毒素影響下具有反饋控制的互利共生合作系統(tǒng)的穩(wěn)定性

王瓊燕，趙 春

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

種群動(dòng)力學(xué)是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的重要分支之一.合作系統(tǒng)是種群動(dòng)力學(xué)中非常重要的一類模型.許多學(xué)者對(duì)種群合作系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并取得了一定的成果[1-8].合作系統(tǒng)主要分為2種形式：互惠的合作關(guān)系和互利共生的合作關(guān)系.互惠的合作關(guān)系是指2個(gè)合作種群在不合作的情況下依然可以獨(dú)立生存[5]，互利共生的合作關(guān)系是指2個(gè)合作種群在不合作時(shí)，其中某個(gè)種群或2個(gè)種群不能獨(dú)立生存[6].文獻(xiàn)[6]研究了如下互利共生合作系統(tǒng)

證明了當(dāng)δ1＜1，δ2＞1，δ1δ2＜1時(shí)，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，2種群的數(shù)量將趨于穩(wěn)定點(diǎn)

在種群模型中加入反饋控制可以調(diào)整生物種群的數(shù)量使其保持穩(wěn)定.文獻(xiàn)[7]研究了具有反饋控制的Lotka-Volterra合作系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[8]在互利共生的合作系統(tǒng)中引入反饋控制，建立如下模型

并研究其穩(wěn)定性，結(jié)果表明，對(duì)于單方不能獨(dú)立生存的合作系統(tǒng)，當(dāng)反饋控制變量控制在一定范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性仍存在，而當(dāng)反饋控制變量過(guò)大時(shí)，不能獨(dú)立生存的種群將走向滅絕.

隨著人類對(duì)資源的過(guò)度開(kāi)發(fā)和生態(tài)環(huán)境的破壞，各種毒素對(duì)生物種群造成了嚴(yán)重影響，相關(guān)學(xué)者將這一因素引入了種群模型[9-11].文獻(xiàn)[11]在競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)中引入了毒素項(xiàng)，結(jié)果表明人類的捕獲對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響要大于毒素的影響.

本文在模型（2）的基礎(chǔ)上引入毒素項(xiàng)，建立如下模型

其中：ai、bi、aij、αi、γi、ηi（i、j=1、2）均為正常數(shù)；xi（t）（i=1、2）為種群在時(shí)刻t的密度；b1為x1種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；b2為x2種群的死亡率；a11、a22分別為制約2個(gè)種群密度的系數(shù)；a12、a21為種群間的合作效率系數(shù)；ui（i=1、2）為反饋控制變量；γi（i=1、2）為毒素對(duì)種群的影響系數(shù)，且0＜γi＜1（i=1、2）.分別研究在無(wú)反饋控制和有反饋控制時(shí)系統(tǒng)（3）的邊界平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，從而探討反饋控制對(duì)具有毒素的互利共生合作系統(tǒng)的影響.

1 平衡點(diǎn)的存在性

1.1 無(wú)反饋控制系統(tǒng)

無(wú)反饋控制的具有毒素的單方不能獨(dú)立生存的合作系統(tǒng)為

系統(tǒng)（4）的邊界平衡點(diǎn)F1（x1′，0）滿足

系統(tǒng)（4）的另一邊界平衡點(diǎn)（0，x2′）滿足

定理1若a221b1＞a11a21b2+γ1b22，則系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)F2（x1*，x2*）存在且唯一.

證明正平衡點(diǎn)F2（x1*，x2*）滿足方程組

由方程組（5）的第2式得x1=（γ2x22+a22x2+b2）/a21，代入第1式化簡(jiǎn)得

其中

由條件得A5＜0，由文獻(xiàn)[12]知以上四次方程有唯一正根x2*.此時(shí)，x1*=（γ2x*22+a22x*2+b2）/a21＞0，因此系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)F2（x*1，x*2）存在且唯一.

1.2 有反饋控制系統(tǒng)

系統(tǒng)（3）的邊界平衡點(diǎn)F3（x1″，0，u1″，0）滿足

解得

由x1″＞0知u1″＞0，所以系統(tǒng)（3）的邊界平衡點(diǎn)F3（x1″，0，u1″，0）存在且唯一.

系統(tǒng)（3）的另一邊界平衡點(diǎn)（0，x2″，0，u2″）滿足

解得

由x2″＜0知u2″＜0，所以系統(tǒng)（3）的另一邊界平衡點(diǎn)（0，x2″，0，u2″）不存在.

