測定彈性模量時數(shù)據(jù)處理方法比較

張 攀，張選利，袁向麗，劉文秀

(青島科技大學 機電工程學院，山東 青島 266069)

彈性模量(Elasticity Modulus,常簡寫為E)是表征固體材料抵抗變形的重要物理常數(shù)。測量彈性模量是材料力學實驗教學中的重要內(nèi)容之一。目前，實驗教學過程中主要通過拉伸法來測量E，并采用增量法獲得等載荷增量F作用下，產(chǎn)生的應變增量△εi,從而可以驗證胡克定理并計算彈性模量[1-3]。

用增量法測量時，大多數(shù)文獻采用平均應變增量計算E[2-3]。這種處理方式在本質(zhì)上會抹掉了中間測量數(shù)據(jù)，而僅使用了第一和最后一位數(shù)據(jù)，在一定程度上會導致較大的測量誤差。本文對實驗測定低碳鋼的彈性模量過程中幾種常用的處理方法進行對比分析，并就處理實驗數(shù)據(jù)的方法給出一點建議。

1 平均應變增量法

采用增量法，即逐級加載(如圖1所示)，可以測量在各次載荷增量Fi作用下，產(chǎn)生的應變增量△εi。材料在比例極限內(nèi)服從虎克定律，應力與應變成線性關系，有:

(1)

當載荷增量相同時，理論上各級應變增量也應相同，文獻[2-3]采用平均應變增量計算材料彈性模量

(2)

(3)

圖1 增量法示意圖

從式(3)可以看出，平均應變增量計算得到的彈性模量僅與第1點和第N點的應力、應變有關，即彈性模量為圖1中直線1的斜率，而與過程中的其它數(shù)據(jù)點沒有關系，使得增量法在測量E時失去應有的價值。而且由于使用數(shù)據(jù)少，會導致測量誤差大。

2 其它處理方法

文獻中，還有采用算術平均法，即根據(jù)每級載荷得到的Ei計算材料彈性模量[1]，計算式如下：

(4)

從式(4)看到，從幾何學角度，算術平均法的實質(zhì)是用各段直線斜率的平均值計算E，難以解釋其幾何意義。

利用數(shù)值分析中的最小二乘法原理可以將測量的應力與應變數(shù)據(jù)擬合成直線。根據(jù)最小二乘原理[4]，彈性模量的表達式為式(5)：

(5)

最小二乘法采用了所有測量點數(shù)據(jù)進行直線擬合，該直線的斜率即為彈性模量，其物理意義和幾何意義明確，并且該直線與實驗測定的數(shù)據(jù)點的誤差的平方和也最小。

在數(shù)值分析中，還有采用均方根的平均方法，其計算方法是先平方、再平均、然后開方，計算式如式(6)：

(6)

在物理意義上，均方根平均有表達力的功的含義。

3 各種計算方法的結果比較

將實驗中用電測法采集到的低碳鋼拉伸時的數(shù)據(jù)和采用不同方法計算彈性模量得到的結果，分別列于表1和表2。圖2也表達了平均應變增量法和最小二乘擬合的應力-應變關系曲線。

表1 實驗記錄數(shù)據(jù)(低碳鋼，截面積A=445.30mm2)

表2 各種計算的誤差比較

從表2可以看到，當以最小二乘法擬合計算的彈性模量為基準時，各種計算方法給出的E值的相對誤差并不大。但是從計算結果的物理和幾何意義的角度看，采用最小二乘法擬合是恰當?shù)摹?/p>

圖2 各種計算方法擬合的應力-應變關系圖

4 結語

與平均應變增量法、算術平均法等方法計算低碳鋼的彈性模量相比，采用最小二乘法擬合雖然需要更多的數(shù)學知識，或數(shù)學軟件來幫助處理實驗數(shù)據(jù)，但是，最小二乘法擬合在物理和幾何意義上更明確。因此，最小二乘法擬合更合適用于測量低碳鋼的彈性模量時的數(shù)據(jù)處理，而且有利于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)處理能力和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。