多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)位置校準(zhǔn)的CRLB研究?

郭錦標(biāo) 張 森

（海軍工程大學(xué) 武漢 430033）

1 引言

隨著海洋開(kāi)發(fā)的不斷發(fā)展，對(duì)水下導(dǎo)航定位設(shè)備的需求越來(lái)越高。基于單信標(biāo)的水下導(dǎo)航系統(tǒng)由于其實(shí)用性和經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)勢(shì)受到越來(lái)越多的關(guān)注和研究。

多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)［1］通過(guò)一個(gè)信標(biāo)同時(shí)發(fā)射一組正交信號(hào)，使得接收端接收到信號(hào)就可以解算出自身位置，系統(tǒng)由水下的聲學(xué)設(shè)備和船上的信號(hào)處理設(shè)備及GPS等組成，如圖1所示。

由于在布放水下信標(biāo)時(shí)，只能獲得信標(biāo)的概略位置，其在水下的精確位置不得而知。接收端需要獲知信標(biāo)的精確位置，以此修正解算值。信標(biāo)的位置信息是導(dǎo)航系統(tǒng)位置解算的必須數(shù)據(jù)，因而通過(guò)校準(zhǔn)獲得水下信標(biāo)的地理坐標(biāo)是多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。

校準(zhǔn)航跡的選擇直接影響位置估計(jì)的效果。國(guó)外超短基線系統(tǒng)技術(shù)比較成熟，生產(chǎn)設(shè)備的公司中，Sonardyne公司采用“⊕”字型的校準(zhǔn)航跡［2］，而IxSea公司的Posidonia采用“8”字型的校準(zhǔn)航跡［3～4］進(jìn)行數(shù)據(jù)獲取，至于他們?yōu)楹芜x擇這樣的航行軌跡，我們不得而知。而在國(guó)內(nèi)，最早由唐秋華等［5］提出超短基線定位系統(tǒng)的校準(zhǔn)算法，它是將安裝校準(zhǔn)的三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度偏差和三個(gè)位移偏差等效作參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，在最小二乘準(zhǔn)則下估計(jì)各個(gè)量的值，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，但其并未提到校準(zhǔn)航跡的選擇問(wèn)題。之后的校準(zhǔn)研究都是基于這個(gè)方法而進(jìn)行改進(jìn)，2005年喻敏在研制長(zhǎng)程超短基線時(shí)提出了校準(zhǔn)數(shù)據(jù)采用航船繞行方式獲取［6］，2007年鄭翠娥［7］在USBL的水下平臺(tái)對(duì)接應(yīng)用中提出了校準(zhǔn)航跡需要選擇繞行半徑較大、水深不易過(guò)淺的測(cè)線。楊保國(guó)［8］通過(guò)建立校準(zhǔn)觀測(cè)方程，研究方程最小二乘解的唯一性和無(wú)偏性，提出了校準(zhǔn)航跡需滿足一定的尺度和對(duì)稱性的要求，并且驗(yàn)證了“⊕”字型和“8”字型航跡的可行性。

圖1 多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)

多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)的校準(zhǔn)航跡在現(xiàn)有的傳統(tǒng)的“⊕”字型和“8”字型中選擇，本文通過(guò)比較不同航跡的位置估計(jì)性能，合理規(guī)劃校準(zhǔn)的路徑選擇，可以有效提高位置估計(jì)的性能。

2 誤差模型建立

基于最小二乘準(zhǔn)則的位置估計(jì)［9］需要先建立觀測(cè)模型，根據(jù)空間測(cè)距交會(huì)原理得到觀測(cè)方程為

其中，x，y，z為待求的水下信標(biāo)在大地坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，xi、yi、zi(i =0，1，...n )為接收端（水聽(tīng)器）在大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)（n為船測(cè)量的次數(shù)），di為利用聲學(xué)方法測(cè)出的信標(biāo)與水聽(tīng)器的距離。

