基于灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化模型的船舶到港量預(yù)測(cè)

何眾穎, 劉 虎

(浙江海洋大學(xué) 港航學(xué)院， 浙江 舟山 316022)

港口是水陸交通的集結(jié)點(diǎn)和樞紐，對(duì)區(qū)域經(jīng)濟(jì)的發(fā)展具有十分重要的作用。浙江省出口市場(chǎng)遍布全球五大洲的221個(gè)國(guó)家和地區(qū)，全省95%的外貿(mào)物資由水路運(yùn)輸來承載。原材料進(jìn)、產(chǎn)品出，兩頭在外的浙江經(jīng)濟(jì)，對(duì)水路運(yùn)輸?shù)男枨笠来娑葘⑷找嫣岣?。由《寧波舟山港整體規(guī)劃(2014—2030)》可知，寧波舟山港2016年完成吞吐量9.22億t，預(yù)測(cè)2020年和2030年貨物吞吐量將分別達(dá)到11.7億t和14.4億t，年均增速5.0%和2.1%[1]，可見港口吞吐量呈現(xiàn)明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，船舶到港量也將隨之增長(zhǎng), 到港船對(duì)錨地的需求與發(fā)展滯后的錨地設(shè)施之間的矛盾逐漸顯現(xiàn)。錨地資源不足、利用率低下和錨地發(fā)展規(guī)劃滯后,不僅制約著港口的發(fā)展，而且對(duì)船舶的錨泊安全有一定威脅。因此,基于預(yù)測(cè)理論開展港口船舶到達(dá)量預(yù)測(cè)對(duì)于港口錨地的合理規(guī)劃和水路交通的高效管理而言至關(guān)重要。

1 預(yù)測(cè)方法簡(jiǎn)介

港口船舶到達(dá)屬于典型的隨機(jī)到達(dá)事件。目前，許多學(xué)者針對(duì)隨機(jī)到達(dá)事件的預(yù)測(cè)進(jìn)行相應(yīng)研究?；疑獹M(1，1)預(yù)測(cè)方法在港口交通流量、農(nóng)產(chǎn)品物流、城市軌道交通客流和港口吞吐量預(yù)測(cè)等方面都開展研究[2-5],該方法是對(duì)原始數(shù)據(jù)的生成處理來尋求系統(tǒng)變化的規(guī)律，可根據(jù)“部分信息已知、部分信息未知”的小樣本作為研究對(duì)象，其中GM(1，1)模型的背景值是一個(gè)平滑公式，適合時(shí)間間隔小且數(shù)據(jù)小的預(yù)測(cè)。該預(yù)測(cè)模型精度對(duì)于呈遞增關(guān)系的隨機(jī)事件有一定保障，但如果有遞減的異常點(diǎn)則精度大幅降低。

針對(duì)傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)缺陷，有學(xué)者[6-8]將指數(shù)平滑法與灰色預(yù)測(cè)模型相組合進(jìn)行預(yù)測(cè)。指數(shù)平滑法是一種特殊的加權(quán)平均法，不需要存儲(chǔ)很多的歷史數(shù)據(jù)，既考慮到各期數(shù)據(jù)的重要性，又使用全部的歷史資料，當(dāng)中三次指數(shù)平滑法適合于二次曲線趨勢(shì)變化的數(shù)據(jù)，因此可對(duì)受環(huán)境影響的異常數(shù)據(jù)進(jìn)行較好的優(yōu)化。還有許多學(xué)者[9-11]將馬爾科夫預(yù)測(cè)與灰色預(yù)測(cè)相結(jié)合，在交通事故預(yù)測(cè)、背景值優(yōu)化等方面進(jìn)行應(yīng)用。馬爾科夫預(yù)測(cè)是將時(shí)間序列看作一個(gè)隨機(jī)過程，通過對(duì)事物不同狀態(tài)的初始概率與狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的概率進(jìn)行研究，確定事物未來狀態(tài)的變化趨勢(shì)。馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)基于其無后效性特點(diǎn)，能夠彌補(bǔ)灰色預(yù)測(cè)的缺陷，提高其與灰色預(yù)測(cè)組合預(yù)測(cè)的精度。

