任意樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)偏差定理

(江蘇大學(xué)理學(xué)院，鎮(zhèn)江,212013)

1 引言

設(shè)T為局部有限無(wú)窮樹(shù), 選定任意一個(gè)頂點(diǎn)作為根點(diǎn), 記為o. 設(shè)σ，τ(σ≠τ)是樹(shù)上任意兩個(gè)頂點(diǎn), 如果σ在根o到頂點(diǎn)τ的唯一路徑上, 則記為σ≤τ. 記|τ|為根o到頂點(diǎn)τ的距離(即連接根o與頂點(diǎn)τ路徑的邊數(shù)), 若|τ|=n， 則稱τ位于樹(shù)的第n層(參見(jiàn)圖1). 記T(n)為從根o到第n層所有頂點(diǎn)的子圖,Ln表示第n層所有頂點(diǎn)的集合. 記σ∧τ為同時(shí)滿足σ∧τ≤τ和σ∧τ≤σ且離根o最遠(yuǎn)的頂點(diǎn). 對(duì)任意一個(gè)頂點(diǎn)t(t≠o), 若t是使σ≤τ和|t|-|σ|=1同時(shí)成立的頂點(diǎn), 則稱σ為t的父代, 記為1t， 稱t為1t的子代. 令XS={Xt,t∈S}，S?T，xS為XS的實(shí)現(xiàn).

圖1 樹(shù)圖

設(shè){Xt,t∈T}是定義于概率空間(Ω,I,P)在G={1,2,…,N}上取值的樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程, 設(shè){Xt,t∈T}在P下的分布為

P(XT(n)=xT(n))=p(xT(n)),xT(n)∈GT(n)，n≥0.

設(shè)Q是可測(cè)空間(Ω,I)上的另一概率測(cè)度，{Xt,t∈T}在Q下的分布為

Q(XT(n)=xT(n))=q(xT(n))>0，xT(n)∈GT(n).

定義1[4]設(shè){Xt,t∈T}是定義于可測(cè)空間(Ω,I)在G={1,2,…,N}上取值的樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程,Q是(Ω,I)上一概率測(cè)度, 設(shè)

p=(p(x)>0,x∈G)

(1.1)

是G上的概率分布.

Pt=(Pt(y|x)>0),x,y∈G，

(1.2)

是G2上的一族轉(zhuǎn)移矩陣. 如果對(duì)任意頂點(diǎn)t,σ

Q(Xt=y|X1t=x,t∧σ≤1t)=Q(Xt=y|X1t=x)=Pt(y|x),?x,y∈G,

且

Q(Xo=x)=p(x),?x∈G，

則稱{Xt,t∈T}為在Q下具有初始分布(1.1)和轉(zhuǎn)移矩陣族(1.2)的樹(shù)指標(biāo)G值非齊次馬氏鏈.

定義2設(shè)P與Q是定義在(Ω,I)上的兩個(gè)概率測(cè)度，稱

為P相對(duì)于Q的樣本散度率距離.

引理1[2](i)h(P|Q)≥0,P-a.e.

(ii) 如果{Xt,t∈T}在概率測(cè)度Q下是樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈，則有

此時(shí),

(1.3)

引理2[2]設(shè){Xt,t∈T}是可測(cè)空間(Ω，I)上的樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程，P與Q是其上的兩個(gè)概率測(cè)度，其中{Xt,t∈T}在概率測(cè)度Q下是具有初始分布(1.1)和轉(zhuǎn)移矩陣族(1.2)的樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈. 設(shè)h(P|Q)由(1.3)定義，{gt(x,y),t∈T}是定義在G2上的一族函數(shù)，c為非負(fù)常數(shù), 令D(c)={ω:h(P|Q)≤c}. 假設(shè)存在α>0，對(duì)于任意i∈G，有

其中EQ表示由測(cè)度Q計(jì)算的數(shù)學(xué)期望. 設(shè)

(1.4)

則當(dāng)0<β<α，0≤c≤β2Hαβ時(shí)，有

特別地，有

=0,P-a.e.ω∈D(0).

由此引理可得任意樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)偏差定理.

強(qiáng)偏差定理是近幾年概率論極限理論的研究?jī)?nèi)容之一. 劉文在[1]中首次提出并研究了強(qiáng)偏差定理(用不等式表示的強(qiáng)極限定理), 楊衛(wèi)國(guó)在[2]中研究了任意樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理, 劉文[3]給出了有限非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的一個(gè)強(qiáng)極限定理, 石志巖和楊衛(wèi)國(guó)[4]將文獻(xiàn)[3]中結(jié)果推廣到樹(shù)指標(biāo)上, 給出了樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率的強(qiáng)極限定理.

本文利用文獻(xiàn)[2]中任意樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理, 給出了任意樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)偏差定理，作為推論得到了石志巖和楊衛(wèi)國(guó)[4]關(guān)于樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率調(diào)和平均的強(qiáng)極限定理.

2 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè){Xt,t∈T}是可測(cè)空間(Ω，I)上的樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程，P與Q是其上的兩個(gè)概率測(cè)度，其中{Xt,t∈T}在概率測(cè)度Q下是具有初始分布(1.1)和轉(zhuǎn)移矩陣族(1.2)的樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈. 設(shè)h(P|Q)由(1.3)定義,c為非負(fù)常數(shù),

D(c)={ω:h(P|Q)≤c} ，

0

(2.1)

設(shè)存在α>0，使

(2.2)

則當(dāng)0<β<α，0≤c≤β2Hαβ時(shí)，有

其中Hαβ由(1.4)定義. 特別地, 有

證明在引理2中令gt(x,y)=Pt(y|x)-1. 由于

EQ[Pt(Xt|X1t)-1|X1t]=∑j∈GPt(j|X1t)-1Pt(j|X1t)=N,

及?i∈G，有

由引理2知，當(dāng)0<β<α，0≤c≤β2Hαβ時(shí)，有

特別地, 有

定理證畢.

推論1[4]設(shè){Xt,t∈T}在概率測(cè)度P下是具有初始分布(1.1)和轉(zhuǎn)移矩陣族(1.2)的樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈。設(shè)at如(2.1)定義, 如果(2.2)成立, 則

證明在定理1中取測(cè)度P≡Q. 注意到這時(shí)D(0)=Ω，由定理1即可得本推論.