讓實(shí)踐教學(xué)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有價(jià)值
——以“探索圖形”實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)為例

湖北省武漢市硚口區(qū)崇仁路小學(xué)新時(shí)代校區(qū)(430000) 田陵樺

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》提出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達(dá)方式，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求?！币虼?，教學(xué)時(shí)必須緊密聯(lián)系生活實(shí)際，將靜態(tài)知識(shí)動(dòng)態(tài)化、可操作化，注重對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的體驗(yàn)，讓學(xué)生在生活中、實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，感悟數(shù)學(xué)思想與方法。

“探索圖形”一課是安排在認(rèn)識(shí)長方體和正方體之后的一節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)。雖然是5年級(jí)的課程，但大多數(shù)學(xué)生還是平面圖形的思維方式，沒有形成立體圖形的概念，空間想象能力也比較欠缺。對(duì)于探究本課中表面涂色的大正方體切成若干小正方體后，各小正方體表面涂色的情況、位置特征等難以理解。因此，如何在教學(xué)中化繁為簡，使抽象數(shù)學(xué)知識(shí)變得更具體，來增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣和信心，這是本節(jié)課實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)。

通過切、數(shù)、填、比、想、說等一系列教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在探索數(shù)學(xué)規(guī)律的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美，獲得成功發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的愉悅體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力和空間觀念。

1 課前充分感知，確定探究的方向

課件展示動(dòng)態(tài)三維立體圖形，教師提問：你對(duì)正方體有哪些認(rèn)識(shí)?這是1個(gè)棱長為10cm，表面涂上了藍(lán)色油漆的大正方體。如果用刀將它如圖1所示切割成一個(gè)個(gè)小正方體，你知道一共有多少個(gè)小正方體嗎?是不是小正方體的每個(gè)面都涂上藍(lán)色?

課件演示：頂點(diǎn)上的1塊小正方體飛出去。教師提問：這塊小正方體有幾面是涂色的?它在大正方體的哪個(gè)位置上?

學(xué)生：在頂點(diǎn)處的這個(gè)小正方體，它露出了3個(gè)面，所以它有3面涂色的。

圖1 切割正方體示意圖

教師：小正方體涂色的面還有其他情況嗎?有沒有4個(gè)、5個(gè)或6個(gè)面涂色的?有沒有未涂上顏色呢?說一說你的想法。如果根據(jù)涂色的情況給這些小正方體分類，你想怎樣分類?

學(xué)生：可分為3面涂色、2面涂色、1面涂色和沒有涂色的。

教師：要研究4類小正方體各有多少塊，可以用什么方法進(jìn)行研究呢?

學(xué)生：列表法。

教師：對(duì)，我們可以用列表法進(jìn)行分類計(jì)數(shù)。

通過層層遞進(jìn)式教學(xué)，學(xué)生明確了學(xué)習(xí)實(shí)踐任務(wù)，不斷拓寬獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的渠道，學(xué)會(huì)了利用“列表法”進(jìn)行分類計(jì)數(shù)，掌握了解決問題的方法，為后面開展自主合作實(shí)踐學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，指明了方向。

2 創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，感受探究的方法

教師：在這個(gè)大正方體中，每一類小正方體分別有多少個(gè)呢?如果請(qǐng)你來數(shù)一數(shù)，你有什么感覺?

學(xué)生：數(shù)量太多，數(shù)不清楚。

教師：這個(gè)圖形比較復(fù)雜，我們數(shù)起來不方便。怎樣才能解決這個(gè)問題呢?老師送給你們一個(gè)詞語——知難而退。我們要研究大正方體平均分成若干個(gè)小正方體，其中3面涂色、2面涂色、1面涂色和沒有涂色的小正方體各有多少塊比較難，咱們就先退一步，比如先研究棱長是6cm的正方體平均分成若干個(gè)小正方體涂色的情況，還是比較難數(shù)，再退一步研究棱長是4cm的正方體平均分成若干個(gè)小正方體涂色的情況，然后再退一步，研究棱長是2cm的正方體平均分成若干個(gè)小正方體涂色的情況。還能不能再退了，為什么?

學(xué)生：不能。

教師：大家覺得我們從棱長為多少的正方體開始研究，便于我們找到答案、發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢?像這樣我們可以把復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化成簡單的問題去研究，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律后，再利用規(guī)律解決復(fù)雜的問題。這就是“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想與方法。

3 實(shí)驗(yàn)操作量化，獲取探究的數(shù)據(jù)

3.1 觀察猜想

教師：大家先猜猜3面涂色、2面涂色、1面涂色和沒有涂色的小正方體各有多少塊與什么因素有關(guān)?

學(xué)生：3面涂色的正方體數(shù)量與頂點(diǎn)有關(guān)，2面涂色的正方體數(shù)量與棱長有關(guān)，1面涂色的正方體數(shù)量與面有關(guān)，沒有涂色的的正方體數(shù)量與把大正方體表面的小正方體剝離后剩下的新正方體有關(guān)。

教師：這些涂色小正方體的位置不同，它們的數(shù)量是不是蘊(yùn)含著什么規(guī)律呢?

