漸近非擴(kuò)張映射不動點(diǎn)與均衡解的公共迭代Halpern型方法*

王元恒, 陳靈法

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

設(shè)N為正整數(shù)集且R為實(shí)數(shù)集,H為帶有內(nèi)積(·,·)和范數(shù)‖·‖的實(shí)Hilbert空間,C?H為非空閉凸子集.用?和→分別表示弱收斂和強(qiáng)收斂.映射T:C→C為自映射,且F(T)表示映射T的不動點(diǎn)集，即F(T)={x∈C:Tx=x}.若滿足

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, ?x,y∈C,

則稱映射T為非擴(kuò)張映射.若存在數(shù)列{kn}?[1,∞)，kn→1(n→∞),并且滿足

‖Tnx-Tny‖≤kn‖x-y‖, ?x,y∈C,

則稱映射T為具有系數(shù)列{kn}的漸近非擴(kuò)張映射.顯然,若kn≡1,則漸近非擴(kuò)張映射T為非擴(kuò)張映射.

,y)≥0, ?y∈C.

(1)

均衡問題、變分不等式問題、不動點(diǎn)問題等是非線性分析中的一些基本問題,在電路分析、大范圍經(jīng)濟(jì)理論、力學(xué)、圖像處理、最優(yōu)化理論及非線性分析自身發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用,從而引起了許多學(xué)者對這些問題解的存在性和計(jì)算方法的廣泛研究[1-13].其中,Halpern型迭代方法已經(jīng)向黏滯的、隱形的、多重的等迭代方法發(fā)展,通過附加某些條件得到相應(yīng)的收斂性,并且用各種迭代程序求不動點(diǎn)集和均衡問題解的公共元.

2013年,Chuang等[14]研究了用下列迭代程序求關(guān)于帶擾動的擬非擴(kuò)張映射的不動點(diǎn)集和均衡問題解的公共元:

并證明了該序列在一些確定條件下是強(qiáng)收斂的.

2010年,Lou等[15]證明了由黏性迭代式xn+1=αnf(xn)+(1-αn)Tnxn生成的{xn}強(qiáng)收斂到漸近非擴(kuò)張映射T的不動點(diǎn).2017年,Fan等[16]研究了下列迭代方程：

并證明了此迭代序列{xn}強(qiáng)收斂到非擴(kuò)張映射T的不動點(diǎn)x*.

在上述工作的激勵下，筆者研究用下面新的三步Halpern型迭代程序求關(guān)于漸近非擴(kuò)張映射的不動點(diǎn)和平衡問題解的公共元:

(2)

式(2)中:C?H為非空有界閉凸子集;T:C→C為具有系數(shù)列{kn}的漸近非擴(kuò)張映射;{αn},{βn},{λn},{γn}為(0,1)上的實(shí)數(shù)列;{ξn}?[a,+∞),a>0.并且在較弱條件下證明了該迭代系列{xn}的強(qiáng)收斂性定理.本文將不動點(diǎn)問題與均衡問題相結(jié)合，并將非擴(kuò)張映射推廣到漸近非擴(kuò)張映射，迭代過程也推廣到了三步迭代法，從而推廣或部分推廣了許多文獻(xiàn)的主要結(jié)果[1,3-5,7-9,11-16].

1 預(yù)備知識

以下總設(shè)H為實(shí)Hilbert空間,C?H為非空閉凸子集.對?x∈H,若PC:H→C,PC(x)∈C滿足

‖x-PCx‖≤‖x-y‖, ?y∈C,

則稱PC為度量投影,且PC(x)是唯一存在的.

引理1[17]不等式‖x+y‖2≤‖x‖2+2(y,x+y),?x,y∈H恒成立.

引理3[14]設(shè)C?H為非空有界閉凸子集,令T:C→C為漸近非擴(kuò)張映射且F(T)≠?,若xn?x且(I-T)xn→y,則 (I-T)x=y.

設(shè)C?H為閉凸子集,令G:C×C→R為二元函數(shù),為解決均衡問題,總假設(shè)G:C×C→R滿足下列條件：

(A1)對?x∈C,G(x,x)=0;

(A2)G是單調(diào)的,即對?x,y∈C,G(x,y)+G(y,x)≤0;

(A4)對每個x∈C,G(x,·)為凸下半連續(xù)的.

