模糊-隨機混合參數(shù)的機構(gòu)運動可靠度計算方法

游令非， 張建國,*， 翟浩， 李橋

(1. 北京航空航天大學 可靠性與系統(tǒng)工程學院, 北京 100083；2. 北京航空航天大學 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)國防科技重點實驗室, 北京 100083)

機構(gòu)運動時變可靠性是現(xiàn)有機構(gòu)可靠性理論的重要內(nèi)容，機構(gòu)運動時變可靠度定義為在規(guī)定的運動區(qū)間上，規(guī)定的運動環(huán)境中，機構(gòu)完成規(guī)定動作的能力，數(shù)學中表示為機構(gòu)的實際運動輸出滿足期望運動輸出的概率，即機構(gòu)運動誤差位于最大允許誤差范圍內(nèi)的概率，其依賴于機構(gòu)的運動誤差建模和分析。機構(gòu)運動誤差問題一直受到機構(gòu)學研究者的廣泛關(guān)注，并提出了諸如最壞情況分析、概率分析和模糊分析等方法。Tuo等[1-2]考慮機構(gòu)參數(shù)的不確定性，建立了機構(gòu)動態(tài)可靠性分析模型，并對連桿機構(gòu)等典型傳動機構(gòu)進行了動態(tài)精度可靠性分析。董玉革等[3]提出將機構(gòu)中不確定性因素處理為模糊變量進而構(gòu)造了機構(gòu)模糊可靠度分析算法。張義民等[4-5]采用Edgeworth級數(shù)方法研究了隨機變量不完全概率信息和隨機變量為任意分布的機構(gòu)可靠性問題。但上述方法均為靜態(tài)可靠性分析問題，并未衡量機構(gòu)在整個工作范圍內(nèi)的可靠度。Zhang和Du[6]結(jié)合結(jié)構(gòu)可靠性分析中上穿越率和下穿越率概念，推導了計算機構(gòu)時變運動可靠性解析算法。除此以外，傳統(tǒng)的時變可靠性方法，也可以解決一般的機構(gòu)運動精度可靠性求解問題，例如PHI2法[7-8]，極值響應(yīng)面法[9-10]等。但這些研究只限于兩態(tài)假設(shè)，即非成功即失敗，這并不適用于實際工程應(yīng)用中由認知不確定性帶來的非兩態(tài)問題分析。

基于包絡(luò)思想的解決機構(gòu)運動精度可靠性問題的方法由Du[11]首次提出，其通過誤差帶包絡(luò)和一次二階矩方法相結(jié)合，解決機構(gòu)運動誤差時變可靠度的求解問題。Zhang和Du[12]運用包絡(luò)函數(shù)的方法，對鉸鏈間隙尺寸和結(jié)構(gòu)尺寸同時具有隨機特性的機構(gòu)進行了時變可靠性分析。Wei等[13]提出了基于包絡(luò)函數(shù)法的參數(shù)可靠性靈敏度分析和全局可靠性靈敏度分析方法，求出了參數(shù)可靠性靈敏度指標和全局可靠性靈敏度指標。Wei等[14]利用包絡(luò)函數(shù)與一次二階矩相結(jié)合的方法，針對輸入變量具隨機過程特性的桿系，對整個運動行程進行了可靠度求解。但這些研究并未考慮參數(shù)的模糊性，僅考慮了隨機特性，這與實際工程應(yīng)用是不相符的。

綜上所述，傳統(tǒng)的包絡(luò)函數(shù)方法雖然可以很好地求解機構(gòu)在整個工作范圍內(nèi)的可靠度，但其并沒有考慮普遍存在的認知不確定性問題，特別是一些參數(shù)除隨機特性外，往往伴隨著模糊性問題；同時，其并未考慮失效準則的模糊性，即認為產(chǎn)品只有“成功”和“失效”2個狀態(tài)，但實際工況中，由于對故障機理、失效模式等的認知不確定性，使得常規(guī)“兩態(tài)”假設(shè)無法滿足實際要求。因此,對于同時具有模糊和隨機特性的機構(gòu)系統(tǒng)的運動可靠度的研究十分必要。本文在關(guān)于機構(gòu)模糊-隨機時變可靠性研究的基礎(chǔ)上，針對機構(gòu)運動誤差存在模糊判據(jù)和不確定參數(shù)具有模糊-隨機混合特性的情況進行可靠性建模分析，對模糊判據(jù)和參數(shù)進行等效轉(zhuǎn)化的同時，應(yīng)用包絡(luò)思想對運動誤差帶建立模糊-隨機時變可靠性模型，將時變可靠性問題轉(zhuǎn)化為時不變可靠性問題，并最終在每一截集下求出相應(yīng)可靠度并進行平均加權(quán)，得到了機構(gòu)系統(tǒng)運動在全行程內(nèi)的可靠度，并最終應(yīng)用于四連桿機構(gòu)。

