基于不同棱鏡的微角度測量系統(tǒng)及影響因素分析

楊波，章駿，倪江利

(安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，安徽 合肥，230601)

微角度測量技術(shù)廣泛地應(yīng)用于軍工、航海、航天、通訊等領(lǐng)域。隨著科技的發(fā)展，對于角度測量的精度和分辨率有著越來越高的要求。相比于傳統(tǒng)測角技術(shù)，光學(xué)測角法有著非接觸、高精度等更多的優(yōu)勢，從而受到廣泛地重視。光學(xué)測角法最常見的有光學(xué)自準(zhǔn)直法、光學(xué)內(nèi)反射法、光干涉法等[1-3]。其中光干涉法中主要是基于邁克爾遜干涉儀的原理，其測量精度雖然較高，但裝置較復(fù)雜。現(xiàn)在越來越多的研究者選擇結(jié)構(gòu)更加簡單緊湊的自混合干涉測量技術(shù)進(jìn)行微角度的測量[4-11]。

有研究者曾提出一種基于自混合干涉的微角度測量方法，通過旋轉(zhuǎn)平面鏡導(dǎo)致光束反饋回激光器諧振腔內(nèi)產(chǎn)生自混合干涉，從而測量旋轉(zhuǎn)角度的大小[12]。但該方法對轉(zhuǎn)動的角度有著嚴(yán)格的限制，一旦平面鏡旋轉(zhuǎn)的角度過大就會導(dǎo)致光束無法反饋回激光器腔內(nèi)，無法產(chǎn)生自混合干涉。

為了解決上述問題，文中的研究者曾提出過利用一個(gè)直角棱鏡代替上述測量系統(tǒng)中的平面鏡[13-15]。根據(jù)直角棱鏡的特性可知，入射進(jìn)棱鏡的光束與棱鏡內(nèi)部出射的光束始終保持平行。通過旋轉(zhuǎn)直角棱鏡可在保證光束始終沿原路返回激光器腔內(nèi)的前提下，增大測角范圍。

文中通過將所提出的原微角度測量系統(tǒng)中的直角棱鏡更換成半五角棱鏡以及菱形棱鏡，通過選擇不同波長的激光器作為光源，并且更換不同尺寸的半五角棱鏡以及菱形棱鏡進(jìn)行對比分析，可以為今后的測角系統(tǒng)提供合理的思路，同時(shí)還可以為微角度測量系統(tǒng)的進(jìn)一步改進(jìn)奠定有效的理論基礎(chǔ)。

1 測量原理

如圖1所示為基于不同棱鏡的微角度測量系統(tǒng)的裝置圖。該系統(tǒng)中分別選用波長為632.8nm的氦氖激光器和波長為532nm的微片激光器作為光源，由光源發(fā)出的激光光束經(jīng)過分束鏡分成兩束光，其中一束光由放置于轉(zhuǎn)盤上的半五角棱鏡的一面射入。由半五角棱鏡出射的光束經(jīng)平面鏡反射后，光束又沿原光路反饋回激光器腔內(nèi)，從而與原激光產(chǎn)生自混合干涉。根據(jù)半五角棱鏡光路改變的特點(diǎn)可知，由半五角棱鏡一面入射進(jìn)來的光束與從另一面出射的光束始終成45°角，為了確保棱鏡在轉(zhuǎn)動過程中由平面鏡反射的光可以沿原路反饋回激光器腔內(nèi)，需將平面鏡調(diào)成與入射光束成45°角的狀態(tài)。另外，在確保光束可以沿原路返回激光腔內(nèi)的前提下，可將半五角棱鏡替換成菱形棱鏡，根據(jù)菱形棱鏡的特性可知，入射進(jìn)棱鏡的光束與出射光始終保持平行。由菱形棱鏡出射的光束經(jīng)平面鏡反射后可沿原光路返回激光器腔內(nèi)。另一束光即攜帶著干涉信號的光束經(jīng)過光電探測器探測后被信號處理系統(tǒng)處理，最后被轉(zhuǎn)換成可以被計(jì)算機(jī)處理分析的數(shù)字信號。該微角度測量裝置中最關(guān)鍵的元件為可調(diào)換的棱鏡，在后續(xù)研究過程中可以通過改變不同尺寸的棱鏡或者改變不同制作材料的棱鏡進(jìn)行對比分析，從而為系統(tǒng)的優(yōu)化與改進(jìn)奠定基礎(chǔ)。

