模式化

摘?要：模式化是一種常用的數(shù)學(xué)方法，也是一種有效的思維策略。所謂模式化，就是通過建立解決問題的模式，或運(yùn)用原有解題模式解決新問題的方法。比如，分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理就是解決計數(shù)問題的常用數(shù)學(xué)模型。因此，運(yùn)用模式化方法解題本質(zhì)上就是建立模式或運(yùn)用模式。模式化的解題策略體現(xiàn)了化歸的思想方法，有時是化生為熟，有時則分解為簡單的、基本的問題。同時，它還是類比、聯(lián)想等思維活動得以展開的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：模式化;解題;數(shù)學(xué)

一、 模式識別，直接運(yùn)用模型

例1?停車場內(nèi)某排共有10個車位，現(xiàn)有6輛汽車停放在這些車位上，有且僅有3個相鄰的車位是空位的排法有多少種？

分析：根據(jù)題意，可將相鄰的3個空位捆綁起來，作為一個空位，這樣，就可以先將6輛汽車排成一排，再將兩個空位插入空檔，故共有A66A27種排法。

評注：根據(jù)題設(shè)條件，可自然地想到處理相鄰和不相鄰問題的排列模型：捆綁法和插空法。

例2?定義：max{a，b}表示a，b中的較大者。設(shè)函數(shù)f（x）=max{1-x，1+x}，g（x）=|x2+k|，若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有4個零點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍是????。

分析：f（x）=max{1-x，1+x}?g（x）=|x2+k|（k∈R）恰有4個零點(diǎn)，

當(dāng)k=54時，f（x）與g（x）相切。如圖，

結(jié)合圖形：則k的取值范圍（-∞，-1）∪1，54。

評注：根據(jù)本題題設(shè)，可以發(fā)現(xiàn)問題即為函數(shù)的零點(diǎn)問題，處理辦法即為數(shù)形結(jié)合，屬于典型的函數(shù)與方程模型。

二、 變換轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造條件運(yùn)用模型

例3?已知（x2-x+1）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，

求a0+a2+a4+a6+a8+a10和a1+a3+a5+a7+a9的值。

分析：聯(lián)想到處理二項展開式的系數(shù)和、奇數(shù)項與偶數(shù)項的系數(shù)和等問題的解題模式：通過賦值，使字母因式的值為1或-1，構(gòu)造關(guān)于系數(shù)和，或奇（偶）項系數(shù)和的思想，自然可以考慮在已知恒等式中分別令x=0與x=-2，得到a0+a1+a2+…+a10=1，a0-a1+a2-…+a10=75，兩式相加，可得a0+a2+a4+a6+a8+a10=12（75+1）=8404。兩式相減，可得a1+a3+a5+a7+a9=12（1-75）=-8403。

評注：本題通過聯(lián)想類似模型，揭示兩者關(guān)系，利用已有模型的操作方法獲得解題思路。

三、 結(jié)構(gòu)分析，建立新的模型

例4?如圖所示，從A處沿街道走到B處，要求所走路程最短，共有多少種不同的走法？

分析：如果用枚舉的方法進(jìn)行分類研究，由于種類較多顯得較為煩瑣，而且這樣的模式難以推廣到一般情形。

注意到在按題目要求從A走到B的過程中，需要走東西方向4段街道，南北方法5段街道，不同走法的區(qū)別就在于所走9段街道中的哪幾個步驟走東西路，于是共有走法種數(shù)為C49。

評注：這個問題的解法可以一般化（即模式化）：如東西n條街道，南北m條街道，則走法種數(shù)為Cn-1m+n-2。

例5?正四面體的各頂點(diǎn)為A1，A2，A3，A4，進(jìn)入某頂點(diǎn)的動點(diǎn)x不停留在同一頂點(diǎn)上，每隔1秒鐘向其他三個頂點(diǎn)以相同的概率移動。n秒后x在Ai（i=1，2，3，4）的概率用Pi（n）（n=0，1，2，…）表示當(dāng)P1（0）=14，P2（0）=12，P3（0）=18，P4（0）=18時，求Pi（n）（n=0，1，2，…）。

分析：根據(jù)題意，我們可以考慮構(gòu)造數(shù)列模型研究這個問題，并應(yīng)該從遞推關(guān)系上著手探索。為此，我們先考慮P1（n）的遞推關(guān)系。

解：依題意，P1（n+1）=13P2（n）+13P3（n）+13P4（n），又因為n秒后動點(diǎn)x一定在A1，A2，A3，A4中的某個頂點(diǎn)上，所以P1（n）+P2（n）+P3（n）+P4（n）=1，于是有P1（n+1）=13[1-P1（n）]。

所以P1（n+1）-14=-13P1（n）-14，即數(shù)列P1（n）-14是以-13為公比的等比數(shù)列，注意到P1（0）=14，可得P1（n）=14。

用同樣的方法，可求得P2（n）=141+（-13）n，P3（n）=P4（n）=14-18-13n。

評注：本題關(guān)鍵在于抓住遞推的特征，構(gòu)造了數(shù)列模型溝通了相鄰項之間的關(guān)系，實現(xiàn)了實際問題的數(shù)學(xué)化。同時，我們還可看到，對遞推數(shù)列，我們也通過變形，構(gòu)造了等比數(shù)列模型，使得數(shù)學(xué)問題得到解決。

作者簡介：

駱國峰，江蘇省鎮(zhèn)江市，江蘇省大港中學(xué)。