數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型及求法

馮淑萍

【摘要】數(shù)列通項(xiàng)公式是高考重要考點(diǎn)之一。從歷年高考及教學(xué)情況來(lái)看，數(shù)列通項(xiàng)公式試題的題型復(fù)雜，求解方法靈活多樣，需要在解題過(guò)程中充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想進(jìn)行相應(yīng)題目的求解計(jì)算，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的重要內(nèi)容。文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型與求解方法進(jìn)行了總結(jié)分析，以供參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列通項(xiàng)公式；常見(jiàn)題型；求法

高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式求解中，比較常見(jiàn)的題型主要包含給出前幾項(xiàng)和、給出遞推關(guān)系和周期函數(shù)型幾種數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算，其主要解題方法包含公式法、觀察歸納法以及遞增關(guān)系變形法等。下面結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)實(shí)踐與體會(huì)，對(duì)其常見(jiàn)題型與求解方法進(jìn)行總結(jié)，以供參考。

一、給遞推關(guān)系的數(shù)列通項(xiàng)公式及求法

（一）遞推關(guān)系的數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)題型

一般情況下，對(duì)題目中給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，要求其數(shù)列通項(xiàng)公式的題型求解分析中，可通過(guò)對(duì)給出前幾項(xiàng)數(shù)列規(guī)律的觀察基礎(chǔ)上，對(duì)該數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算求解。

比如，在某例題中，給出了該數(shù)列的前四項(xiàng)，要求求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，像“已知 ， ， ， ， ”或者“已知1， ， ， ， ”，求數(shù)列通項(xiàng)公式。

在進(jìn)行上述數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算中，根據(jù)所給出的各項(xiàng)數(shù)列，進(jìn)行觀察分析后發(fā)現(xiàn)，在“已知 ， ， ， ， ，求數(shù)列通項(xiàng)公式”一題中，其各項(xiàng)數(shù)列分母分別為 ， ， ， ，因此可將數(shù)列的第一項(xiàng)轉(zhuǎn)化為 ，其余各項(xiàng)分別為 ， ， ， ，從而得出該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。

在“已知 ， ， ， ， ，求數(shù)列通項(xiàng)公式”一題中，通過(guò)將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為 ， ， ， ， ，后可觀察得出其數(shù)列通項(xiàng)公式為 。

再比如，在進(jìn)行 ，其中 為常數(shù)的數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算題型中，可以根據(jù)等比數(shù)列的定義，在判斷數(shù)列為等比數(shù)列的情況下，采用公式法進(jìn)行計(jì)算。

如：已知數(shù)列 滿足以下條件， ， 求該數(shù)列的通項(xiàng)公式?？梢愿鶕?jù)題目求出該數(shù)列的公比，并且根據(jù)等比數(shù)列的定義，在確定首項(xiàng)的情況下，計(jì)算得出其通項(xiàng)公式為 。同樣，對(duì)于數(shù)列 ，其中， 是以 作為自變量的函數(shù)，對(duì)其數(shù)列通項(xiàng)公式可以采用累乘法 進(jìn)行計(jì)算分析。像“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式”一題，就可以根據(jù)題目中給出的已知條件，通過(guò)累乘法計(jì)算得出其數(shù)列通項(xiàng)公式為 。

（二）遞推關(guān)系的數(shù)列通項(xiàng)公式求法

在“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式”一題中，根據(jù)題中已知條件可以運(yùn)用猜想證明、歸納證明以及累加法、換元法、待定系數(shù)法等多種方法進(jìn)行計(jì)算求解。

其中，猜想證明法也是數(shù)學(xué)歸納證明法，從有限個(gè)特殊情況中猜想總結(jié)與歸納一般的結(jié)論，并通過(guò)嚴(yán)格證明對(duì)該猜想歸納的過(guò)程進(jìn)行驗(yàn)證，從而獲取相應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式。根據(jù)上述題目中的已知條件，在推算獲取 ， ， 等其他各項(xiàng)數(shù)列的結(jié)果后，根據(jù)各數(shù)列關(guān)系可猜想得出 ，對(duì)該猜想結(jié)論可以通過(guò)假設(shè) 或 ，將該條件代入上述猜想結(jié)果中進(jìn)行驗(yàn)證，最終證明該猜想成立。因此，數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，其中 。

其次，采用歸納證明法進(jìn)行“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式”一題求解計(jì)算中，根據(jù)題中給出的已知條件，將 代入得出 ， ， ，根據(jù)各數(shù)列結(jié)果，歸納總結(jié)得出 。對(duì)于歸納分析后計(jì)算得出的結(jié)果，還可以通過(guò)代入驗(yàn)證進(jìn)行證明，以確保計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

運(yùn)用累加法進(jìn)行上述例題“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式”計(jì)算中，結(jié)合題目中的已知條件，將該數(shù)列轉(zhuǎn)換成為可以累加的一系列式子后，通過(guò)累加計(jì)算得到相應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式，即根據(jù)該題中已知條件，在 的情況下，可以根據(jù) 得出 ，即 ， ，將各計(jì)算結(jié)果累加可得 ，因此， ，將 代入驗(yàn)證后該結(jié)果仍然成立，因此，該數(shù)列通項(xiàng)公式為 。

對(duì)上述例子“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式”，還可以采用構(gòu)造法進(jìn)行數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算，具體方法如下。

