高中數(shù)學(xué)中有關(guān)直線(xiàn)或圓的兩解問(wèn)題

周 寅

（福建省福州文博中學(xué)，福建福州 350000）

引 言

在高中數(shù)學(xué)“直線(xiàn)與圓”這一章節(jié)中，許多題型在兩解范疇內(nèi)，因此，選擇合適的解題策略至關(guān)重要，其中，解題答案的完整性，更是這一章節(jié)的重點(diǎn)[1]。從學(xué)生的實(shí)際解題情況可以看出，大部分學(xué)生解題答案缺乏完整性，缺少兩解或在兩解中取舍不正確等問(wèn)題普遍存在。

一、直線(xiàn)兩解問(wèn)題

在直線(xiàn)的兩解問(wèn)題中，需要格外注意截距問(wèn)題和點(diǎn)線(xiàn)距離問(wèn)題，這是高考的考點(diǎn)。

（一）截距問(wèn)題

截距問(wèn)題又可以分為截距相等或截距成倍數(shù)關(guān)系等情況。

1.截距相等

【第一題】設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（2，3），且與x 軸的截距和y 軸的截距相等，求直線(xiàn)方程．

解析：首先，由于直線(xiàn)過(guò)P（2，3），可設(shè)該直線(xiàn)方程的表達(dá)式為y-3=k（x-2）；其次，求解該直線(xiàn)的橫截距和縱截距，當(dāng)y = 0，該直線(xiàn)的橫截距為當(dāng)x=0 時(shí)，該直線(xiàn)的縱截距為3-2k；最后，根據(jù)題目條件，橫截距與縱截距相等，即求解得知或k = -1，然后將k 的值代入直線(xiàn)方程表達(dá)式中，即得到3x-2y=0 或x ∣y-5=0．

【第二題】設(shè)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（-5，2），且該直線(xiàn)的橫截距與縱截距相等，求直線(xiàn)方程．

解析：該題可討論直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)或者不過(guò)原點(diǎn)兩種情況。第一，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為y = kx，將P 點(diǎn)代到該直線(xiàn)方程中，即得，所以直線(xiàn)方程為2y+5x=0．第二，當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為，將P 點(diǎn)代入直線(xiàn)方程中，可得a = -3，所以該直線(xiàn)方程為x+y+3=0．綜上所述，該直線(xiàn)方程的表達(dá)式為2y+5x-0 或x+y+3=0．

學(xué)生在求解截距相等的直線(xiàn)問(wèn)題中，通常情況下只會(huì)得出一種答案，而忽略了一種特殊情況，即截距為零。學(xué)生在求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，必須深刻理解截距的概念，并且區(qū)分截距與距離的不同，距離只能為正數(shù)或零，但是截距可以取值為負(fù)數(shù)、零以及正數(shù)。所以，在解題時(shí)，學(xué)生必須針對(duì)不同情況下的截距取值展開(kāi)討論。

2.截距成倍數(shù)關(guān)系

【第三題】設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，2），且橫截距是縱截距的2 倍，求直線(xiàn)方程．

解析：在求解這道題目時(shí)，學(xué)生要考慮到縱截距可能為零的情況。假設(shè)橫截距為a，縱截距為b，第一種情況，考慮縱截距為零的情況，此時(shí)假設(shè)直線(xiàn)方程表達(dá)式為y = kx，將點(diǎn)P 代入該方程表達(dá)式中，可以求解得知k = -1，所以直線(xiàn)方程為y = -x．第二種情況，即縱截距不等于零，此時(shí)可得到直線(xiàn)方程表達(dá)式為x+2y-2=0．綜上所述，直線(xiàn)方程表達(dá)式為y=-x或者x+2y-2=0．

學(xué)生在求解這類(lèi)截距問(wèn)題的過(guò)程中，往往未能全面考慮橫截距或縱截距可能會(huì)存在等于零的情況。如果學(xué)生采用的方式假設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，只能得到一種解，而忽略了直線(xiàn)有可能會(huì)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的情況。所以，學(xué)生在求解這類(lèi)截距問(wèn)題時(shí)最好采用點(diǎn)斜式，這樣才能夠保證答案的完備性。

（二）點(diǎn)線(xiàn)距離問(wèn)題

【第四題】設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（2，-5），并與點(diǎn)A（3，-2）和點(diǎn)B（-1，6）的距離相等，求該直線(xiàn)方程．