綜上所述，針對(duì)隨機(jī)事件港口船舶到達(dá)量數(shù)據(jù)具有遞增但有異常波動(dòng)的特點(diǎn)，吸取3種預(yù)測(cè)方法的優(yōu)點(diǎn)，利用指數(shù)平滑法對(duì)受環(huán)境影響的異常數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，優(yōu)化灰色馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型，可進(jìn)一步提高港口船舶到達(dá)量的預(yù)測(cè)精度。

2 灰色馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)優(yōu)化模型建立

針對(duì)隨機(jī)事件港口船舶到達(dá)量具有總體趨勢(shì)遞增但有異常波動(dòng)的特點(diǎn)，對(duì)指數(shù)平滑法、灰色預(yù)測(cè)法和馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)法等3種預(yù)測(cè)方法進(jìn)行組合，提出基于指數(shù)平滑的灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化預(yù)測(cè)模型，建模過程主要分為以下4步。

2.1 根據(jù)時(shí)間序列建模

設(shè)時(shí)間序列為y1,y2,…,yt,建模為

(1)

(2)

(3)

將建模數(shù)據(jù)序列記為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，將數(shù)據(jù)進(jìn)行累計(jì)生成數(shù)，生成序列為X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}。

2.2 建立GM(1,1)模型

對(duì)X(1)建立GM(1，1)模型，解得對(duì)應(yīng)的微分方程為

(4)

求出其最小二乘估計(jì)參數(shù)列

(5)

式(8)中：x(0)(1)=x(1)(1)為初始值。

建模后需要進(jìn)行殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)，滿足條件才可得到預(yù)測(cè)值，否則需進(jìn)行修正。

2.2.1殘差檢驗(yàn)

殘差大小檢驗(yàn)，即對(duì)模型值和實(shí)際值的殘差進(jìn)行逐點(diǎn)檢驗(yàn)。

(9)

(10)

(11)

(12)

式(12)中：一般要求p0>80%，最好p0>90%。

2.2.2關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)

記原始序列為

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(13)

模型計(jì)算得到的數(shù)據(jù)序列記為

(14)

(2) 計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)。

由于只有2個(gè)序列(即一個(gè)參考序列，一個(gè)被比較序列)，故不再尋求第2級(jí)最大差和最小差。

(15)

式(15)中：P為小殘差概率,0

(3) 計(jì)算關(guān)聯(lián)度。

(16)

根據(jù)經(jīng)驗(yàn),關(guān)聯(lián)度大于0.6便是滿意的。

2.2.3后驗(yàn)差檢驗(yàn)

(1) 計(jì)算出原始數(shù)據(jù)的平均值為

(17)

(2) 計(jì)算原始序列X(0)(i)的均方差S1;

(3) 計(jì)算殘差的均值;

(4) 計(jì)算殘差的均方差S2;

(5) 計(jì)算方差比C為

(18)

(6) 計(jì)算小殘差概率為

(19)

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表

2.3 二步建模的序列值

二步建模得到的序列值為

(20)

將殘差絕對(duì)值序列定義為

t=1,2,…

(21)

對(duì)殘差絕對(duì)值序列進(jìn)行累加，得到累加序列

Δ(1)(t)={Δ(1)(1),Δ(1)(2),…,Δ(1)(n)}

(22)

對(duì)Δ(1)建立GM(1，1)模型，解得對(duì)應(yīng)的微分方程為

(23)

同樣求出殘差序列的最小二乘估計(jì)參數(shù)列，并得到改進(jìn)后的二步模型

(24)

(25)