1 模糊失效判據(jù)的等效

組成機構(gòu)的構(gòu)件存在著加工和裝配誤差，這就使得構(gòu)件的尺寸具有不確定性，從而造成機構(gòu)運動誤差的不確定性[12]，設(shè)g(X,θ)為機構(gòu)運動誤差，其中X=(X1,X2,…,Xn)為機構(gòu)構(gòu)件尺寸隨機變量，θ=θ(t)為機構(gòu)運動角度，運動誤差定義為機構(gòu)實際輸出ψ(X,θ)和理想輸出ψd(θ)之差，即

g(X,θ)=ψ(X,θ)-ψd(θ)

(1)

由機構(gòu)運動可靠度定義[3]可知，若運動誤差不大于機構(gòu)允許的運動誤差，則認為機構(gòu)可靠；反之，則認為機構(gòu)處于失效狀態(tài)。機構(gòu)運動誤差功能函數(shù)G(X)可表示為

G(X)=|g(X,θ)|-ε

(2)

式中：ε為運動誤差閾值。相應(yīng)地，在輸入角θ的范圍為[θ0,θe]上，其時變運動可靠度為

R=P{G(X)<0,θ∈[θ0,θe]}

(3)

但上述處理方法會帶來一些困難，如設(shè)機構(gòu)運動誤差閾值為0.025 mm，則當機構(gòu)運動誤差為0.025 mm時，機構(gòu)是可靠的；而當機構(gòu)運動誤差為0.025 01 mm時，則認為機構(gòu)不可靠，但這2種情況之間并無本質(zhì)差別。造成這種矛盾的原因是將完好與失效狀態(tài)截然分開，而未考慮中間過渡狀態(tài)，即失效和完好這2個概念的外延是模糊的。為解決上述矛盾，更加準確、真實地反映機構(gòu)的運動可靠性，有必要將模糊數(shù)學方法引入機構(gòu)的運動可靠性分析中。

失效邊界(誤差閾值ε)定義為某一模糊區(qū)間[zL,zU]，其中zL和zU分別為模糊區(qū)間的下界和上界，把機構(gòu)運動誤差失效準則看作模糊事件，描述事件狀態(tài)程度隸屬函數(shù)μG(z)可以用來表示這一過渡情況，其數(shù)值越大，事件失效的傾向越大，數(shù)值越小，失效的傾向越小。機構(gòu)運動失效概率可表示為

(4)

式中:z為機構(gòu)模糊-隨機混合空間Ω中的隨機變量，其概率密度函數(shù)為fG(z)；μG(z)為描述事件狀態(tài)程度的隸屬函數(shù)，其范圍為0≤μG(z)≤1。

若μG(z)為遞減函數(shù)，即使得機構(gòu)運動的失效程度隨z值的減小而增大，根據(jù)文獻[15]，結(jié)合隨機變量的概率分布函數(shù)的定義，可以把1-μG(z)看作一個新的隨機變量(記為Z′)概率分布函數(shù)，模糊-隨機失效域可以描述為{X|G(X)≤Z′}，等效的功能函數(shù)為Ge=G(X)-Z′。

若μG(z)為遞增函數(shù)，則可以把μG(z)看作一個新的隨機變量(記為Z″)概率分布函數(shù)，同理，這種情況下機構(gòu)運動的失效域描述為{X|G(X)≥Z″}，對應(yīng)的等效功能函數(shù)為Ge=Z″-G(X)。

2 運動可靠度的一般包絡(luò)方法

對于機構(gòu)輸入角范圍為[θ0,θe]，由X的隨機特性易知在誤差閾值ε下，g(X,θ)=ε實為一族曲線，包絡(luò)法[11]定義了對[θ0,θe]上運動誤差曲線族g(X,θ)=ε中所有曲線的包絡(luò)，定義包絡(luò)方程G+(X)=0和G-(X)=0分別對應(yīng)上界包絡(luò)和下界包絡(luò)，即曲線族的上邊界和下邊界，機構(gòu)運動誤差的包絡(luò)函數(shù)如圖1所示[12]。由定義知在包絡(luò)曲線上，函數(shù)值應(yīng)處處等于ε，同時由于包絡(luò)曲線包絡(luò)了不同θ下的曲線，所以其對θ求偏導應(yīng)為0。

