【摘要】數(shù)學活動屬于“綜合與實踐”課程內(nèi)容.實施“設疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的模式組織數(shù)學活動,充分體現(xiàn)了數(shù)學活動自主參與性、綜合性、實踐性、開放性,通過深入挖掘教材,以問題為課堂活動導向,調(diào)動學生自主思考與合作交流,注重活動經(jīng)驗積累和思想方法滲透,學生數(shù)學抽象和函數(shù)建模等訓練可以得到不斷升華.
【關鍵詞】數(shù)學活動;三疑三探;升華
數(shù)學活動是一類以問題為載體,以學生自主參與為主的學習活動,它屬于“綜合與實踐”課程內(nèi)容,分散安排在每一單元后面,初中階段共安排了71個數(shù)學活動.在學習活動中,學生要廣泛聯(lián)系生活實際、綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等本學科和其他學科的知識和方法解決問題.學生必須積極動腦、動手、動口、認真觀察、實驗、操作、主動合作、探究,參與活動全過程.數(shù)學活動具有較強的自主性、綜合性、實踐性,但課堂組織難度大,因此并沒有得到教師和學生的足夠重視.
如何有效組織數(shù)學活動?“設疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的課堂組織形式,以問題為課堂活動導向,以探究為活動主線,可讓數(shù)學活動更加精彩,讓學生數(shù)學素養(yǎng)得到升華.
下面以二次函數(shù)單元的數(shù)學活動1為例,談談自己的教學實踐與思考.
(1)觀察下列兩個兩位數(shù)的積(兩個乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9,個位上的數(shù)的和等于10),猜想其中哪個積最大.
91×99,92×98,…,98×92,99×91.
(2)觀察下列兩個三位數(shù)的積(兩個乘數(shù)的百位上的數(shù)都是9,十位上的數(shù)與個位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于100),猜想其中哪個積最大.
901×999,902×998,…,998×902,999×901.
對(1)(2),你能用二次函數(shù)的知識說明你的猜想正確嗎?
(人教版義務教育教科書九年級上冊第54頁)
一、設疑引探
首先,探究問題(1).
思路一:計算驗證法
方法一(直接計算)
91×99=9 009,
92×98=9 016,
93×97=9 021,
……
方法二(應用多項式乘法或頭同尾合十的口訣算法)
91×99=(90+1)×(90+9)=8 100+90×(1+9)+1×9=9 000+9,
92×98=(90+2)×(90+9)=8 100+90×(2+8)+2×8=9 000+16,
93×97=(90+3)×(90+7)=8 100+90×(3+7)+3×7=9 000+21,
……
方法三(應用平方差公式)
91×99=(95-4)×(95+4)=952-42=9 025-16,
92×98=(95-3)×(95+3)=952-32=9 025-9,
93×97=(95-2)×(95+2)=952-22=9 025-4,
……
小結(jié)、提問:由對稱性可知,只需直接(或巧用公式)計算前五個積,逐個比較,馬上可以驗證問題(1)中哪個乘積最大.假如三位數(shù)乘三位數(shù),且共有100組,你能快速猜想哪一組的乘積最大并加以說明嗎?
設計意圖:在反思中總結(jié)方法,在提問中拓展過渡.
思路二:函數(shù)建模法
認真觀察91×99,92×98,…,98×92,99×91這一列數(shù),積依次在變.是兩個乘數(shù)中哪一部分的變化引起積在變化?
設計意圖:依據(jù)函數(shù)本質(zhì)設置問題.
通過數(shù)學抽象和數(shù)學建模,問題(1)的任何一個乘積都可以用如下二次函數(shù)模型表示:y=(90+x)(90+10-x),x=1,2,3,4,…,8,9.
此為開口向下拋物線,交x軸于兩點(-90,0)和(100,0),其頂點橫坐標x=-90+1002=5,所以當x=5時,乘數(shù)(90+x)與(90+10-x)都是95,函數(shù)y有最大值,最大值是.
學生設什么為自變量x,可能還有不同的設法,教師要及時肯定評價;學生如沒有其他不同解法,教師可適當簡介下列第一種解法.設什么為自變量x、設什么為函數(shù)y,是本思路的第一個難點;建立函數(shù)模型后,如何快速地求出函數(shù)最大值,是第二個難點.教師做好示范后,為化解難度,以填空的形式,一步一步引領學生自主完成如下問題的探究:
若設第一個乘數(shù)為x,則第二個乘數(shù)表示為,設這兩個乘數(shù)的積為y,則函數(shù)關系式為,自變量x的取值范圍為,頂點坐標為.所以當?shù)谝粋€乘數(shù)為,第二個乘數(shù)為時,函數(shù)y有最大值,最大值是.
若設第一個乘數(shù)為95-x,則第二個乘數(shù)表示為,設這兩個乘數(shù)的積為y,則函數(shù)關系式為,自變量x的取值范圍為,頂點坐標為.所以當?shù)谝粋€乘數(shù)為,第二個乘數(shù)為時,函數(shù)y有最大值,最大值是.
二、解疑合探
對問題(1),我們已經(jīng)知道,頭九尾合十的兩個兩位數(shù)相乘,共有9項乘積,什么情況下乘積最大.但問題(2)中,已擴展到兩個三位數(shù)乘三位數(shù),而且擴展至99項乘積,哪個乘積最大呢?怎樣說明你的猜想正確?請大家先自主思考,再小組交流,最后小組展示.
