+cxb+cxw

(1)

在紊流附面層條件下，彈丸的摩阻系數(shù)見式(2)：

(2)

式(2)中，Ss為彈丸側(cè)表面積，S為彈丸特征面積，ηλ為形狀修正系數(shù)，ηm為考慮到空氣的壓縮性后采用的修正系數(shù)。

Re為雷諾數(shù)，見式(3)：

(3)

式(3)中，ρ為空氣密度，μ為空氣的黏性系數(shù)，v為彈丸速度，l為彈體長(zhǎng)度。

由于目前還沒有一個(gè)準(zhǔn)確的計(jì)算渦阻的理論方法，因此采用工程算法[4]，將摩阻和渦阻合在一起計(jì)算，見式(4)：

cxf+cxb=Acxf+cxd

(4)

式(4)中，系數(shù)A與飛行馬赫數(shù)和彈丸長(zhǎng)細(xì)比相關(guān)，Cxd為彈丸底阻，其計(jì)算方法見式(5)：

(5)

式(5)中，ξ為尾椎收縮比，λB為彈丸長(zhǎng)細(xì)比，Ma為飛行馬赫數(shù)。

亞音速時(shí)波阻系數(shù)為零，超音速時(shí)，對(duì)于卵形頭部和截錐尾部彈丸波阻系數(shù)可采用式(6)估算：

(6)

式(6)中，φ0為彈頭半頂角，αk為尾錐角。

1.2 雷諾數(shù)對(duì)阻力系數(shù)的影響

由式(1)、式(2)、式(5)和式(6)可知，對(duì)于某一彈丸，在同一飛行速度時(shí)，不同的彈道高度對(duì)應(yīng)的空氣密度和空氣黏性系數(shù)不同，因此雷諾數(shù)不同，相應(yīng)的阻力系數(shù)就不同。圖1為不同高度對(duì)應(yīng)的空氣密度，圖2為不同高度對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)，圖3為不同雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)，圖4為155 mm榴彈彈丸速度1.2Ma時(shí)不同高度對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)增量。由圖可以看出，高度增加20 km時(shí)，空氣密度和雷諾數(shù)約只有地面的10%，相應(yīng)的阻力系數(shù)增加了10%。

圖1 不同高度對(duì)應(yīng)的空氣密度Fig.1 Relation between air density and altitude

圖2 不同高度對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)Fig.2 Relation between Reynolds number and altitude

圖3 不同雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)(Ma=1.2)Fig.3 Relation between Reynolds number and drag coefficient

圖4 不同高度對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)增量(Ma=1.2)Fig.4 Relation between altitude and drag coefficient increment

2 基于高度的阻力系數(shù)實(shí)時(shí)修正方法

2.1 阻力系數(shù)與高度的關(guān)系

由式(2)和圖3可以看出，同一馬赫數(shù)下，阻力系數(shù)隨著雷諾數(shù)的增大而單調(diào)減小，阻力系數(shù)是雷諾數(shù)的反比例函數(shù)，如式(7)：

cx|Ma=g(Re)

(7)

由式(3)可以看出，雷諾數(shù)是氣象參數(shù)即空氣密度和黏度的函數(shù)，由圖1可以看出氣象參數(shù)是高度的函數(shù)，因此，雷諾數(shù)也是高度的函數(shù)，見式(8)。由圖2可以看出，同一馬赫數(shù)下，雷諾數(shù)是高度的反比例函數(shù)，即雷諾數(shù)隨著高度的增加而單調(diào)減小。

Re=f(h)

(8)

因此，根據(jù)式(7)和式(8)，可以將阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)換為阻力系數(shù)與高度的關(guān)系，見式(9)。由如圖4可以看出，同一馬赫數(shù)下，阻力系數(shù)與高度成正比例關(guān)系，高度越高阻力系數(shù)越大。

cx|Ma=g(f(h))=k(h)

(9)

2.2 基于高度的阻力系數(shù)實(shí)時(shí)修正方法

圖5為155 mm榴彈不同馬赫數(shù)不同彈道高度對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)增量曲線。

圖5 不同馬赫數(shù)不同彈道高度阻力系數(shù)增量Fig.5 Drag coefficient increment of different Ma and altitude

由圖5可以看出，同一高度下不同的馬赫數(shù)彈丸阻力系數(shù)增量并不相同，因此不同彈道高度下的阻力系數(shù)增量為彈丸飛行馬赫數(shù)和彈道高度的二元函數(shù)，見式(10)：

Δcx(Ma,h)=φ(Ma,h)

(10)