引理5[19]設(shè)二元函數(shù)G:C×C→R滿足條件(A1)～(A4).對ξ>0和z∈H,定義映射Tξ:H→C為

則下列結(jié)論成立:

1)Tξ是強(qiáng)非擴(kuò)張的,即‖Tξz1-Tξz2‖2≤(Tξz1-Tξz2,z1-z2),?x,y∈C;

2)Tξ是單值的;

3)EP(G)是C的閉凸子集;

4)EP(G)=F(Tξ).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)H為實(shí)Hilbert空間，C?H為非空有界閉凸子集且θ∈C.設(shè)二元函數(shù)G:C×C→R滿足條件(A1)～(A4).令T:C→C為具有系數(shù)列{kn}的漸近非擴(kuò)張映射,且Ω=F(T)∩(EP)≠?.假設(shè){αn},{βn},{λn},{γn}為(0,1)上的實(shí)數(shù)列,{ξn}?[a,+∞),a>0.令{xn}為由式(2)迭代生成的序列.若其迭代系數(shù)序列滿足:

(6)

則序列{xn}強(qiáng)收斂到T的不動點(diǎn)和均衡問題(1)解的公共元x*∈F(T)∩EP(G).

證明 證明過程將分成5步.

(7)

由式(2)和式(7)可以得到

(8)

從式(8)可以得出

從而可以根據(jù)歸納法得到

所以得到 {xn}有界,進(jìn)而{qn},{zn}和{Tnyn}也有界.

第2步 證明‖xn+1-xn‖→0.當(dāng)n→∞時,根據(jù)迭代式(2)可以得到下面等式:

zn+1-zn=(1-αn+1)xn+1+αn+1Tn+1yn+1-(1-αn)xn-αnTnyn=

(1-αn+1)xn+1-(1-αn)xn+1+(1-αn)xn+1-(1-αn)xn+

αn+1Tn+1yn+1-αnTn+1yn+1+αnTn+1yn+1-αnTnyn=

(1-αn)(xn+1-xn)-(αn+1-αn)xn+1+αn(Tn+1yn+1-Tnyn)+(αn+1-αn)Tn+1yn+1=

(1-αn)(xn+1-xn)-(αn+1-αn)xn+1+αn(Tnyn+1-Tnyn)+

(αn+1-αn)Tn+1yn+1+αn(Tn+1yn+1-Tnyn+1),

從而

‖zn+1-zn‖≤(1-αn)‖xn+1-xn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+αn‖Tnyn+1-Tnyn‖+

|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖≤

(1-αn)‖xn+1-xn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+αnkn‖yn+1-yn‖+

|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖≤

(1-αn)‖xn+1-xn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+

αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+αnkn(1-γn+1)‖xn+2-xn+1‖+

αnknγn‖xn+1-xn‖+αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖≤

(1-αn+αnknγn)‖qn+1-qn‖+|αn+1-αn|‖xn+1‖+|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+

αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+αnkn(1-γn+1)‖qn+2-qn+1‖.

(9)

并且,

qn+2-qn+1=(1-βn+1)(λn+1qn+1)+βn+1zn+1-(1-βn)(λnqn)-βnzn=

λn+1qn+1-βn+1λn+1qn+1+βn+1zn+1-λnqn+βnλnqn-βnzn=

λn+1qn+1-λn+1qn+λn+1qn-λnqn-βn+1λn+1qn+1+βnλnqn+1-βnλnqn+1+

βnλnqn+βn+1zn+1-βn+1zn+βn+1zn-βnzn=

λn+1(qn+1-qn)+(λn+1-λn)qn-(βn+1λn+1-βnλn)qn+1-βnλn(qn+1-qn)+

βn+1(zn+1-zn)+(βn+1-βn)zn=

(λn+1-βnλn)(qn+1-qn)+(λn+1-λn)qn-(βn+1λn+1-βnλn)qn+1+

βn+1(zn+1-zn)+(βn+1-βn)zn.

