采用數(shù)值計算和OrcaFlex軟件對纜索張力函數(shù)的分析

張大朋，白勇，姬芬芬，徐顯明，朱克強(qiáng)

1.浙江大學(xué)建工學(xué)院，浙江杭州 310058

2.青島漢纜股份有限公司，山東青島 266102

3.寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，浙江寧波 315211

纜索已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各種海洋工程中，如海洋系泊系統(tǒng)、深拖系統(tǒng)、ROV 系統(tǒng)[1-2]。纜索函數(shù)表征了纜索的形態(tài)，為纜索的設(shè)計和分析提供了直觀的物理概念。由于纜索運(yùn)動是非線性的，且作用于纜索上的流體動力也是隨著時間不斷變化的，所以它只能通過數(shù)值計算來近似求解[3]。本文分別運(yùn)用數(shù)值計算的四階龍格庫塔法和OrcaFlex 軟件的凝集質(zhì)量法對纜索函數(shù)進(jìn)行分析計算，得到兩組不同流速下的曲線并對其進(jìn)行了對比分析。

1 纜索的二維定常理論

規(guī)定纜索是勻質(zhì)的，將其入水點(diǎn)看作上端，在船舶拖帶下，以定常水平速度移動，纜索完全處于由水平運(yùn)動方向和垂直方向構(gòu)成的平面內(nèi)。纜索的自由端連接被拖物體，受到定常作用力[4]。為計算方便做了以下3 點(diǎn)假設(shè)：其一，纜索是完全撓性的，只有纜索張力；其二，作用于纜索某一單元的水動作用力，僅取決于該纜索元相對于流的角度；其三，不受相鄰纜索元影響，拖曳纜索時的自由面影響可以忽略。

作用于微元上的外力必須與微元兩端所受的內(nèi)部張力平衡，其中外力包括水動作用力和重力，設(shè)P（φ）和Q（φ）為外力沿纜索元長度在切向和垂向方向上的分量，T 為纜索的軸向張力；φ 為纜索元與水平方向的夾角；s為纜索元軸向方向的長度。力的平衡關(guān)系見圖1。

圖1 纜索元的受力分析

可以得到，纜索元在長度方向上纜索角和張力的變化為：

如圖2 所示，為方便選取坐標(biāo)系，由原點(diǎn)至纜索的任一點(diǎn)積分可以得到某一點(diǎn)處的張力，但是實(shí)際做法是從原點(diǎn)開始積分較為方便，原點(diǎn)上的纜索角已知為90°，設(shè)該處的張力Δ1為已知，可以得到點(diǎn)（x，z）處的張力T：

圖2 纜索坐標(biāo)系

設(shè)R 為纜索元所受的阻力。當(dāng)R 垂直于流時，可以得到上述積分的無因次形式：

式中：τ 為張力函數(shù)。

2 確定纜索函數(shù)的一種實(shí)用方法

纜索分為輕型纜索和重型纜索，當(dāng)水中重力W 遠(yuǎn)小于流體阻力R 時，為輕型纜索；反之，則為重型纜索。μ 為摩擦系數(shù)，當(dāng)其值為1時，阻力完全由纜索與水的摩擦效應(yīng)產(chǎn)生，這時稱纜索接近理想狀態(tài)。對于重型纜，除了摩擦系數(shù)μ 為1 的理想狀態(tài)外，其他情況必須借助數(shù)值計算才能得到纜索張力函數(shù)，纜索元作用力分量示意如圖3 所示，G（φ）、F（φ）為外力沿纜索元長度在切向和垂向的分量。

圖3 纜索元作用力分量

其無因次形式為：

式中：f（φ）=F（φ）/R、g（φ）=G（φ）/R 均為無因次流體動力載荷系數(shù)；Ψ 為重力角，可定義為：

式中：W 為纜索元的水中重力。

式中：CR為阻力系數(shù)，ρ 為水的密度，d 為纜索直徑，V 為對流速度。

假定摩擦阻力不受壓力分布的影響，它的作用力方向與流向一致，與纜索角無關(guān)。這樣載荷函數(shù)可記為：

不同的纜索與水接觸所產(chǎn)生的摩擦力不同，摩擦力的大小與摩擦系數(shù)μ 相關(guān)。典型纜索的CR和μ 值如表1 所示。

表1 典型纜索的CR 和μ 值

對于重型纜而言，除了μ=1 的理想狀態(tài)外，必須借助數(shù)值積分才能求得纜索函數(shù)。已知張力函數(shù)為：

令μ=0.5，用四階龍格庫塔法分別計算重力角Ψ 等于2°、4°、6°、8°和10°時的張力函數(shù)，結(jié)果見圖4。

圖4 重型纜索的張力函數(shù)

當(dāng)重力角一定時，張力函數(shù)在纜索角較小時曲線較陡，但隨著纜索角的增加曲線越來越平緩，最后在纜索角為90°時曲線值趨近1。當(dāng)纜索角一定時，重力角越大張力函數(shù)曲線就越陡，如圖4 所示，當(dāng)重力角增大時，曲線會變得越來越陡。當(dāng)摩擦系數(shù)一定時，重力角越大張力函數(shù)值就越大。