定理2若a221b1η1＞a21b2（a11η1+a1α1）+b22γ1η1，則系統(tǒng)（3）的正平衡點(diǎn)F4（x1*，x2*，u1*，u2*）存在且唯一.

證正平衡點(diǎn)F4（x1*，x2*，u1*，u2*）滿足方程組

由方程組（8）的第3和第4式得u1=a1x1/η1，u2=a2x2/η2，代入第2式得

將上式代入方程組（8）的第1式，化簡(jiǎn)得

其中

由條件得B5＜0，由文獻(xiàn)[12]知以上四次方程有唯一正根x2*.此時(shí)，

故x1*＞0，u1*＞0，u2*＞0.因此系統(tǒng)（3）的正平衡點(diǎn)F4（x1*，x2*，u1*，u2*）存在且唯一.

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 無(wú)反饋控制系統(tǒng)

定理3若（a11a21+2γ1b2）2＞a221（a211+4γ1b1），則系統(tǒng)（4）的邊界平衡點(diǎn)F1（x1′，0）是局部漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.

證明邊界平衡點(diǎn)F1（x1′，0）的Jacobi矩陣為該矩陣特征多項(xiàng)式的2個(gè)特征值分別為λ1=-a11x1′-2γ1x1′2＜0，λ2=-b2+a21x1′，當(dāng)（a11a21+2γ1b2）2＞a221（a211+4γ1b1）時(shí)，λ2＜0，因此邊界平衡點(diǎn)F1（x1′，0）是局部漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.

定理4在定理1的條件下，當(dāng)a11a22＞a12a21時(shí)，系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)F2（x1*，x2*）是局部漸近穩(wěn)定性的.

證明正平衡點(diǎn)F2（x1*，x2*）的Jacobi矩陣為

設(shè)該矩陣特征多項(xiàng)式的特征根為λ1、λ2，則λ1+λ2=M1，λ1λ2=M2，其中

當(dāng)a11a22＞a12a21時(shí)，有Re λi＜0（i=1、2），因此系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

定理5在定理4的條件下，系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)F2（x1*，x2*）是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由正平衡點(diǎn)F2（x1*，x2*）滿足的方程組（5）

可得

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其中ω為正常數(shù).易知L1（x1，x2）關(guān)于x1、x2連續(xù)，計(jì)算得

所以

因此當(dāng)x1=x1*，x2=x2*時(shí)，L1（x1，x2）取得全局最小值，即L1（x1，x2）≥0.對(duì)L1（x1，x2）沿系統(tǒng)（4）求導(dǎo)

將式（9）代入可得

2.2 有反饋控制系統(tǒng)

定理6若

則系統(tǒng)（3）的邊界平衡點(diǎn)F3（x1″，0，u1″，0）是全局漸近穩(wěn)定性的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其中ρi（i=1、2、3、4）是未知的正常數(shù).L2（x1，x2，u1，u2）關(guān)于x1、x2、u1、u2連續(xù)，計(jì)算得

所以

因此當(dāng)x1=x1″，u1=u1″時(shí)，L2（x1，x2，u1，u2）取得全局最小值，即L2（x1，x2，u1，u2）≥0.對(duì)L2（x1，x2，u1，u2）沿系統(tǒng)（3）求導(dǎo)

將式（6）代入得

由條件可知該矩陣是正定的，并且

定理7在定理2的條件下，當(dāng)a11a22＞a12a21時(shí)，系統(tǒng)（3）的正平衡點(diǎn)F3（x1*，x2*，u1*，u2*）是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其中βi（i=1、2、3、4）是未知的正常數(shù).L3（x1，x2，u1，u2）是關(guān)于x1、x2、u1、u2的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算得

所以

因此當(dāng)x1=x1*，x2=x2*，u1=u1*，u2=u2*時(shí)，L3（x1，x2，u1，u2）取得全局最小值，即L3（x1，x2，u1，u2）≥0.對(duì)L3（x1，x2，u1，u2）沿系統(tǒng)（3）求導(dǎo)

將式（8）代入得

3 結(jié)論

比較定理3和定理6可知，無(wú)反饋控制系統(tǒng)和有反饋控制系統(tǒng)的邊界平衡點(diǎn)都存在且穩(wěn)定，但這2個(gè)平衡點(diǎn)不相等.比較定理5和定理7可知，無(wú)反饋控制系統(tǒng)和有反饋控制系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)都存在且穩(wěn)定，這2個(gè)平衡點(diǎn)也不相等.因此，對(duì)于毒素影響下的互利共生合作系統(tǒng)，反饋控制不影響平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，只改變平衡點(diǎn)的位置.