預設1:學生類比問題(1)的結(jié)論得到對問題(2)的猜想.也可以計算問題(2)前面三四個乘積,得到乘積的初步變化趨勢,再歸納得到猜想.
預設2:問題(2)中三位數(shù)乘三位數(shù),因為逐個計算要計算99次(考慮到對稱性也至少要計算50次),學生肯定不考慮計算驗證法.
預設3:有了問題(1)的探究經(jīng)驗做鋪墊,面對901×999,902×998,…,998×902,999×901新情境下建立函數(shù)模型解題的必要性和優(yōu)越性學生應有較強的意識和感悟,但對解法的遷移,解法訓練應是本課的重點,所以必須要求學生寫出完整解題過程:設出自變量x和函數(shù)y、列出函數(shù)關系式、寫出自變量x取值范圍、求出頂點,答題.化解數(shù)學活動的難點更要充分體現(xiàn)學生主體性、參與性.鼓勵學生合作交流.
預設4:有了問題(1)的多角度設自變量的經(jīng)驗積累,學生思維具有一定開放性.要鼓勵和引導學生發(fā)散思維,教師可以安排兩個小組分別展示各自不同的解法.
預設5:學生能總結(jié)反思、自主建構(gòu).總結(jié)探究過程的邏輯聯(lián)系,反思自己的思想方法,歸納題目蘊含的結(jié)論、規(guī)律.
至此,本次數(shù)學活動,問題全部解決.通過類比、歸納等合情推理得到猜想,再驗證或證明猜想正確.其中建立二次函數(shù)模型來說明猜想正確的方法,既簡明又有說服力.還得到了兩個數(shù)學結(jié)論.教師放手學生自主探究、合作交流,師生角色定位良好.教師設置疑問恰到好處.以問題引導探究活動,在探究中學會發(fā)現(xiàn).安排自主思考與合作交流相結(jié)合,學生綜合應用知識解決問題的能力、數(shù)學抽象和數(shù)學建模能力得到實實在在的訓練.
三、質(zhì)疑再探
質(zhì)疑一:問題(2)與問題(1)情境雖然不同,但兩者是否反映了一個共同規(guī)律?(預設:和一定的兩個正數(shù),當它們相等時,它們的乘積最大.分清楚命題的題設與結(jié)論,反復讀一讀、記一記、悟一悟、拓一拓.)
追問1:問題(1)中,頭9尾合十,改為頭6尾合8,也就是61×67,62×66,…,66×62,67×61中哪個積最大?
追問2:1×199,2×198,3×197,…,197×3,198×2,199×1中哪個積最大?
以上設計意圖:通過變式和拓展,逐步加深對問題本質(zhì)的認識.
質(zhì)疑二:這個規(guī)律如何表述?
除了用文字表述,你還可以用數(shù)學符號語言怎樣表示?(預設:優(yōu)秀學生可以理解a>0,b>0時ab≤(a+b)24,當且僅當a=b時,等號成立.這樣,自然地滲透了基本不等式,屬于高中內(nèi)容,教師點到即止,把握尺度.還可結(jié)合下面回顧,用典型圖形表述.)
追問1:根據(jù)上述結(jié)論,你能自編一道類似的最值問題嗎?
設計意圖:從不同角度認識問題本質(zhì).
質(zhì)疑三:這個規(guī)律有何應用?
“兩個正數(shù)和一定,積最大”.生活中最常用的實例有哪些?(體現(xiàn)數(shù)學活動的綜合性與實踐性.)
回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第49頁探究1“用周長為60 m的籬笆圍成矩形場地,矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化,當l是多少米時,場地的面積S最大?”
回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第52頁第4題“已知直角三角形兩條直角邊的和等于8,兩條直角邊各為多少時,這個直角三角形的面積最大?最大面積是多少?”
回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第51頁第2題“某種商品每件的進價為30元,在某段時間內(nèi)若以每件x元出售,可以賣出(100-x)件,應如何定價才能使利潤最大?”
回顧人教版義務教育教科書九年級上冊第52頁第7題“如圖所示,點E,F(xiàn),G,H分別在正方形ABCD的四條邊上,四邊形EFGH也是正方形,當點E位于何處時,正方形EFGH的面積最???”
設計意圖:數(shù)學活動作為一個單元內(nèi)容全部結(jié)束之后的“綜合與實踐”,是前面學過的例題、習題等主干知識、方法和應用的回顧與復習.
“設疑引探—解疑合探—質(zhì)疑再探”的“三疑三探”課堂組織模式,充分體現(xiàn)了數(shù)學活動自主參與性、綜合性、實踐性、開放性;通過深入挖掘教材,以問題為課堂活動導向,調(diào)動學生自主思考與合作交流,注重活動經(jīng)驗積累和思想方法滲透,學生數(shù)學抽象和函數(shù)建模能力得到不斷升華.
【參考文獻】
[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準[M].北京:北京師范大學出版社,2012.
[2]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書數(shù)學·九年級·上冊[M].北京:人民教育出版社,2014.
[3]邱炯亮.數(shù)學教學與模式創(chuàng)新[M].北京:九州出版社,2017.