張紀(jì)魁
【摘要】數(shù)學(xué)作為一門邏輯性較強(qiáng)且比較抽象的工具學(xué)科,是高中階段學(xué)習(xí)活動(dòng)的重點(diǎn)內(nèi)容。但在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)過程中很多同學(xué)容易出錯(cuò)。本文將從導(dǎo)數(shù)基本概念出發(fā),分析求極值、幾何計(jì)算、定義域等易錯(cuò)點(diǎn),有針對(duì)性的討論出現(xiàn)問題的根本原因,從而正確規(guī)避,為提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率提供理論幫助。
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);易錯(cuò)點(diǎn)
引言
從廣泛意義上來看,導(dǎo)數(shù)是微積分的重要組成部分,掌握好導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)對(duì)解答函數(shù)問題起到重要幫助。高中整體數(shù)學(xué)內(nèi)容涵蓋了:導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、幾何、概率等多個(gè)知識(shí)體系,并且在歷年高考中都占有一定比例。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)都好學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具,但導(dǎo)數(shù)相對(duì)難度較大,所以本文討論內(nèi)容有一定意義。
一、高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概述
從導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)情況來分析,其邏輯性較強(qiáng)且抽象的概念是導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳的根本原因,很多同學(xué)在沒有深入了解定義的情況下就開始習(xí)題,往往造成結(jié)果失誤。另外導(dǎo)數(shù)綜合性也比較強(qiáng),其中涵蓋了函數(shù)參數(shù)、幾何定義等知識(shí),所以需要在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容之前有一定的知識(shí)儲(chǔ)備能力。宏觀意義上來說,導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)里程碑式的研究,其讓變量與函數(shù)之間產(chǎn)生了新的聯(lián)系,導(dǎo)數(shù)中涵蓋了很多知識(shí)體系,所以其也可以同樣應(yīng)用到這些習(xí)題的計(jì)算過程當(dāng)中,并起到很高的功能價(jià)值,最開始學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容,導(dǎo)數(shù)之間每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都會(huì)表現(xiàn)出一種“分渭交式”狀態(tài),所以高中課程將數(shù)列、極限、函數(shù)極值放在最開始學(xué)習(xí)。從簡(jiǎn)入難,最終完成導(dǎo)數(shù)幾何、導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)求極值等內(nèi)容的學(xué)習(xí)。
二、導(dǎo)數(shù)極值易錯(cuò)點(diǎn)
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值也是高中階段的常見題型,很多同學(xué)都誤以為如果函數(shù)最終求導(dǎo)結(jié)果為0,那么這就是函數(shù)的極值點(diǎn)。這種錯(cuò)誤解題觀點(diǎn)的出現(xiàn)是由于相關(guān)知識(shí)點(diǎn)掌握不全面,僅靠字面意思理解而沒有深化學(xué)習(xí)深刻定義。如果認(rèn)為導(dǎo)數(shù)為0時(shí),函數(shù)極值可求,那么最終結(jié)果會(huì)出現(xiàn)很大偏差。例如f(x)=x3-6x2+cx,且在x=b的時(shí)候存在最小值為g(b),則g(b)的定義域、值域分別是什么。如果用上文中錯(cuò)誤的導(dǎo)數(shù)解題理念,就會(huì)導(dǎo)致其首先求導(dǎo)f(x)=x4-2x2+ax,然后得到f(x)=x2-6x+cx,然后得到(x-1)2+c-6,讓f(b)=0,得到c=-b2+6b。可知f(x)可以在符合題目要求的條件下得到最小值,最終可知f(x)=0,所以得到c<6,c=-t2+6t2<12得到t≠2,到此可知道g(t)=f(t)=-t2+3t2(t≠2)的值域。出現(xiàn)這種問題的根本原因就是很多同學(xué)都沒有理解f'(x)=0是求最小值所需的必要條件。正確的解題答案應(yīng)該是在f(x)=x3-6x2+cx的時(shí)候存在最小值,然后當(dāng)t>1的時(shí)候,函數(shù)g(t)在定義域(+∞,2)里為減函數(shù),函數(shù)值域?yàn)椋?∞,8)。