(10)

因此,由式(9)和式(10)得到

‖qn+2-qn+1‖≤|λn+1-βnλn|‖qn+1-qn‖+|λn+1-λn|‖qn‖+

|βn+1λn+1-βnλn|‖qn+1‖+βn+1‖zn+1-zn‖+|βn+1-βn|‖zn‖≤

|λn+1-βnλn|‖qn+1-qn‖+|λn+1-λn|‖qn‖+|βn+1λn+1-βnλn|‖qn+1‖+

|βn+1-βn|‖zn‖+(βn+1-βn+1αn+βn+1αnknγn)‖qn+1-qn‖+

βn+1|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+βn+1αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+

βn+1αnkn(1-γn+1)‖qn+2-qn+1‖+βn+1|αn+1-αn|‖xn+1‖=

(|λn+1-λnβn|+βn+1-βn+1αn+βn+1αnknγn)‖qn+1-qn‖+|λn+1-λn|‖qn‖+

βn+1|αn+1-αn|‖Tn+1yn+1‖+|βn+1λn+1-βnλn|‖qn+1‖+|βn+1-βn|‖zn‖+

βn+1αn‖Tn+1yn+1-Tnyn+1‖+βn+1|αn+1-αn|‖xn+1‖+βn+1αnkn(1-γn+1)‖qn+2-qn+1‖.

從而

(1-δn)‖xn+1-xn‖+M(|λn+1-λn|+|βn+1-βn|+

2βn+1|αn+1-αn|+|λn+1βn+1-λnβn|+βn+1αn)≤

(1-δn)‖xn+1-xn‖+M(2|λn+1-λn|+2|βn+1-βn|+2|αn+1-αn|+βn+1αn).

于是，利用引理2得到‖xn+1-xn‖→0,n→∞.

第3步 證明‖xn-Txn‖→0.根據(jù)迭代式(2)可以得到

‖qn+1-zn‖=‖(1-βn)(λnqn)+βnzn-zn‖=(1-βn)‖λnqn-zn‖.

由式(3)知，當(dāng)n→∞時,‖qn+1-zn‖→0,并且當(dāng)n→∞時，

‖yn-xn‖=‖γnxn+(1-γn)xn+1-xn‖≤|1-γn|‖xn+1-xn‖?‖yn-xn‖→0.

再由迭代式(2)可得,當(dāng)n→∞時，

‖zn-xn‖=‖(1-αn)xn+αnTnyn-xn‖=‖-αnxn+αnTnyn‖≤|αn|‖-xn+Tnyn‖?‖zn-xn‖→0.

又因?yàn)?/p>

‖zn-Tnyn‖=‖(1-αn)xn+αnTnyn-Tnyn‖=(1-αn)‖xn-Tnyn‖≤

(1-αn)‖xn-xn+1‖+(1-αn)‖xn+1-Tnyn‖≤(1-αn)‖qn-qn+1‖+(1-αn)‖qn+1-Tnyn‖,

所以

‖qn+1-Tnyn‖=‖qn+1-zn+zn-Tnyn‖≤‖qn+1-zn‖+‖zn-Tnyn‖≤

‖qn+1-zn‖+(1-αn)‖qn-qn+1‖+(1-αn)‖qn+1-Tnyn‖.

這意味著

綜上可得,當(dāng)n→∞時,‖qn+1-Tnyn‖→0.又由迭代式(2)得

‖xn-Tnxn‖≤‖qn-Tnqn‖=‖qn-qn+1+qn+1-Tnyn+Tnyn-Tnqn‖≤

‖qn-qn+1‖+‖qn+1-Tnyn‖+‖Tnyn-Tnqn‖≤‖qn-qn+1‖+‖qn+1-Tnyn‖+kn‖yn-qn‖.

從而,當(dāng)n→∞時,

‖xn-Tnxn‖→0.

因?yàn)門為漸近非擴(kuò)張映射,所以

‖xn+1-Txn+1‖≤‖qn+1-Tqn+1‖=‖qn+1-Tn+1qn+1+Tn+1qn+1-Tqn+1‖≤

‖qn+1-Tn+1qn+1‖+‖Tn+1qn+1-Tqn+1‖≤‖qn+1-Tn+1qn+1‖+k1‖Tnqn+1-qn+1‖=

k1‖Tnqn+1-Tnqn+Tnqn-qn+qn-qn+1‖+‖qn+1-Tn+1qn+1‖≤

‖qn+1-Tn+1qn+1‖+k1‖Tnqn+1-Tnqn‖+k1‖Tnqn-qn‖+k1‖qn-qn+1‖≤

‖qn+1-Tn+1qn+1‖+k1kn‖qn+1-qn‖+k1‖Tnqn-qn‖+k1‖qn-qn+1‖.