根據(jù)該題目中給出的已知條件，將 的兩邊同時(shí)除以 后可得到 ，然后采用累加法求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，從而計(jì)算求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，即 。

二、給出前項(xiàng)和的數(shù)列通項(xiàng)公式及求法

在給出數(shù)列前項(xiàng)和的通項(xiàng)公式計(jì)算中，以“ 為常數(shù)”為例，根據(jù)等差數(shù)列的定義能夠判斷出其數(shù)列為等差數(shù)列，因此可以采用公式法進(jìn)行計(jì)算求解。

比如，在“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， ，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式”一題中，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可以判斷出該題中的數(shù)列為等差數(shù)列，因此對(duì)其數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可以采用公式法，具體如下。

根據(jù)題目可知 ，且數(shù)列 滿足首項(xiàng) ，同時(shí)又為等差數(shù)列，因此可得出其數(shù)列通項(xiàng)公式為 。

此外，在“ ，其中， 為以 作為自變量的函數(shù)類型的數(shù)列通項(xiàng)公式”計(jì)算中，多采用累加法進(jìn)行求解分析，即 。比如“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， 求該數(shù)列的通項(xiàng)公式”一題中，根據(jù)題目可知， ，通過(guò)累加法代入各項(xiàng)數(shù)列進(jìn)行計(jì)算可得出 。

三、周期函數(shù)型數(shù)列通項(xiàng)公式求解分析

對(duì)于周期函數(shù)型數(shù)列通項(xiàng)公式的求解計(jì)算，如“已知數(shù)列 滿足以下條件， ， ，求 ”一題中，分別給出相應(yīng)的題目選項(xiàng)，即“A. ，B. C. D. ”，要求選出正確的選項(xiàng)。根據(jù)題目中已知條件，在確定該數(shù)列首項(xiàng)，并對(duì)其余各項(xiàng)數(shù)列進(jìn)行推算得出后，判斷該數(shù)列為一個(gè)周期數(shù)列，其中數(shù)列的最小正周期值為 ，即可求出相應(yīng)的數(shù)列項(xiàng) 。

四、數(shù)列通項(xiàng)公式高考命題的思想方法分析

掌握數(shù)列通項(xiàng)公式高考命題的思想方法，對(duì)教學(xué)開(kāi)展以及數(shù)列通項(xiàng)公式的解題作答都有著非常重要的積極促進(jìn)與指導(dǎo)作用，使學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的基本技能，以促進(jìn)學(xué)生良好思維能力與知識(shí)素養(yǎng)的培養(yǎng)提升。高中數(shù)列知識(shí)不僅滲透類比、轉(zhuǎn)化、化歸以及數(shù)形結(jié)合、分類整合、函數(shù)、方程多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，根據(jù)最近一年高考試題中數(shù)列通項(xiàng)公式的命題方向及其解題思想方法等，主要集中在對(duì)等比與等差數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式前 項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)及其算法的掌握考查上，同時(shí)在數(shù)列通項(xiàng)公式知識(shí)考查方面，也加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)的基本思想以及基本方法等方面考查，其整體所考查的思想方法可以總結(jié)為四個(gè)方面，即方程、轉(zhuǎn)化和化歸、分類整合、函數(shù)等。

首先，在通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式求解進(jìn)行高中數(shù)學(xué)方程知識(shí)有關(guān)思想方法考查上，在運(yùn)用數(shù)列的基本量法進(jìn)行解題計(jì)算中，需要根據(jù)題目中設(shè)定的已知條件，在對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式進(jìn)行綜合分析后，進(jìn)行相應(yīng)的方程或方程組構(gòu)建。其次，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸知識(shí)內(nèi)容和思想方法的考查體現(xiàn)在通過(guò)數(shù)列的遞推公式對(duì)其通項(xiàng)公式進(jìn)行求解計(jì)算中，對(duì)解題者的觀察分析以及推理能力要求相對(duì)較高，通過(guò)對(duì)其思維變形和轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)歸能力的考查，在實(shí)現(xiàn)數(shù)列中遞推關(guān)系的靈活變換同時(shí)，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的等比或等差數(shù)列轉(zhuǎn)換，以完成數(shù)列通項(xiàng)公式求解。關(guān)于分類整合以及函數(shù)思想，在歷年的數(shù)列通項(xiàng)公式高考命題考查中體現(xiàn)得也比較豐富，像對(duì)包含函數(shù)知識(shí)的數(shù)列通項(xiàng)公式求解計(jì)算，需要在對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式和函數(shù)之間關(guān)系理清并掌握前提下，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)解題計(jì)算過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而快速準(zhǔn)確地求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

五、結(jié)束語(yǔ)

總之，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有非常重要的作用和影響，并且和函數(shù)、方程以及數(shù)列、不等式知識(shí)內(nèi)容之間存在密切的聯(lián)系，對(duì)后續(xù)數(shù)列極限以及級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)存在重要影響，是教學(xué)關(guān)注和研究的重點(diǎn)之一。在數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算中，題型繁雜，且其求法靈活多樣，在實(shí)際教學(xué)中對(duì)上述列舉方法也可以結(jié)合應(yīng)用進(jìn)行求解計(jì)算，以快速、準(zhǔn)確地求出正確結(jié)果，達(dá)到數(shù)列通項(xiàng)公式教學(xué)目的。

【參考文獻(xiàn)】

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