在觀測(cè)過(guò)程中，存在兩方面的誤差：1）距離測(cè)量的誤差；2）GPS定位誤差。

2.1 考慮距離測(cè)量的誤差

當(dāng)存在距離測(cè)量誤差時(shí)，則式（1）應(yīng)改寫為

式中的觀測(cè)距離誤差量ni是直接由距離測(cè)量誤差帶來(lái)，實(shí)質(zhì)上距離測(cè)量誤差是由于使用聲學(xué)設(shè)備測(cè)量接收端與發(fā)射端之間信號(hào)傳播的時(shí)延誤差所致，誤差可以看成是零均值的高斯隨機(jī)變量，si表示實(shí)際的觀測(cè)值。

2.2 考慮GPS測(cè)量的誤差

接收端的大地坐標(biāo)由GPS測(cè)量獲取，在測(cè)量過(guò)程中也存在誤差，因此接收端的位置誤差也是影響位置估計(jì)的主要誤差來(lái)源之一。為了清楚分析GPS測(cè)量誤差的影響，這里先忽略距離測(cè)量的誤差，即假設(shè)GPS測(cè)量誤差是唯一的誤差來(lái)源，此時(shí)式（1）可以改寫為

將第i個(gè)接收端位置的坐標(biāo)誤差記為

式中 ，xi，yi，zi是接收端的實(shí)際位置為GPS測(cè)量的位置。同樣假設(shè)GPS定位誤差服從零均值的高斯分布，三個(gè)坐標(biāo)軸方差分別為

對(duì)式（3）進(jìn)行泰勒展開(kāi)并取其一次項(xiàng)得到

所以可以得到觀測(cè)距離的誤差為

則

GPS的定位精度水平方向和垂直方向稍有差異，一般垂直方向的定位精度約為水平方向的2～3倍［10～11］，為了后續(xù)計(jì)算方便，將水平定位精度與垂直方向定位精度近似相等，因此可以得到：

2.3 總誤差模型

上面分別討論了只存在距離測(cè)量誤差和GPS測(cè)量誤差時(shí)觀測(cè)方程的建立，實(shí)際上，觀測(cè)方程誤差既有來(lái)自距離測(cè)量的誤差，也同時(shí)存在GPS的測(cè)量誤差，所以觀測(cè)方程的方程應(yīng)該寫為

3 CRLB推導(dǎo)

式（9）可以表達(dá)成簡(jiǎn)潔形式：

式中p=(x ，y，z)為待估計(jì)的向量，即水下信標(biāo)的位置。

假設(shè)誤差是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，則條件概率密度函數(shù)p(s|P)為

將式（11）取對(duì)數(shù)并略去常數(shù)項(xiàng)可以得到對(duì)數(shù)：

位置估計(jì)向量 p的第k個(gè)參數(shù)（即 pk）的CRLB定義為［12］

通過(guò)數(shù)學(xué)處理，可以得到費(fèi)歇爾信息矩陣如下：

根據(jù)上述公式，利用矩陣求逆可以得到三個(gè)位置坐標(biāo)估計(jì)的CRLB為

4 CRLB的仿真分析

基于最小二乘的位置估計(jì)是一種無(wú)偏估計(jì)的過(guò)程，CRLB作為評(píng)價(jià)無(wú)偏估計(jì)性能的界限，能對(duì)估計(jì)結(jié)果的性能做出評(píng)估。在引言中介紹過(guò)，不同航跡的選擇影響到校準(zhǔn)結(jié)果的性能，目前常用的校準(zhǔn)航跡是“⊕”字型和“8”字型，因而可以運(yùn)用本文推導(dǎo)的CRLB對(duì)二者的估計(jì)性能進(jìn)行比較，并結(jié)合多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)的實(shí)際做出較佳校準(zhǔn)路徑的選擇，同時(shí)也可以建立CRLB與GPS測(cè)量誤差及時(shí)延測(cè)量誤差的關(guān)系。

4.1 航行軌跡的仿真

仿真“⊕”字型和“8”字型的航行路線，在航行路徑上取均勻的觀測(cè)點(diǎn)用于獲取數(shù)據(jù)。假定海平面深度為0，向下為正方向，船繞著信標(biāo)航行，兩種路徑如圖2所示。