解析：求解這道題目也存在兩種情況。第一，AB 兩點(diǎn)在直線(xiàn)的同側(cè)，即直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)AB 相等，兩直線(xiàn)平行，可得直線(xiàn)的斜率為k = -2．第二，AB 兩點(diǎn)在直線(xiàn)的異側(cè)，即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)AB 線(xiàn)段的中點(diǎn)（1，2），此時(shí)可以求解得到直線(xiàn)的斜率為k = -7．所以，該問(wèn)題中的直線(xiàn)有兩條，即直線(xiàn)方程表達(dá)式分別為2x+y+1=0 和7x+y-9=0．

學(xué)生在求解這類(lèi)距離問(wèn)題時(shí)，往往未能全面考慮兩點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系。所以，學(xué)生在求解這類(lèi)距離問(wèn)題時(shí)，一定要分類(lèi)討論。

二、圓的兩解問(wèn)題

圓是一種特殊的圖形，不僅是軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)還是中心對(duì)稱(chēng)圖形，具有很多非常特殊的性質(zhì)。由于圓具有多方面特殊性，因此，在關(guān)于圓的題型中，經(jīng)常會(huì)遇到一些題目較難或存在很難思考到的點(diǎn)，兩解問(wèn)題更是非常普遍。

【第五題】已知圓O 的內(nèi)接三角形ABC，其中BC 邊的長(zhǎng)度為4，B 點(diǎn)到圓心O 的距離為4，求角A 的度數(shù)．

解析：在求解該問(wèn)題時(shí)，A 點(diǎn)可能在BC 弦所對(duì)的優(yōu)弧或劣弧上面。因此，應(yīng)該分成兩種情況進(jìn)行討論。第一種情況，假設(shè)A 點(diǎn)在BC 邊所對(duì)的優(yōu)弧上，此時(shí)可以分別連接OB 和OC，并從O 點(diǎn)引直線(xiàn)OD，使其垂直于邊BC（如圖1），即可以得到BD=2．因此，在RTΔODB 中，OB=4，DB=2， 所 以，∠BOD=30°，∠BOC=60°，所以可知∠BAD=30°．

第二種情況，即考慮A 點(diǎn)在BC 弦所對(duì)應(yīng)的劣弧上（如圖2）。此時(shí)，同樣可以求解得到∠BOC=60°，所以由弧的關(guān)系，可以得到∠BAC=150°．

學(xué)生在求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，只會(huì)想到圓心在ΔABC 內(nèi)，忽略了圓心有可能位于ΔABC 外。

【第六題】假設(shè)圓A 的半徑為4，且該圓與另一個(gè)圓B 相切，其中，圓B 的方程表達(dá)式為x2+y2-4x-2y-4=0，同時(shí)，該圓與直線(xiàn)y=0 也保持相切的關(guān)系，求圓A 的方程表達(dá)式．

解析：在求解該圓的方程表達(dá)式時(shí)，首先設(shè)圓A 的方程為（x-a）2+（y-b）2= r2，由于圓與直線(xiàn)y = 0 相切，即圓與x 軸相切，且該圓的半徑為4，可得b = 0，r = 4，則圓A 的圓心坐標(biāo)存在兩種情況，（a，4）或（a，-4）．由于該圓與圓B 相切，而圓B 的圓心坐標(biāo)為（2，1），半徑為3．要將相切分為內(nèi)切和外切兩種情況討論，所以?xún)烧邎A心距離為1或7．當(dāng)圓心為（a，4）時(shí)，此時(shí)（a-2）2+（4-1）2= 72或者（a-2）2+（4-1）2= 12（無(wú)解），此時(shí)可解得同理，當(dāng)圓心坐標(biāo)為（a，-4）時(shí)，解得

圖1

圖2

學(xué)生在求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)忽略?xún)蓚€(gè)方面，第一個(gè)方面，學(xué)生想到圓心在直線(xiàn)x 軸的上方的情況，卻忽略了圓心有可能位于x 軸的下方，忽略存在圓心坐標(biāo)為（a，-4）的情況；第二個(gè)方面，學(xué)生僅想到外切，卻忽略了內(nèi)切的情況，導(dǎo)致解答得出的答案缺乏完整性，不夠全面。

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)直線(xiàn)或圓的問(wèn)題中普遍存在兩解的問(wèn)題，在求解直線(xiàn)截距問(wèn)題時(shí)，必須考慮截距可能等于零的情況，以及該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)或不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)兩種情況，并且在假設(shè)直線(xiàn)方程式時(shí)學(xué)生應(yīng)該盡量選擇使用點(diǎn)斜式方程。在計(jì)算點(diǎn)與直線(xiàn)距離的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該充分考慮直線(xiàn)與點(diǎn)平行、直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)等情況。在圓的問(wèn)題上，學(xué)生要多考慮圓與其他圖形是否會(huì)存在多種不同的情形等。學(xué)生必須加大對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的重視程度，做到考慮全面，以保證答案的完整性。