在包絡(luò)方程給出之后，考慮在整個運行周期中的機構(gòu)運動誤差時變可靠性問題，可表示為

R(θ0,θe)=Pr{S+∩S-}

(5)

圖1 機構(gòu)運動誤差的包絡(luò)函數(shù)Fig.1 Envelope functions of mechanism motion error

式中：S+={G+(X)<0}；S-={G-(X)>0}。

上邊界包絡(luò)方程G+(X)=0為

(6)

下邊界包絡(luò)方程G-(X)=0為

(7)

由以上分析可知，可對每個包絡(luò)方程的2個式子進行聯(lián)立進而消除θ，時變可靠性問題則轉(zhuǎn)變?yōu)闀r不變可靠性問題。

3 模糊-隨機時變可靠性建模

考慮具有模糊-隨機混合不確定性的機構(gòu)，在其輸入角范圍[θ0,θe]內(nèi)，其運動誤差可表示為

(8)

結(jié)合前文所述，其模糊-隨機時變運動可靠性功能函數(shù)可表示為

(9)

圖2 運動誤差的失效隸屬度函數(shù)Fig.2 Membership function of motion error failure

圖3 閾值模糊的時變可靠性失效事件描述Fig.3 Failure event description of time-dependent reliability based on fuzzy threshold

至此，在含有模糊-隨機混合變量和模糊判據(jù)情況下，α水平下的機構(gòu)運動的可靠度為

Rα(θ0,θe)=P{-ε-Z≤g(Xα,θ)≤ε+

Z,?θ∈[θ0,θe]}|=|P{|g(Xα,θ)|≤ε+

Z,?θ∈[θ0,θe]}

(10)

后續(xù)通過對α的離散求和或數(shù)值積分可以求得機構(gòu)運動的失效概率。

(11)

(12)

(13)

此時，通過改進包絡(luò)方程，功能函數(shù)已轉(zhuǎn)變?yōu)閮H含參數(shù)α的隨機變量的表達式，但繼續(xù)通過聯(lián)立消除θ的方法，一般很難獲得其精確的解析表達式，下面用近似方法對包絡(luò)函數(shù)進行求解。

4 基于改進包絡(luò)函數(shù)的時變可靠度計算

4.1 模糊-隨機時變可靠度的近似求解

由于包絡(luò)函數(shù)一般具有較強的非線性特性[15]，若通過傳統(tǒng)的可靠度求解方法，即在一個展開點展開構(gòu)造其近似表達式，會導致與原式誤差較大。為充分利用包絡(luò)函數(shù)特性，將包絡(luò)函數(shù)在多個展開點上分段線性化，構(gòu)造近似包絡(luò)函數(shù)并求出每段的展開點，最終通過求這些展開點的聯(lián)合分布函數(shù)最終求得可靠度。

假設(shè)Xα=[X1α,X2α,…,Xnα]為相互獨立的正態(tài)分布隨機變量，對g(Xα,θ)-Z在Xα的均值μXα處用一階泰勒級數(shù)展開來近似運動誤差，并把Xα化成標準正態(tài)隨機變量U，展開后表達式記為Lα(U,θ)，則由式(12)與式(13)知：

(14)

(15)

另一方面，由式(14)與式(15)可知，近似運動誤差S(θi)Lα(U,θi)為正態(tài)分布，由此可以用展開點的高維正態(tài)分布函數(shù)(均值μα和協(xié)方差陣Σα)對失效概率進行數(shù)值求解：

μα=(s(θi)μLα(θi))i=1,2,…,m=

(S(θi)aα(θi))i=1,2,…,m

(16)

Σα=(σij)i,j=1,2,…,m

σij=s(θi)s(θj)bα(θi)bα(θj)

(17)

S(θi)=

(18)

Pfα(θi)=Pr{s(θi)Lα(U,θi)>ε}=

(19)

(20)

將α在[0,1]上離散n等份，則閾值為ε下的可靠度可表示為

(21)

特別地，若α連續(xù)且所有水平中去除的多余展開點均相同，則閾值為ε下的可靠度可表示為

(22)

4.2 算法流程

步驟2將α在[0,1]上離散n等份，α初始化為0。將步驟一的結(jié)果轉(zhuǎn)化成α水平下的僅含隨機變量的功能函數(shù)Gα。

圖4 基于改進包絡(luò)函數(shù)的可靠度計算方法流程Fig.4 Flowchart of reliability computation method based on advanced envelope function

5 四連桿機構(gòu)運動可靠度計算

5.1 四連桿機構(gòu)運動學建模與分析

本例用本文方法對四連桿機構(gòu)進行運動可靠度分析，首先，對四連桿機構(gòu)進行運動學建模。在二維空間F(x,y)中，機構(gòu)如圖5所示，輸入角為θ，輸出角為ψ。