圖2 船的測(cè)量點(diǎn)與信標(biāo)的位置

4.2 位置估計(jì)結(jié)果的比較

在航跡上均勻取點(diǎn)作為數(shù)據(jù)測(cè)量點(diǎn)，在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)上，檢驗(yàn)1000次的測(cè)量結(jié)果，對(duì)水下信標(biāo)位置估計(jì)結(jié)果進(jìn)行性能平均，比較在兩種航跡下算法估計(jì)的均方根誤差，用CRLB作為兩種航跡估計(jì)性能的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)水下信標(biāo)的真實(shí)位置是在測(cè)量點(diǎn)的位置誤差為GPS的測(cè)量誤差所致，且x、y和z軸坐標(biāo)的誤差為獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，其均值為0，并假設(shè)水平定位標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.5m；時(shí)延測(cè)量誤差同樣為獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10-4s。

根據(jù)仿真結(jié)果計(jì)算這兩種航跡位置估計(jì)的均方根誤差。按照下式計(jì)算CRLB的開(kāi)方:

位置估計(jì)的均方根誤差（RMSE）按照下式計(jì)算:

其中L表示在每個(gè)測(cè)量點(diǎn)上的實(shí)驗(yàn)次數(shù)。

仿真圖中的圖例解釋如下：

circular-sim表示基于“⊕”字型航行軌跡位置估計(jì)的均方根誤差模擬結(jié)果。

eight-sim表示基于“8”字型航行軌跡位置估計(jì)的均方根誤差模擬結(jié)果。

CRLB1表示基于“⊕”字型航行軌跡位置估計(jì)的CRLB計(jì)算結(jié)果。

CRLB2表示基于“8”字型航行軌跡位置估計(jì)的CRLB計(jì)算結(jié)果。

圖3 航行軌跡半徑與位置估計(jì)誤差的關(guān)系

考慮在航跡上均勻測(cè)量400個(gè)點(diǎn)，其中“⊕”字型航行軌跡在圓周上均勻取200個(gè)測(cè)量點(diǎn)，在兩條直徑線上各均勻取100個(gè)測(cè)量點(diǎn)；“8”字型航行軌跡在兩個(gè)圓周上各均勻取200個(gè)測(cè)量點(diǎn)。從圖中可以看出，采用“8”字型航行軌跡位置估計(jì)的CRLB計(jì)算結(jié)果優(yōu)于“⊕”字型航行軌跡定位，但隨著測(cè)量半徑的增加，兩種航行軌跡位置估計(jì)的性能差距越來(lái)越小，在半徑達(dá)到200m左右時(shí)，“⊕”字型航行軌跡位置估計(jì)的CRLB計(jì)算結(jié)果開(kāi)始低于“8”字型航行軌跡的計(jì)算結(jié)果。采用最小二乘的計(jì)算方法進(jìn)行位置估計(jì)，估計(jì)得到結(jié)果的均方根誤差可以逼近CRLB，因而我們采用的CRLB計(jì)算方法可以用于預(yù)測(cè)位置估計(jì)算法的性能。從這個(gè)仿真結(jié)果可以指導(dǎo)我們?cè)趯?shí)際測(cè)量中根據(jù)測(cè)量船航行的半徑選擇航行路徑，使得位置估計(jì)的精度理論上盡可能地得到提高。

考慮測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目對(duì)位置估計(jì)性能的影響。同樣比較兩種航跡的CRLB計(jì)算結(jié)果和位置估計(jì)的均方根誤差模擬結(jié)果，鑒于上面比較的航跡半徑對(duì)位置估計(jì)性能的影響，取航行半徑為200m，這樣航行半徑對(duì)不同航行軌跡的影響相近。