3 纜索函數(shù)分析

3.1 案例分析

纜索模型示意如圖5 所示。

圖5 纜索模型示意

纜索：直徑d=0.012 m，單位長度質(zhì)量m=0.132 kg/m，軸向阻力系數(shù)Cn=1.2，切向阻力系數(shù)Ct=0.007 6，拖船速度V=2 m/s，纜索摩擦系數(shù)μ=0.05。

拖體：為規(guī)則的圓柱形狀，圓柱高=1 m，體積=0.61 m3，質(zhì)量=700 kg。

模型：用懸鏈線模擬纜索，用3D 浮標(biāo)單元模擬拖體。采用凝集質(zhì)量法進(jìn)行建模，把纜索視為有限個微段，每個微段的質(zhì)量和流體作用力等均凝集在使用線性或非線性彈簧連接的節(jié)點(diǎn)上[5]。被離散為凝集質(zhì)量模型的纜索[6]由若干個分段和節(jié)點(diǎn)組成，其中分段為連續(xù)、無質(zhì)量的，節(jié)點(diǎn)處于各分段終點(diǎn)處且集中了兩個相鄰分段各一半的質(zhì)量，力和力矩都作用于節(jié)點(diǎn)上，這也正是OrcaFlex 軟件對纜索張力建立模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[7-12]。

在確定φ0后，在某一p（φ）及q（φ）分布下，可求得與物體相連點(diǎn)上纜索張力函數(shù)，于是原點(diǎn)處的張力Δ1=T0/τ0。不同流速下數(shù)值計算與OrcaFlex 模擬結(jié)果的對比見圖6。纜索角越小，兩條曲線的契合度越低；但隨著纜索角的增加，兩種方法計算得出來的曲線契合度越高。如圖6 所示，在一定流速下隨著纜索角的增加，兩種方法所得曲線間差值越來越小，當(dāng)纜索角在1.1 ～1.2 rad 時，差值最小，兩曲線的契合度達(dá)到最高。

圖6 不同流速下數(shù)值計算與OrcaFlex 模擬結(jié)果對比

隨著流速的增加，兩條曲線的契合度增加；當(dāng)流速為1 m/s、纜索角為0.6 rad 時，兩曲線差值為0.021；當(dāng)流速為0 m/s、纜索角為0.6 rad 時，兩曲線值差值為0.064。所以，當(dāng)流速越大時用OrcaFlex 模擬得到的張力函數(shù)曲線與數(shù)值計算得到的曲線更為接近。由圖6 可以看出，數(shù)值計算和軟件模擬誤差很小，所以O(shè)rcaFlex 軟件能夠代替數(shù)值計算來模擬纜索函數(shù)。

圖6 所示的數(shù)值計算和OrcaFlex 模擬所得的纜索角范圍不同，這是由于數(shù)值計算是為了計算簡便將纜索反向延長得到最大纜索角為90°（1.57 rad），這時由原點(diǎn)至纜索的任一點(diǎn)積分可以得到某一點(diǎn)處的張力，但是實(shí)際做法是從原點(diǎn)開始積分較為方便。同時又能把纜索延長，得到最小纜索角。為了盡可能地把實(shí)際纜索角包絡(luò)在內(nèi)，最小纜索角設(shè)定為0.35 rad。也就是說數(shù)值計算就是得到一條范圍盡可能大的張力函數(shù)曲線，然后再確定最小纜索角和最大纜索角。

3.2 纜索函數(shù)的用途

纜索函數(shù)完全規(guī)定了纜索的形態(tài)，對給定的纜索作用力分布可按數(shù)值積分求值。分析纜索系統(tǒng)的實(shí)際做法可歸納成下列過程。

纜索的一些特征是已知的，如纜索直徑d、單位長度纜索的水中重力W、垂向阻力系數(shù)CR等，給定的拖速下，被拖物體的垂向力和阻力可以用Morison 方程估算得到。在確定φ0后，在p（φ）及q（φ）分布下，可以得到與物體相連的點(diǎn)上纜索函數(shù)值τ0、σ0、ξ0和ζ0，于是原點(diǎn)處的張力：

式中：T20=Δ2+D2，cot φ0=D/Δ，T0為與物體相連點(diǎn)處的張力；Δ 為拖體的垂向力；D 為阻力?？梢郧蟮猛象w相對于原點(diǎn)的位置，如（s0，x0，z0）。

因此，在給定的計算狀態(tài)的情況下，可以確定纜索的幾何形狀和張力及拖體相對于原點(diǎn)的位置。

4 結(jié)論

（1）可以用OrcaFlex 軟件解決纜索張力函數(shù)問題，避免了復(fù)雜的數(shù)值計算。

（2）在摩擦系數(shù)一定時，重力角越大張力函數(shù)值就越大，因此在實(shí)際工程中適當(dāng)減小纜索的重力可以減小纜索張力，這對實(shí)際生產(chǎn)具有很大的參考意義。

（3）纜索函數(shù)可為纜索的設(shè)計和分析提供直觀的物理概念，而OrcaFlex 軟件可以較為準(zhǔn)確地模擬纜索函數(shù)，所以在工程實(shí)踐中可以運(yùn)用OrcaFlex 軟件對纜索進(jìn)行設(shè)計和分析。

（4）纜索函數(shù)可表征拖體和纜索的特性，且可預(yù)測拖曳的性能。