(23)

首先考慮模糊判據(jù)，根據(jù)第1節(jié)的分析，將模糊閾值等效為隨機變量，本例γ取0.01，對比式(10)及分析可知，應(yīng)引入隨機變量Z，它的概率累積分布函數(shù)為

(24)

(25)

則α水平下的概率密度函數(shù)為

fα(r2)=

(26)

則α水平下R2的均值和標準差分別為

圖5 四連桿機構(gòu)Fig.5 Four-bar linkage mechanism

Eα(r2)=5

(27)

(28)

其運動輸出方程組在α水平下的表達式為

(29)

由式(27)和式(28)可得α水平下尺寸隨機變量分布的數(shù)字特征，如表1所示。

表1 α水平下尺寸隨機變量的數(shù)字特征Table 1 Numerical characteristics of random dimension variables under α level

通過以上對模糊變量的等效，由式(23)解得α水平下的ψ(Rα,θ)為

(30)

式中：

A=-2R1R3sinθ

B=2R3(R4-R1cosθ)

進而由式(15)可得求得b=(b1,b2,b3,b4)。

5.2 四連桿機構(gòu)模糊-隨機時變可靠度求解

如圖5所示的四連桿機構(gòu)理想的運動方程為

ψd(θ)=90+7.13sin(2(θ-95.5))

輸入角范圍為[θ0,θe]，其中θ0為0°，θe為90°，則其理想運動輸出ψd(θ)為輸入角從0°～90°間輸出端的角度。

在可變閾值ε上，用本文提出的計算方法和蒙特卡羅仿真(Monte Carlo Simulation，MCS)法的結(jié)果進行比較，其中，由于蒙特卡羅法的仿真次數(shù)規(guī)模為107級，認為其計算結(jié)果是趨于真實值的。

由式(20)可得可靠度R1(θ0,θe)=0.313 3。其余截集水平下的可靠度結(jié)果重復以上步驟即可，計算結(jié)果如圖7所示。將其平均加權(quán)即為ε=0.5時的運動可靠度。

當ε在[0.2,1.4]上變化時計算結(jié)果如圖8所示，由失效概率曲線圖表明本文提出的模糊-隨機時變可靠度計算方法與MCS法在失效概率的計算上差別較小，計算結(jié)果準確度可以認為滿足機構(gòu)運動誤差的分析要求，對工程實際應(yīng)用有一定的參考價值。部分誤差閾值對應(yīng)的結(jié)果見表2。

圖6 變量取均值時的運動誤差變化Fig. 6 Motion error change at means of variables

圖7 ε=0.5時可靠度隨截集水平α的變化Fig.7 Change of reliability with cut set level α when ε=0.5

圖8 0°～90°的失效概率Fig.8 Probability of failure at 0°-90°

ε/(°)本文方法MCS法0.700.714250.713830.800.836450.836110.900.914070.913671.000.958250.957941.100.981310.981031.200.992320.99218

從計算結(jié)果可以看出，基于本文方法所得的結(jié)果均略大于MCS法的結(jié)果，這是因為MCS法是對所有時刻(角度)進行遍歷并進行求解，而基于本文提出的方法是對有限的、失效概率較大的展開點進行計算，所以可靠度計算結(jié)果均比MCS法略大一些。

6 結(jié) 論

本文針對機構(gòu)產(chǎn)品的時變可靠性建模分析問題，綜合考慮了模糊性和隨機性，針對機構(gòu)運動誤差建立了機構(gòu)運動模糊-隨機時變可靠性模型，提出了模糊-隨機時變可靠度求解方法，經(jīng)案例驗證表明：

1) 本文提出的模糊-隨機時變可靠度求解方法相較于傳統(tǒng)時變可靠度求解方法，不但考慮了參數(shù)的模糊性，同時還考慮了判據(jù)的模糊性，解決了模糊-隨機混合參數(shù)下的機構(gòu)時變可靠性問題，更符合實際工程應(yīng)用，對類似的機構(gòu)運動可靠性分析具有一定的指導意義。

2) 本文方法求解方便，相比于MCS法計算誤差較小，本案例中2種方法的計算誤差最大不超過0.000 8，貼合度較高；同時計算效率大大提高，每α水平下MCS法計算次數(shù)為107次，而本文方法為50次左右。

3) 本文提出的機構(gòu)運動模糊-隨機時變可靠性分析方法適用于隨機樣本不完善，或樣本數(shù)量不夠的情況，可計算出較精確的結(jié)果。