圖1 基于不同棱鏡的微角度測量系統(tǒng)裝置圖Fig.1 The micro-angle measurement system based on different prisms

該微角度測量系統(tǒng)中選取的半五角棱鏡或菱形棱鏡在轉(zhuǎn)動過程中光路會發(fā)生變化，具體光路變化如圖2所示。圖2(a)所示為半五角棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)的光路，圖2(b)所示為半五角棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度，即半五角棱鏡的光束入射角度為θ時(shí)的光路，圖2(c)所示為菱形棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)的光路，圖2(d)所示為菱形棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)的光路。

(a)半五角棱鏡初始時(shí)光路圖；(b)半五角棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)的光路圖；(c)菱形棱鏡初始時(shí)光路圖；(d)菱形棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)的光路圖；圖2 棱鏡的光路變化圖Fig.2 Optical path variation of prisms

為了便于計(jì)算棱鏡中的光路變化導(dǎo)致的光程變化，可以將棱鏡進(jìn)行展開，利用棱鏡反射面的性質(zhì)，將發(fā)生轉(zhuǎn)折的光路拉直，從而可以將棱鏡中實(shí)線表示的實(shí)際光路用圖中所示虛線表示。半五角棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)入射光從A點(diǎn)入射，實(shí)際中在棱鏡內(nèi)部經(jīng)過兩次反射，從出射面的B點(diǎn)射出。通過棱鏡展開，實(shí)際中的光路可以看成從A點(diǎn)入射后經(jīng)C點(diǎn)射出，因此半五角棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)棱鏡內(nèi)部的光程可以表示為

(1)

公式(1)中：a表示半五角棱鏡的邊長MN的長度;L表示棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)內(nèi)部光程大小。當(dāng)棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)，實(shí)際光束由A′點(diǎn)進(jìn)入，由B′點(diǎn)出射。將半五角棱鏡展開后光路可以看成由A′點(diǎn)射入，由C′點(diǎn)射出。經(jīng)過幾何推導(dǎo)可以得出棱鏡旋轉(zhuǎn)后的外腔長變化，同時(shí)由于角度變化引起的外腔長每改變半個(gè)波長λ，激光自混合波形就會改變一個(gè)條紋，并且平面鏡反射后的光束又沿原路返回，因而該測量系統(tǒng)中的光程差Δh變化是棱鏡旋轉(zhuǎn)時(shí)外腔長變化的兩倍：

(2)

公式(2)中：m表示條紋數(shù)，光程差大小為波長的整數(shù)倍。對于菱形棱鏡在旋轉(zhuǎn)過程中的光程變化，同樣可以將棱鏡進(jìn)行展開，如圖2(c)、(d)所示。菱形棱鏡未旋轉(zhuǎn)時(shí)，光路可以看成由D點(diǎn)入射，F(xiàn)點(diǎn)出射，棱鏡旋轉(zhuǎn)θ角度時(shí)，光路可以看成由D′點(diǎn)入射，由F′點(diǎn)出射，令菱形棱鏡邊長M′N′等于b，從而可以得出選取菱形棱鏡進(jìn)行角度測量時(shí)的光程差Δh′：

(3)

通過對比公式(2)和公式(3)，可以得出無論是選取半五角棱鏡還是菱形棱鏡進(jìn)行微角度測量，在確保折射率相同的條件下，只要邊長大小相同，則兩種棱鏡的光程差表達(dá)式保持一致。接下來主要分析激光光源的波長以及棱鏡的邊長對于光程差的影響，從而得出與該微角度測量系統(tǒng)的分辨率有關(guān)的影響因素。

