同心圓錐曲線(xiàn)一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)及簡(jiǎn)證

江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué) (215131) 萬(wàn)福昌江蘇省蘇州市相城區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215131)

朱萬(wàn)華

2018年6月在某公眾平臺(tái)中出現(xiàn)了兩道有關(guān)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題研究的有獎(jiǎng)?wù)鹘忸}，引起廣泛的討論.其中第1個(gè)問(wèn)題如下：

定義設(shè)兩圓錐曲線(xiàn)有著公共的焦點(diǎn)F，且與F相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)f也是公共的，則稱(chēng)這樣的兩個(gè)圓錐曲線(xiàn)為同心圓錐曲線(xiàn).

圖1

問(wèn)題1如圖1，設(shè)橢圓和拋物線(xiàn)為同心圓錐曲線(xiàn)，作一直線(xiàn)交橢圓于A、B,交拋物線(xiàn)于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

此題公布后，很多老師參與解題研究，共提供了五種證明方法，但這五種解法都比較復(fù)雜，且不具有一般性.筆者經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)了任意兩個(gè)同心圓錐曲線(xiàn)更一般的結(jié)論，并給出統(tǒng)一的簡(jiǎn)單的證明.

圖2

結(jié)論如下：如圖2，設(shè)兩不同的同心圓錐曲線(xiàn)Ω1,Ω2，焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為f，作一直線(xiàn)交Ω1于A、B,交Ω2于C、D，那么∠AFC=∠BFD.

可得Ω1和AB交點(diǎn)的極角：θA=arcsinm1+φ+2k1π,k1∈Z或θB=π-arcsinm1+φ+2k1π,k1∈Z.同理可得Ω2和AB交點(diǎn)的極角：θC=arcsinm2+φ+2k2π,k2∈Z或θD=π-arcsinm2+φ+2k2π,k2∈Z.∴∠AFC=arcsinm2-arcsinm1+2(k2-k1)π，∠BFD=arcsinm2-arcsinm1+2(k1-k2)π.因?yàn)椤螦FC,∠BFD∈(0,π)，所以∠AFC=∠BFD.