當(dāng)1≤t≤n時(shí)，sgn(t)的值可由原來的殘差確定;當(dāng)t>n時(shí)sgn(t)的值的概率就由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率組成的馬爾科夫鏈進(jìn)行計(jì)算。

2.4 建立轉(zhuǎn)移概率矩陣

轉(zhuǎn)移概率矩陣的建立

(26)

式(26)中狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率滿足：

1) 0≤Pij≤1,i,j=1,2,…,n。

將狀態(tài)分為3類，即殘差為正，殘差為零，殘差為負(fù)。因此,分3種情況進(jìn)行馬爾科夫矩陣的建立并應(yīng)用于sgn(t)當(dāng)中。

3 應(yīng)用實(shí)例與對(duì)比分析

選用浙江省寧波舟山港老塘山港區(qū)2008—2017年的到港數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，因?yàn)榇暗礁塾型径龋虼朔衷逻M(jìn)行預(yù)測(cè)，最終將每個(gè)月的預(yù)測(cè)結(jié)果總和為2018年全年預(yù)測(cè)結(jié)果。本實(shí)例分析只選取2008—2017年間的一個(gè)月份進(jìn)行分析，分別利用灰色預(yù)測(cè)、灰色馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)、指數(shù)平滑與灰色組合預(yù)測(cè)和基于指數(shù)平滑的灰色馬爾科夫優(yōu)化預(yù)測(cè)等4種預(yù)測(cè)模型進(jìn)行精度比較。

3.1 GM(1，1)預(yù)測(cè)實(shí)例

選用2008—2017年5月份的數(shù)據(jù)序列作為樣本，樣本數(shù)據(jù)見表2，原始數(shù)據(jù)累加數(shù)據(jù)見表3。

表2 2008—2017年5月份船舶到港數(shù)

表3 原始數(shù)據(jù)累加結(jié)果

使用MATLAB進(jìn)行編程，代碼[13]如下：

1.clear all;

2.symsab;

3.c=[ab]′;

4．A=[298，325，380，398，432，454，459，542，548，921];

5.B=cumsum(A);

6.n=length(A);

7.fori=1:(n-1)

8.C(i)=(B(i)+B(i+1))/2;

9.end

10.D=A;D(1)=[];

11.D=D′;

12.E=[-c;ones(1,n-1)];

13.c=inv(E×E′)×E×D;

14.c=c′;

15.a=c(1);b=c(2);

16.F=[];F(1)=A(1);

17.fori=2:(n+1)

20.F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a;

21.end

22.G=[];G(1)=A(1);

23.fori=2:(n+1)

24.G(i)=F(i)-F(i-1);

25.end

船舶到港數(shù)灰色預(yù)測(cè)結(jié)果見表4。

表4 船舶到港數(shù)灰色預(yù)測(cè)結(jié)果

進(jìn)行殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果分別見表5～表7。平均殘差為11.49%，精度為88.51%，符合精度要求；當(dāng)P=0.50時(shí)，關(guān)聯(lián)度為0.67>0.60，符合模型準(zhǔn)則；90%的ei<0.674 5S1，P=0.9>0.8，C=0.29<0.50，模型精度合格。因此可不用進(jìn)行修正。

min絕對(duì)殘差為0,max絕對(duì)殘差為171.087 7。

關(guān)聯(lián)度為0.670 7>0.600 0，符合模型準(zhǔn)則。

表5 殘差檢驗(yàn)

表6 關(guān)聯(lián)系數(shù)檢驗(yàn)

3.2 灰色馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)實(shí)例

選用2008—2017年5月份的數(shù)據(jù)序列作為樣本，對(duì)其進(jìn)行灰色馬爾科夫鏈計(jì)算，在第3.1節(jié)灰色預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，先對(duì)其殘差序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，計(jì)算結(jié)果見表8。