2 理論模擬

在研究過程中，研究者主要選擇了波長分別為632.8nm的氦氖激光器(He-Ne)和波長為532nm的微片激光器(MSL)作為光源，在選擇半五角棱鏡和菱形棱鏡的邊長均為2cm時(shí)進(jìn)行模擬，獲得了如圖3所示的模擬輸出信號圖。從圖中可以看出，當(dāng)所測角度達(dá)到21mrad時(shí)，氦氖激光器作為光源的信號圖中共出現(xiàn)了8個(gè)條紋，而波長較短的微片激光器作為光源時(shí)出現(xiàn)了9.5個(gè)條紋。從而可知光源波長對于測角系統(tǒng)會產(chǎn)生明顯的影響。同時(shí)，在圖中還可以看出隨著測量角度的增大，條紋之間的間隔逐漸減小，即條紋之間對應(yīng)的角度差值逐漸減小，也就意味著角度的測量分辨率越來越高。而對于相同的測量范圍，條紋數(shù)越多表明條紋越密集，測量分辨率越高。因而選擇較短波長的激光器作為光源進(jìn)行測量時(shí)可以獲得相對較高的測量分辨率。

圖3 基于不同激光光源的模擬輸出信號圖Fig.3 The simulated output signal with different laser sources

圖4 基于不同邊長的半五角棱鏡及菱形棱鏡的模擬輸出信號圖Fig.4 The simulated output signal based on half pentagonal prism and rhomb prism with different side lengths

從公式(2)和公式(3)中可知，影響分辨率大小的因素除了光源的波長，還有棱鏡的邊長大小。圖4所示的是選取氦氖激光器作為光源，同時(shí)在選擇半五角棱鏡以及菱形棱鏡的不同邊長條件下獲得的模擬輸出信號圖。從信號條紋圖中可以看出，當(dāng)所測角度達(dá)到21mrad時(shí)，利用邊長為2cm的棱鏡的測量系統(tǒng)獲得8個(gè)條紋，而邊長為3cm和4cm所對應(yīng)的分別為12個(gè)條紋和16個(gè)條紋，因而邊長越長的棱鏡對應(yīng)的條紋數(shù)越多，即更大的光程差，與公式(2)和公式(3)一致。并且隨著所測角度的逐漸增大，條紋之間的間隔越來越小，意味著測量分辨率越來越高。對于相同的測量角度，邊長更長的棱鏡對應(yīng)更高的測量分辨率，如邊長為2cm的棱鏡對應(yīng)的信號圖中的第7個(gè)條紋和第8個(gè)條紋的波峰之間的間隔約為1.41mrad，邊長為3cm的棱鏡對應(yīng)的信號圖中的第11個(gè)條紋和第12個(gè)條紋的波峰之間的間隔約為0.9mrad，邊長為4cm的棱鏡對應(yīng)的信號圖中的第15個(gè)條紋和第16個(gè)條紋的波峰之間的間隔約為0.65mrad。因而選用棱鏡作為關(guān)鍵的測角元件時(shí)，在合適的條件下選擇邊長更長的棱鏡進(jìn)行測量，可以進(jìn)一步提高測量分辨率，優(yōu)化微角度測量系統(tǒng)。

為了進(jìn)一步對比分析棱鏡邊長這一因素對于測角系統(tǒng)的分辨率的影響，研究者通過條紋計(jì)數(shù)法，繪制出了圖4中每個(gè)峰值對應(yīng)的角度值與條紋數(shù)之間的關(guān)系圖，如圖5所示。通過分析不同棱鏡旋轉(zhuǎn)過程中導(dǎo)致光程差變化產(chǎn)生的條紋變化與所測角度之間的關(guān)系，可以清楚地反映邊長對于該測角系統(tǒng)的影響。

