最速降線問題解的充分條件的證明*

邢家省，楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

最速降線問題[1-6]是變分法起源的一個古典問題.在解決最速降線問題的過程中，人們只關(guān)注最速降線問題的必要條件，而沒有考慮其充分條件.文獻(xiàn)[2-4]研究了一般變分泛函臨界點為泛函最小值點的充分條件，雖然給出了相當(dāng)復(fù)雜的理論方法，但是都沒有直接證明最速降線問題的充分條件.筆者擬在文獻(xiàn)[7-12]的基礎(chǔ)上，給出泛函臨界點為泛函最小值點的簡潔證明和泛函臨界點的唯一性的證明，對最速降線問題作出完善的解答.

1 最速降線問題轉(zhuǎn)化為泛函的最小值問題

最速降線問題描述如下：在一鉛直平面上，給定不在同一鉛直直線上的兩點A,B.在重力作用下，一質(zhì)點沿著過A,B兩點的光滑軌道L下滑，下滑的軌道L不同，質(zhì)點由A點下滑到B點所需的滑動時間T也就不同.問當(dāng)L是什么曲線時，所需的滑動時間T最短？具體到坐標(biāo)系中，最速降線問題的描述如下：建立xoy坐標(biāo)系，ox軸正向水平向右，oy軸正向豎直向下，將o點設(shè)在A點，B點坐標(biāo)為(a,b)，a,b>0.設(shè)一質(zhì)點沿某曲線y=y(x)由點o(0,0)無摩擦地滑動到點(a,b)，問當(dāng)y=y(x)是什么曲線時，所需的滑動時間T最短？

質(zhì)點沿曲線y=y(x)由點o(0,0)無摩擦地滑動到點(a,b)，所需的時間是

2 泛函在某函數(shù)處有最小值的必要條件

從而

(1)

經(jīng)過分部積分，得到

(2)

(1)式就是泛函T(u)在y處有最小值的必要條件，顯然(1)式與(2)式是等價的.

(3)

(3)式可化簡成y(1+(y′)2)=c2(c為常數(shù))，由此得到

其中常數(shù)k可由另一條件“當(dāng)x=a時y=b”來確定.

顯然，最速降線為擺線的一部分[1-6].至此，泛函臨界點的存在性得證，但這只是泛函有最小值的必要條件.

3 泛函臨界點為泛函最小值點的充分條件的證明

對于y+εv∈M，有

4 泛函臨界點方程解的唯一性的證明

注意到

從而

特別地，取v=y2-y1，則