圖測(cè)量點(diǎn)數(shù)目與位置估計(jì)誤差的關(guān)系

從圖中可以看到，采用“⊕”字型航行軌跡位置估計(jì)的CRLB計(jì)算結(jié)果優(yōu)于“8”字型航行軌跡定位，但這種優(yōu)勢(shì)是十分微弱的，所以測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目對(duì)兩種路徑的位置估計(jì)影響是一致的。

圖5 測(cè)量點(diǎn)數(shù)目與位置估計(jì)誤差的關(guān)系

在實(shí)際測(cè)量環(huán)境中可能達(dá)不到大半徑的需求（航行半徑在200m以內(nèi)），且為了降低成本盡量減少測(cè)量的次數(shù)，所以若要得到較高的位置估計(jì)精度，應(yīng)選擇采用“8”字型的航行軌跡。但這種航跡是由兩個(gè)外切圓組成，完整的航跡需要走過(guò)的水域面積是“⊕”字型航行軌跡的兩倍?，F(xiàn)在我們考慮“8”字型的航行軌跡半徑為100m，“⊕”字型航行軌跡半徑不變，觀察兩種航跡對(duì)位置估計(jì)性能的影響。

可以看出在這種情況下，“⊕”字型航行軌跡位置估計(jì)的性能優(yōu)于另外一種。對(duì)于多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)，其功能是實(shí)現(xiàn)一定區(qū)域的水下導(dǎo)航，若船的航行區(qū)域過(guò)廣，也可能會(huì)出現(xiàn)接收不到水下信標(biāo)信號(hào)的情況。所以無(wú)論水域可航行區(qū)域有限，或是出于校準(zhǔn)的可實(shí)現(xiàn)性考慮，“⊕”字型的航行路徑選擇優(yōu)于“8”字型。

4.3 CRLB與系統(tǒng)測(cè)量設(shè)備誤差的關(guān)系

水下導(dǎo)航系統(tǒng)用于位置校準(zhǔn)的測(cè)量設(shè)備主要有GPS和聲信號(hào)傳播時(shí)延測(cè)量?jī)x器，這些設(shè)備的誤差決定了校準(zhǔn)的性能。在位置校準(zhǔn)中可以利用CRLB與測(cè)量設(shè)備誤差的關(guān)系選擇測(cè)量設(shè)備的參數(shù)，從而達(dá)到位置校準(zhǔn)的精度需求。

選擇“⊕”字型的校準(zhǔn)路徑，航行半徑200m，觀測(cè)在不同的GPS測(cè)量誤差和時(shí)延測(cè)量誤差下CRLB的趨勢(shì)，如圖6所示。

圖6 CRLB與GPS及時(shí)延測(cè)量誤差的關(guān)系

通過(guò)建立上面的趨勢(shì)圖，可以直觀地看出CRLB與GPS測(cè)量誤差及時(shí)延測(cè)量誤差的關(guān)系。當(dāng)校準(zhǔn)技術(shù)指標(biāo)要求達(dá)到多大精度的位置估計(jì)時(shí)，那么就可以在z軸找到對(duì)應(yīng)的的數(shù)值，用一個(gè)垂直于該數(shù)值的面與得到的這個(gè)曲面相交，將相交所得的曲線投影至xoy面上，坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)的便是GPS測(cè)量誤差和時(shí)延測(cè)量誤差的精度要求，因此利用此關(guān)系圖可以指導(dǎo)選擇測(cè)量設(shè)備的參數(shù)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文采用傳統(tǒng)的基于最小二乘原理的方法對(duì)多正交信號(hào)水下導(dǎo)航系統(tǒng)的信標(biāo)位置進(jìn)行校準(zhǔn)，主要提出并完成了以下幾個(gè)工作：

1）建立了位置校準(zhǔn)的誤差模型；

2）推導(dǎo)了用于評(píng)估位置估計(jì)性能的CRLB；

3）通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真分析，“⊕”字型的校準(zhǔn)航跡得到的位置估計(jì)結(jié)果性能更優(yōu)；

4）建立CRLB與系統(tǒng)GPS測(cè)量誤差、時(shí)延測(cè)量誤差的關(guān)系。