綜上所述,得到了當(dāng)n→∞時,‖xn-Txn‖→0.

第4步 證明xn→x*∈F(T).因?yàn)閧xn}有界,所以在Hilbert空間中,存在弱收斂子列{xni},令它收斂到x*,記為xni?x*∈H.根據(jù)引理3可得x*∈F(T).對n≥1，令wn=(1-βn)qn+βnzn,由迭代式(2)可得

qn+1=wn-(1-βn)(1-λn)qn.

已知{xn}有界,并根據(jù)式(3)可知,當(dāng)n→∞時,

‖qn+1-wn‖=(1-βn)(1-λn)‖qn‖?‖qn+1-wn‖→0.

(11)

所以,存在子列{wni},使得wni?x*.并且當(dāng)n→∞時,

qn+1=wn-(1-βn)(1-λn)qn=(1-(1-βn)(1-λn))wn-(1-βn)(1-λn)(qn-wn)=

(1-(1-βn)(1-λn))wn-(1-βn)(1-λn)βn(qn-zn).

(12)

由引理1知,

‖wn-x*‖2=‖(1-βn)qn+βnzn-x*‖2=‖(qn-x*)-βn(qn-zn)‖2≤

‖qn-x*‖2-2βn(qn-zn,wn-x*).

再根據(jù)引理1、式(11)和式(12)可以得到

‖xn+1-x*‖2≤‖qn+1-x*‖2=

‖(1-(1-λn)(1-βn))(wn-x*)-(1-λn)(1-βn)βn(qn-zn)-(1-λn)(1-βn)x*‖2≤

(1-(1-λn)(1-βn))2‖wn-x*‖-2(1-λn)(1-βn)(βn(qn-zn)+x*,qn+1-x*)≤

(1-(1-λn)(1-βn))‖wn-x*‖-2(1-λn)(1-βn)βn(qn-zn,qn+1-x*)-

2(1-λn)(1-βn)(x*,qn+1-x*)≤

(1-(1-λn)(1-βn))(‖qn-x*‖2-2βn(qn-zn,wn-x*))-

2(1-λn)(1-βn)βn(qn-zn,qn+1-x*)-2(1-λn)(1-βn)(x*,qn+1-x*)≤

(1-σn)‖qn-x*‖2+σn(-2βn(qn-zn,wn-x*))-

2βn(qn-zn,qn+1-x*)-2(x*,qn+1-x*)=(1-σn)‖qn-x*‖2+σnρn.

且

第5步 證明xn→x*∈EP(G).因?yàn)閤n=Tξnqn,所以對任意y∈C有

由條件(A2)可得

用ni代替n,得到

對所有的t∈(0,1]和y∈C,令xt=ty+(1-t)x*,則對?xt∈C,

因?yàn)椤瑇ni-qni‖→0,并且xni?x*，所以由條件(A4)可以得到0≥G(xt,x*),n→∞.再由條件(A1),(A4)可知0=G(xt,xt)≤tG(xt,y)+(1-t)G(xt,x*)≤tG(xt,y),t>0.因此,

0≤G(xt,y).

令t→0,對每個y∈C有0≤G(x*,y),這意味著xn→x*∈EP(G).

總之,xn→x*∈F(T)∩EP(G).定理1證畢.

3 結(jié) 語

并且容易驗(yàn)證

所以,正是對迭代系數(shù)列{αn},{βn},{λn}的條件要求苛刻,才能使我們創(chuàng)造出這樣一類新的與以往不同的迭代逼近算法,并且得到的結(jié)果也比較深刻,可以把對非擴(kuò)張映射問題的研究推廣到漸近非擴(kuò)張映射,把迭代步驟推廣到三步迭代格式,把均衡解問題和不動點(diǎn)問題結(jié)合起來考慮它們公共元的迭代方法,并在較弱的條件下證明了該迭代序列的強(qiáng)收斂性,其結(jié)果具有更廣泛的適應(yīng)性.例如,在本文定理1中,當(dāng)取γn=0,且un=λnqn時,即為文獻(xiàn)[5]所給的主要結(jié)果;當(dāng)取γn=0，均衡函數(shù)G≡0時，即為文獻(xiàn)[7]中所給的主要結(jié)果.所以,本文的結(jié)果推廣或部分推廣了近代許多文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果[1,3-5,7-9,11-16].