比較之后，才能知道什么是真正的“比”

潘鑫

[摘 要]比例知識一直是學生學習的難點，不僅在于其形式的特殊，還在于其定義的模糊。“比”和“比值”之間的異同點非常微妙，而且關(guān)于“比”與“除法”，比值與“分數(shù)”等概念的交叉滲透，都給學生精準把控“比”與“比例”各概念的內(nèi)涵造成障礙。

[關(guān)鍵詞]比；比例；除法；分數(shù)

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0043-01

數(shù)學教學第一目標是傳導正確的數(shù)學概念。因此教學之前，教師要對概念的意義了然于胸，能夠客觀認識概念的表述方式和立意角度?！氨鹊囊饬x”是“數(shù)與代數(shù)”單元的重點課程。筆者通過對照各版本的教材，對比的概念的教學有了一些心得體會。

一、對比新舊教材，比與除法大有不同

2011年版的數(shù)學課程標準中明確定義了數(shù)感，在其表述中，數(shù)感與數(shù)量關(guān)系有莫大關(guān)聯(lián)。比較數(shù)量關(guān)系，慣用兩種方法：一種是求差值；另一種是求倍率，其結(jié)果稱為“比”。比的概念反映出數(shù)量間幾何級的大小差距，因此比例教學有助于培養(yǎng)學生的數(shù)感。

舊課程標準指出，教學比例時要應用比例分配。而修改后的則沒有提出這一要求。各版教材都是通過實例引出比的概念的，這反映了比是從生活中提煉出的數(shù)學知識。但是不同版本的教科書對比的定義表述不盡相同，大部分將比和除法等同起來。那比和除法有什么區(qū)別呢？

雖然比的前項和后項之間也存在著相除的關(guān)系，比與除法異曲同工，但能否據(jù)此就將比和除法畫上等號呢？顯然不行。因為除法算式重在運算，有著強烈的結(jié)果指向，而比只是展現(xiàn)一種大小倍率關(guān)系，不重結(jié)果。

從除法的意義來看，若用除法定義“比”，則會出現(xiàn)以下兩點悖論：兩個數(shù)相除，如果平均分，就不涉及兩個同類量的比較，只是將一個量分散了，這擴大了概念的內(nèi)涵；兩個數(shù)相除，如果是求一個數(shù)含有多少個另一個數(shù)，比的前項剛好是后項的整倍數(shù)，那么兩個數(shù)量的大小均未發(fā)生變化，因此縮小了比的定義。

那么，比的意義和本質(zhì)究竟是什么呢？

二、考證其本質(zhì)，與度量大有關(guān)聯(lián)

《文子自然》一書中記載，老子曰：“樸至大者無形狀，道至大者無度量。故天圓不中規(guī)，地方不中矩。”度量應用十分廣泛，凡事需要預算的地方就要度量。比的來源就與度量有關(guān)。度量過程可分兩類，一種是同類量之間的度量，另一種是非同類量之間的度量。如圓周率是長度和長度的比值，溶液的濃度是質(zhì)量和質(zhì)量的比值，故它們屬于同類量比值度量；而速度是距離和時間的比值，密度是質(zhì)量和體積的比值，因此屬于非同類量比值度量?？梢?，比是通過比值來進行度量的。

有觀點認為，比可用可度量的長度、面積、體積、質(zhì)量等來間接定義不可度量的顏色、形狀、質(zhì)地等不可量化值。例如，甜度無法直接測量，但是通過計算糖和水的質(zhì)量比就可以間接定義甜度。臺灣數(shù)學教材中就認為“比是兩個量的對等關(guān)系”。所謂“對等關(guān)系”其實就是，兩個數(shù)量之間由于客觀需要產(chǎn)生的一種混搭分配。根據(jù)求比的兩個量的不同屬性，可將比例劃分為“分配”“包含”“互換”“密度”等四種比型。而為了方便比較和運算，將運算結(jié)果稱為“比值”。

比值用商定義的缺陷。教學“比的意義”時，區(qū)分比和比值是難點。大部分教材都是用兩項相除的商數(shù)來定義比值，比值一般用分數(shù)表示。如果用商來定義比值，則直接越過了兩個數(shù)量之間的包含或等分關(guān)系，直抵對等關(guān)系。例如，120瓶白酒是12瓶的10倍，若將12瓶白酒勾兌為一缸酒，那么120瓶白酒可以勾兌多少缸？此處應指點學生，當12瓶變?yōu)?缸時，120瓶則變?yōu)?0缸，這樣既印證了對等關(guān)系，也鞏固了學生對概念的理解。

某些教材里，將兩數(shù)A和B的比化為[A：B=AB∶1]，在這種形勢下，令后項=1，[AB]就徹底成為[A∶B]的比值。按照度量理論，后項化為1后，比的前項[AB]其實就是用B度量A的值。因此求比值本身就是一個度量的過程。故將比例后項處理為1時，[AB]就變成了比值，這種方式能很好地揭示比例的真義。

三、比值與分數(shù)，需細細分辨

分數(shù)具有多重意義，其中一個義項為兩數(shù)的比值。人教版教材將“比的意義”置于分數(shù)除法單元中，分數(shù)與比的緊密聯(lián)系可見一斑，但比值的重要性被掩蓋和削弱了。

通過上面的研討，發(fā)現(xiàn)比值需要用分數(shù)來記錄，但是，二者又有著本質(zhì)區(qū)別——比是一種數(shù)量關(guān)系，分數(shù)是一個數(shù)值，比值則成為溝通比和分數(shù)的橋梁。

綜上所述，要想讓學生正確無誤地理解掌握比的概念，必須追溯歷史，正本清源，從源頭上澄清比的出現(xiàn)與發(fā)展過程，并且和相關(guān)知識進行認真辨析，從而為學生學習比建立一個穩(wěn)固清晰的認知。

（責編 羅 艷）