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

(1)提出實(shí)驗(yàn)要求：請(qǐng)4人小組合作，拿出每組準(zhǔn)備的二階、三階、四階魔方。

(2)這里可以將實(shí)驗(yàn)任務(wù)分解為3部分：感知學(xué)具魔方、完成表格、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

①摸一摸：魔方3面涂色的、2面涂色的、1面涂色的小正方體；②找一找：魔方3面涂色、2面涂色、1面涂色、沒涂色的小正方體分別在原正方體的什么位置；③完成表1；④“想一想，說一說”發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要求在數(shù)的過程中認(rèn)真觀察各類小正方體的位置特征。

表1 觀察與發(fā)現(xiàn)

在“動(dòng)手操作探索規(guī)律”的活動(dòng)中通過任務(wù)的驅(qū)動(dòng)和問題的引領(lǐng)，讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，多種感官協(xié)調(diào)活動(dòng)，充分感悟。從觀察魔方，到動(dòng)畫課件的演示，為學(xué)生的空間觀念形成提供了有力的直觀支撐。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合的百般好，隔離分家萬事休?！苯柚鷶?shù)形結(jié)合教學(xué)模式，有效地把數(shù)量規(guī)律與位置溝通起來，學(xué)生通過形的啟迪，看到數(shù)的實(shí)質(zhì)，實(shí)實(shí)在在的認(rèn)識(shí)到規(guī)律的本質(zhì)，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展，提高學(xué)生空間想象能力。

4 展示交流提升，發(fā)現(xiàn)探究的規(guī)律

4.1 展示交流，理清層次，為總結(jié)規(guī)律做好準(zhǔn)備

4.1.1 探索：每類涂色小正方體位置特征

教師：我們先看3面涂色、2面涂色、1面涂色和沒有涂色的小正方體有什么位置特征。

學(xué)生：3面涂色的小正方體都在大正方體的頂點(diǎn)上，2面涂色的小正方體在棱中間，1面涂色的小正方體在每個(gè)面的中間，沒有涂色的小正方體在大正方體的中心，也就是把大正方體最外面1層的小正方體剝離后剩下的部分，它是1個(gè)新的正方體。

4.1.2 探索：每類涂色小正方體數(shù)量規(guī)律

教師：觀察表1中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)據(jù)特點(diǎn)。根據(jù)剛才的研究經(jīng)驗(yàn)，按這樣的規(guī)律擺下去，棱長是5cm、6cm的正方體結(jié)果又會(huì)是怎樣的，具體數(shù)據(jù)見表2。

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4.1.3 歸納提升，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律

教師：研究到這兒，同學(xué)們能不能發(fā)現(xiàn)正方體涂色問題有怎樣的規(guī)律?

學(xué)生：3面涂色的小正方體位于頂點(diǎn)位置，因?yàn)檎襟w有8個(gè)頂點(diǎn)，所以無論是哪一種正方體3面涂色的小正方體都是8塊。2面涂色的小正方體位于棱上除去兩端的位置，因?yàn)檎襟w有12條棱，所以2面涂色的小正方體數(shù)量為：(棱長－2)×12(塊)。1面涂色的小正方體位于每個(gè)面除去周邊一圈的位置，因?yàn)檎襟w有6個(gè)面，所以1面涂色的小正方體數(shù)量為：(棱長－2)2×6(塊)。沒有涂色的小正方體位于大正方體除去表面一層的內(nèi)部位置，剩下的每條棱上是：棱長－2(塊)，所以沒有涂色的小正方體數(shù)量為：(棱長－2)3(塊)。

教師設(shè)疑：如果繼續(xù)研究下去，大正方體棱長用字母n表示，你能找到4類小正方體的數(shù)量規(guī)律嗎?

讓學(xué)生先從棱長為2cm、3cm、4cm正方體中摸索4類小正方體的位置特征及塊數(shù)規(guī)律。再給出新的任務(wù)：棱長為5cm、6cm的正方體結(jié)果如何，讓學(xué)生加深對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生總結(jié)棱長為ncm的正方體的探究情況見表3。

表3 規(guī)律推理

通過對(duì)特殊實(shí)例的研究，把它提升到一般化的結(jié)論，讓學(xué)生充分經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜，有具體到抽象的認(rèn)知過程，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的全過程。即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)語言和模型正確地表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。這樣使內(nèi)化的理解外化表達(dá)，簡約有序，提升概括的水平，從而把思維和推理提高到一個(gè)更高的層次。

5 回顧反思，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值

回顧上述的探索過程，教學(xué)中先從簡單圖形入手，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后再用規(guī)律去解決復(fù)雜的問題，這種解決問題的常用方法叫做“以簡馭繁”。在探索4類小正方體的數(shù)量規(guī)律時(shí)，運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”和“分類計(jì)數(shù)”的方法，這些數(shù)學(xué)研究中的常用方法讓復(fù)雜的問題變得簡潔清晰，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值?？傊?，綜合與實(shí)踐可以理解為一種數(shù)學(xué)探究或數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，是學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法解決一些數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題的過程。思想感悟與經(jīng)驗(yàn)積累決定了人的思維方式。學(xué)生只有對(duì)所經(jīng)歷的活動(dòng)通過回顧、反思等內(nèi)在的思考，才能將經(jīng)歷內(nèi)化為能夠理解的經(jīng)驗(yàn)，才能讓學(xué)生在活動(dòng)中感受、體驗(yàn)，探索、發(fā)現(xiàn)，明理、提升。