“雞兔同籠問(wèn)題”的解決方案初探

劉錦霞 李玉嬌

對(duì)雞兔同籠問(wèn)題，學(xué)生的解決方案有多種.

一是算術(shù)方法.包括：嘗試、調(diào)整.窮舉、列表.假設(shè)、推理.在五年級(jí)學(xué)生的具體操作中列表法、嘗試法有這樣的幾種方法：

方法1：根據(jù)雞和兔共20只的條件，假設(shè)雞只有1只，那么兔有19只，腿共有78條.在這樣的逐一舉例中，直至尋求到所求的答案.

頭/個(gè)雞/只兔/只腿/條

2011978

2021876

2031774

2041672

…………

2013754

方法2：先做一些分析，比較后再試.

頭/個(gè)雞/只兔/只腿/條

2011978

2051570

20101060

2015550

2014652

2013754

方法3：先假設(shè)雞和兔各占一半，再列表.

頭/個(gè)雞/只兔/只腿/條

20101060

2012856

2013754

60>54，說(shuō)明兔子多了，應(yīng)減少兔子數(shù).

分析這幾種解決問(wèn)題的策略：

上面三種方法中，第一張表格是常規(guī)的逐一列舉法，即根據(jù)雞與兔共20只的條件，假設(shè)雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條;假設(shè)雞有2只，那么兔就有18只，腿共有76條，在這樣的逐一舉例中，直至找到所求的答案.經(jīng)過(guò)課堂調(diào)查此種方法被我們班上31名學(xué)生所采用，看樣子這種方法是能被大多數(shù)學(xué)生所理解的一種方法.第二張表格是估計(jì)雞與兔數(shù)量的可能范圍，以減少舉例的次數(shù).第三張表格是采用取中列舉的方法，由于雞和兔共20只，所以各取10只，接著在舉例中根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)的情況確定舉例的方向，這樣可以大大縮小舉例的范圍.“嘗試、調(diào)整”和“窮舉、列表”這兩種方法，都是數(shù)學(xué)中的通法.而從認(rèn)知上看，也是學(xué)生容易掌握的方法.

學(xué)生采用的假設(shè)推理法有下面幾種：

方法1：

假設(shè)這20只全部是兔子，那么就應(yīng)該有80條腿，而題目只告訴我們有54條腿，我們算的80與實(shí)際相比多算了26條腿，這是為什么呢？因?yàn)橐恢浑u是兩條腿，而我們把它當(dāng)成四條腿算了，如果用一只雞來(lái)?yè)Q一只兔，就要減少2條腿，也就是我們把多少只雞當(dāng)成了兔子，顯然26÷2=13（只），所以雞有13只，兔子有7只.可以列式為：（20×4-54）÷（4-2）=13（只），20-13=7（只）.

方法2：

假設(shè)這20只全部是雞，那么就應(yīng)該有40條腿，比實(shí)際少了14條腿，是因?yàn)槊恐煌米由偎懔?條腿，這樣共有兔子是7只，雞則是13只.列式如下：（54-20×2）÷（4-2）=7（只），20-7=13（只）.

方法3：

把一只雞和一只兔看作一個(gè)整體，一個(gè)整體中就有（4+2=6）條腿，54條腿應(yīng)該是幾個(gè)這樣的整體呢？54÷6=9（個(gè)），在9個(gè)這樣的整體里兔子的只數(shù)應(yīng)該不是9只，因?yàn)?只兔和11只雞的腿的條數(shù)超過(guò)了總條數(shù)54.那么就把兔看成8只，還是偏大，最后把兔的只數(shù)看成7只，雞是13只，腿的總條數(shù)就正好是54了.列式為：4+2=6（只），54÷6=9（個(gè)），9-1=8（只），9-2=7（只），20-7=13（只），7×4=28（條），13×2=26（條）28+26=54（條）

方法4：

此方法是：假設(shè)每只雞都用一只腳站著，而每只兔子都用后腳站起來(lái).顯然，在這種情況下，總腳數(shù)出現(xiàn)了一半，是27，此時(shí)，雞的腳數(shù)與雞的頭數(shù)是相等的，兔子的腳數(shù)是兔子的頭數(shù)的2倍.所以，從27中減去總的頭數(shù)20得7，就是兔子的頭數(shù).當(dāng)然，20-7=13，雞就是13只了.

分析這幾種解決問(wèn)題的策略：

解決雞兔同籠問(wèn)題通常使用假設(shè)法，可以假設(shè)所有的動(dòng)物都是兔子，并求出在假設(shè)情況下的總腿數(shù)，再把實(shí)際的腿數(shù)和假設(shè)情況下的腿數(shù)相比較，看看多出了多少，每多2只腿說(shuō)明有一只雞，將多出的腿數(shù)除以2就算出共有多少只雞.也可以假設(shè)全部是兔子來(lái)解.但這種“假設(shè)法”理解起來(lái)并不容易，對(duì)會(huì)使用此做法的學(xué)生在課堂上教師要進(jìn)行鼓勵(lì)，對(duì)理解不透的也進(jìn)行了靈活機(jī)動(dòng)的處理，課后可向教師請(qǐng)教，也可和其他同學(xué)商討，在課堂上不做統(tǒng)一要求.

二是代數(shù)方法.

分析問(wèn)題中的量，確定等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程，求解.學(xué)生具體解決策略有：

解法1：設(shè)其中有x只兔，有y只雞.列式為：x+y=20，4x+2y=54.

最后算出x=7，y=13.

解法2：設(shè)其中有x只兔，有（20-x）只雞.列式為：2x+4×（20-x）=54，最后算出x=7，得出兔的只數(shù)是7只，那么20-x=13就是雞的只數(shù).

分析這幾種解決問(wèn)題的策略：

這種列方程的代數(shù)方法，體現(xiàn)的是分析規(guī)律、表示規(guī)律、解決問(wèn)題.對(duì)學(xué)習(xí)者的綜合應(yīng)用能力和抽象思維能力有一定要求.這種方法可當(dāng)作是課堂上的一種思維火花，要好好呵護(hù)，但不可強(qiáng)行全面推行.

三是幾何作圖方法，有如下幾種：

方法1：先畫20個(gè)圓圈表示20個(gè)頭.再為每個(gè)動(dòng)物畫兩條腿，20只動(dòng)物只用完40條腿，還多出了14條腿.把剩下的14條腿用完，要給其中的7只動(dòng)物加2條腿，這7只就是兔子，另外的13只就是雞.

方法2：先畫20個(gè)頭，接著假設(shè)全部是兔，共畫80條腿，多出了26條腿，要給其中的13只動(dòng)物去掉2條腿，這13只就是雞，另外的7只就是兔了.

分析這幾種解決問(wèn)題的策略：

此種作圖法，只有幾名學(xué)生想到，但此法在班上進(jìn)行展示后，得到了不少同學(xué)的喜愛(ài)，主要是因?yàn)樗苤庇^形象地展示出解題方案.

從課堂教學(xué)情況看，“嘗試、調(diào)整”和“窮舉、列表”方法，比較適用于一般的學(xué)生.代數(shù)方法，體現(xiàn)的是分析規(guī)律、表示規(guī)律、解決問(wèn)題，對(duì)學(xué)習(xí)者的綜合應(yīng)用能力和抽象思維能力有一定要求，在課堂上不做統(tǒng)一要求，但是學(xué)優(yōu)生能想得出來(lái)，并呈現(xiàn)出多樣的思維，教師又要進(jìn)行鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)，真正體現(xiàn)出：數(shù)學(xué)課堂上不同的人有不同的發(fā)展，不同的人學(xué)有不同的數(shù)學(xué).