三、導(dǎo)數(shù)幾何計(jì)算易錯(cuò)點(diǎn)
在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)過程中可以明顯發(fā)現(xiàn),函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間存在的幾何意義可以看出函數(shù)運(yùn)動(dòng)時(shí)曲線某范圍內(nèi)的斜切率,如果能充分理解相關(guān)內(nèi)容定義,在處理幾何計(jì)算問題時(shí)的效率就會(huì)明顯提升。例如:在計(jì)算曲線切線方程y=-2x2+x時(shí),該方程式經(jīng)過點(diǎn)(1,1),求出該曲線的切線方程。很多同學(xué)在計(jì)算該題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤都是因?yàn)橄葘?duì)y=-x2+x進(jìn)行直接求導(dǎo),然后把(2,1)直接帶入到其中,得到最終切線斜率k=-2,然后帶入得解y=-2x+1。在這種錯(cuò)誤解題思維中,首先解題人沒有判斷(2,1)是否存在于曲線,,所以不能將其直接導(dǎo)入到切線方程中。因此正確完整的解題過程應(yīng)該是先設(shè)定一個(gè)切點(diǎn)Q(xa,ya),然后把(2,1)帶入,得到y(tǒng)a=-xa2+xa,然后求得斜率為k=f‘=-2xa+1,根據(jù)斜線定義求知k=ya-1/xa-1,最終得到xa=0或者xa=2。切線方程為y=x以及y=-7x+8。
四、導(dǎo)數(shù)定義域易錯(cuò)點(diǎn)
很多同學(xué)在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)知識(shí)以后,利用其對(duì)極值求解的時(shí)候忽視了函數(shù)變量自身定義域在其中起到的作用,定義域代表了函數(shù)發(fā)生變化的有效區(qū)間,同時(shí)也是一個(gè)函數(shù)意義構(gòu)成的重要組成部分,如果在解題時(shí)未能重視這一方面內(nèi)容就會(huì)導(dǎo)致解題過程出現(xiàn)概念性的失誤,例如:在求函數(shù)f(x)=In(1+x)=x函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候,如果忽視定義域就會(huì)導(dǎo)致很多同學(xué)會(huì)第一時(shí)間對(duì)f(x)=In(2+x)=x進(jìn)行求導(dǎo)處理,然后得到f'(x)=1/x+2-1,則f'(x)=0,最終得到x=0,利用得出的x=0可知,如果f(x)>0的時(shí)候則x>0,反之f(x)<0,x<0。然后判斷題目中f(x)=In(2+x)=x的極值為x=0,且f(x)=In(2+x)=x在(-∞,0)范圍內(nèi)為單調(diào)遞增,而在(+∞,0)范圍內(nèi)做單調(diào)遞減。從上述錯(cuò)誤解題思維中可以發(fā)現(xiàn),在忽視定義域后對(duì)f(x)=In(2+x)=x進(jìn)行求解,就很容易忽視題目中(-2,+∞)定義域,所以在解題過程中也沒有強(qiáng)調(diào)原函數(shù)變量的重要性,定義域的變化沒被計(jì)算在其中,因此就導(dǎo)致整體解題思路以及最終得出結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤,而正確的結(jié)果則是f(x)=In(2+x)=x在(-1,+∞)范圍內(nèi)做單調(diào)遞減。在實(shí)際運(yùn)算過程中很多同學(xué)第一時(shí)間看到這種類型題都會(huì)覺得很簡(jiǎn)單,所以會(huì)疏忽定義域的理解,最終造成結(jié)果錯(cuò)誤。
結(jié)論
綜上所述,想要提高自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,就需要從熟記定義與概念開始,牢記知識(shí)點(diǎn)并通過練習(xí)累積實(shí)際應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用范圍十分廣泛,對(duì)于瞬時(shí)變化率、斜率、函數(shù)單調(diào)性等問題的解決均都起著重要作用,可以說其應(yīng)用貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,對(duì)于提高成績(jī),調(diào)動(dòng)思維能力均有積極意義。
【參考文獻(xiàn)】
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