表7 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

表8 灰色馬爾科夫鏈船舶到港數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果

3.3 三次指數(shù)平滑灰色預(yù)測(cè)實(shí)例

選用2008—2017年5月份的數(shù)據(jù)序列作為樣本，對(duì)其進(jìn)行三次指數(shù)平滑計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表9。在進(jìn)行三次指數(shù)平滑時(shí)，通過對(duì)平均殘差率的計(jì)算，得到T=1時(shí)精度最高。

把三次指數(shù)平滑計(jì)算得到的值記為X(0)，并對(duì)其進(jìn)行殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。平均相對(duì)殘差為11.73%，精度為88.27%，符合精度要求；當(dāng)P=0.6時(shí)，關(guān)聯(lián)度為0.63>0.60，符合模型準(zhǔn)則；所有ei小于0.674 5S1，P=1，C=0.23<0.35，模型精度優(yōu)。因此,可不用進(jìn)行修正。

3.4 灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化模型預(yù)測(cè)實(shí)例

選用2008—2017年5月份的數(shù)據(jù)序列作為樣本，前面兩步建模同第3.3節(jié)三次指數(shù)平滑灰色預(yù)測(cè)，在第3.3節(jié)建模基礎(chǔ)上進(jìn)行殘差建模和馬爾科夫概率矩陣建立。殘差數(shù)列值Δ(0)(t)見表10。

Δ(0)(t)={0，30.789 3，73.890 9，38.402 9，37.765 1，34.063 1，63.700 9，50.825 2，80.061 6，127.200 1}

計(jì)算得到數(shù)值見表11。

對(duì)于2017年之后，sgn函數(shù)取值根據(jù)馬爾科夫的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P。狀態(tài)1為正數(shù)殘差值，狀態(tài)2為負(fù)數(shù)殘差值，狀態(tài)3為殘差值為0。

表9 指數(shù)平滑值計(jì)算表

表10 三次指數(shù)平滑灰色預(yù)測(cè)結(jié)果

表11 灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化模型預(yù)測(cè)結(jié)果

2018年及以后各年5月份的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)則為灰色預(yù)測(cè)值+概率值×殘差預(yù)測(cè)值。如2018年5月份的預(yù)測(cè)數(shù)為737.054 4+3/5×112.965 9=804.833 9。

3.5 4種模型精度比較

模型的精度比較主要通過殘差均值與相對(duì)殘差率和數(shù)據(jù)曲線的擬合程度進(jìn)行,分別見表12和圖1。

由表12可知:改進(jìn)后的灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)得到的殘差均值和相對(duì)殘差率有一定程度的降低；由曲線擬合比較圖可知，中間3條為灰色預(yù)測(cè)、灰色馬爾科夫和三次指數(shù)灰色模型，它們的線性和趨勢(shì)相差不大，但是與原始數(shù)據(jù)擬合度不高，而優(yōu)化的灰色馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)基本與原始數(shù)據(jù)擬合。因此，改進(jìn)后的灰色馬爾科夫模型較大地提高了擬合度。

表12 4種模型精度比較

圖1 曲線擬合比較

4 結(jié)束語

針對(duì)隨機(jī)事件港口船舶到達(dá)數(shù)具有趨勢(shì)遞增但有異常波動(dòng)的特點(diǎn)，結(jié)合隨機(jī)事件常用的預(yù)測(cè)方法，提出基于三次指數(shù)平滑的灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化預(yù)測(cè)模型，并詳細(xì)說明了模型的建立步驟。

基于2008—2017年5月寧波舟山港老塘山港區(qū)船舶到港統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別利用灰色預(yù)測(cè)、灰色馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)、指數(shù)平滑與灰色組合預(yù)測(cè)和基于指數(shù)平滑的灰色馬爾科夫優(yōu)化預(yù)測(cè)等4種預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)與精度比較。對(duì)比結(jié)果表明：灰色馬爾科夫優(yōu)化預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值基本符合，殘差均值和相對(duì)殘差率有一定程度的下降，擬合程度有一定程度的提升，證明灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化預(yù)測(cè)模型的精度明顯提高。