圖5 測量角度與條紋數(shù)之間的關(guān)系Fig.5 The relationship between the measured angle and the fringe number

圖5中橫坐標(biāo)表示的是輸出信號圖中出現(xiàn)的條紋數(shù)，空心五角星、空心圓形和實(shí)心三角形分別代表邊長為2cm的棱鏡、3cm的棱鏡和4cm的棱鏡在進(jìn)行測量時(shí)出現(xiàn)的每個(gè)條紋的峰值對應(yīng)的所測角度。從圖中可以看出，邊長較小的棱鏡對應(yīng)的曲線始終高于邊長較大的棱鏡對應(yīng)的曲線。因而對于出現(xiàn)相同的條紋數(shù)時(shí)，邊長為2cm的棱鏡對應(yīng)的測角系統(tǒng)所測得的角度最大，而邊長為4cm的棱鏡對應(yīng)的測角系統(tǒng)所測得的角度最小，同時(shí)表明了對應(yīng)相同的測量角度時(shí)，邊長為4cm的棱鏡對應(yīng)的測角系統(tǒng)在測量時(shí)出現(xiàn)的條紋數(shù)更多，從而都可以說明邊長更長的棱鏡對應(yīng)的測量分辨率更高。從圖中每個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)據(jù)還可以得出，隨著條紋數(shù)的增多，條紋數(shù)對應(yīng)所測角度之間的間隔逐漸減小，測量分辨率在逐漸提高。如五角星點(diǎn)對應(yīng)的所測角度間隔分別為5.3mrad、3.84mrad、2.62mrad……1.41mrad，圓形點(diǎn)對應(yīng)的所測角度分別為4.3mrad、3.12mrad、2.22mrad……0.9mrad，三角形點(diǎn)對應(yīng)的所測角度分別為3.71mrad、2.72mrad、1.9mrad……0.67mrad。由此可見，邊長越大的棱鏡出現(xiàn)每個(gè)條紋時(shí)對應(yīng)的所測角度更小，并且相鄰兩個(gè)條紋對應(yīng)的角度間隔更小，因而可知使用邊長更大的半五角棱鏡或菱形棱鏡作為測角系統(tǒng)中的關(guān)鍵光學(xué)元件可以提高測量分辨率。

3 結(jié)語

文章主要是將曾經(jīng)研究的微角度測量系統(tǒng)中的直角棱鏡更換為半五角棱鏡以及菱形棱鏡，通過旋轉(zhuǎn)不同的棱鏡進(jìn)行微小角度的測量，可以為基于不同光學(xué)元件的微角度測量系統(tǒng)的研究提供思路。由理論分析的結(jié)果可知，該微角度測量系統(tǒng)的測量分辨率受光源波長及棱鏡邊長大小的影響。當(dāng)所測角度為21mrad時(shí)，使用波長較小的微片激光器比波長較大的氦氖激光器可以獲得更多的條紋數(shù)，即測量分辨率更高。同時(shí)選取了邊長分別為2cm、3cm和4cm的棱鏡作為該測角系統(tǒng)的關(guān)鍵光學(xué)元件時(shí)進(jìn)行對比分析。當(dāng)所測角度達(dá)到21mrad時(shí)，邊長較長的4cm棱鏡出現(xiàn)了16個(gè)條紋，最高分辨率可達(dá)到0.67mrad，而邊長較短的2cm棱鏡只出現(xiàn)了8個(gè)條紋，最高分辨率只有1.41mrad。因而在相同測量角度的前提下，選擇波長較小的激光光源以及選取邊長更長的棱鏡進(jìn)行微角度測量時(shí)，可以獲得更高的測量分辨率。在今后的研究中可以通過更換合適的較大邊長的棱鏡或選取合適的較小波長的激光器作為光源進(jìn)行微角度的測量，進(jìn)一步優(yōu)化測角系統(tǒng)。