由圖5可以看出，同一馬赫數(shù)下，阻力系數(shù)增量與高度近似呈線性關(guān)系，因此將同一馬赫數(shù)下不同高度對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)增量進(jìn)行擬合，可以得到高度與阻力系數(shù)增量關(guān)系，則式(10)可以變?yōu)槭?11)：

Δcx(Ma,h)=Kh(Ma)·h

(11)

式(11)中，Kh為相應(yīng)馬赫數(shù)對(duì)應(yīng)的高度對(duì)阻力系數(shù)的修正系數(shù)。

通過空氣動(dòng)力計(jì)算軟件可以計(jì)算出地面不同馬赫數(shù)對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)Cx0(Ma)，則不同飛行馬赫數(shù)不同彈道高度對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)見式(12)：

cx(Ma,h)=cx0(Ma)+Δcx(Ma,h)

(12)

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

以155 mm底排彈為平臺(tái)，采用仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證基于高度的阻力系數(shù)修正方法的有效性。

3.1 高度對(duì)阻力系數(shù)的修正系數(shù)獲取

采用空氣動(dòng)力計(jì)算軟件，通過設(shè)置不同馬赫數(shù)、不同高度對(duì)應(yīng)的氣象條件計(jì)算得到的阻力系數(shù)見圖6。將地面阻力系數(shù)作為基準(zhǔn)，計(jì)算的不同高度對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)增量，進(jìn)而得到高度對(duì)阻力系數(shù)的修正系數(shù)。修正系數(shù)的擬合采用萬米為單位，公式如下：

Δcx(Ma,h)=Kh(Ma)·h/10 000

(13)

擬合結(jié)果見表1。

表1 高度對(duì)阻力系數(shù)的修正系數(shù)Tab.1 Drag coefficient modified coefficient of altitude

圖6 不同馬赫數(shù)不同彈道高度阻力系數(shù)Fig.6 Drag coefficient of different Ma and altitude

3.2 仿真驗(yàn)證

以155 mm底排彈為平臺(tái)，在初速933 m/s，射角52°，4 500 m海拔氣象條件下(射程約55 km)，分別采用地面阻力系數(shù)和基于高度實(shí)時(shí)修正的阻力系數(shù)解算彈道，彈道曲線見圖7。由圖可以看出，基于高度實(shí)時(shí)修正的阻力系數(shù)解算的射距較采用地面阻力系數(shù)解算的射距近1 198 m，約2.14%，橫偏近43 m，約1.97%。

圖7 不同阻力系數(shù)解算的彈道曲線Fig.7 Trajectory of different drag coefficient

3.3 試驗(yàn)驗(yàn)證

基于155 mm底排彈全裝藥最大射程角外場(chǎng)試驗(yàn)雷達(dá)跟蹤數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)氣象數(shù)據(jù)，分別采用地面阻力系數(shù)和基于高度實(shí)時(shí)修正的阻力系數(shù)，從彈道頂點(diǎn)時(shí)刻開始預(yù)測(cè)彈丸的落點(diǎn)坐標(biāo)，將預(yù)測(cè)的落點(diǎn)坐標(biāo)與實(shí)測(cè)的落點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行比較，計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，評(píng)估基于高度的阻力系數(shù)修正方法的有效性。彈丸的落點(diǎn)坐標(biāo)見圖8。

由圖8可以看出，從彈道頂點(diǎn)時(shí)刻開始彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)，采用地面阻力系數(shù)預(yù)測(cè)的落點(diǎn)誤差較大，5發(fā)彈丸射距誤差均值為87.2 m，橫偏誤差均值為62.0 m；基于高度實(shí)時(shí)修正的阻力系數(shù)預(yù)測(cè)的落點(diǎn)誤差較小，射距誤差均值為31.4 m，橫偏誤差均值為19.6 m，預(yù)測(cè)精度約提高了一倍。

圖8 彈丸落點(diǎn)坐標(biāo)Fig.8 Impact point of projectile

4 結(jié)論

本文提出了基于高度的阻力系數(shù)實(shí)時(shí)修正方法。該方法通過空氣動(dòng)力計(jì)算軟件獲取到同一馬赫數(shù)不同高度氣象條件對(duì)應(yīng)的彈丸阻力系數(shù)變化量與高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在彈道解算中，采用彈丸實(shí)際彈道高度插值該關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了彈丸阻力系數(shù)的實(shí)時(shí)修正。155 mm榴彈底排彈最大射程角驗(yàn)證結(jié)果表明：4500 m海拔時(shí)，高度修正的阻力系數(shù)對(duì)彈丸的射距和橫偏影響可達(dá)2%；從彈道頂點(diǎn)時(shí)刻開始彈丸落點(diǎn)預(yù)測(cè)，采用修正后的阻力系數(shù)較采用地面阻力系數(shù)的落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度約提高了一倍。