向“本外”延伸，讓“數(shù)感”落地有聲

莊小麗

[摘 要]數(shù)感是一種敏感性直覺，具有直接性、偶然性、不可靠性、或然性等特征。在課堂上需要激發(fā)并積極捕捉這種直覺，讓數(shù)感成為一種穩(wěn)定的、可以外顯的思考性表征。挖掘與課本素材相關(guān)聯(lián)的知識外延，對課本素材進行補充、優(yōu)化、重構(gòu)，力求使隱性的數(shù)感外顯——看得見、說得出，落地有聲。

[關(guān)鍵詞]數(shù)感；小學(xué)數(shù)學(xué)；素材拓展

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0031-02

“數(shù)感”是數(shù)學(xué)新課程提出的十大核心概念之一，它是對數(shù)及數(shù)量間的一種敏感性直覺，因而具有直接性、偶然性、不可靠性、或然性等特征。伊恩斯圖加特這樣說：“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西?！比绾谓M織素材并巧妙呈現(xiàn)，在課堂上激發(fā)并積極捕捉學(xué)生這種直覺，讓學(xué)生的數(shù)感成為一種穩(wěn)定的、可以外顯的思考性表征，值得我們在教學(xué)實踐中去探究。

一、基于認(rèn)識

“加減法”是一、二年級“數(shù)與代數(shù)”的主要教學(xué)內(nèi)容，三年級的教學(xué)內(nèi)容是以整數(shù)乘除法為主并開始滲透分?jǐn)?shù)和小數(shù)。在“加減法”教學(xué)尾聲，綜合應(yīng)用加減法有關(guān)數(shù)量關(guān)系，尋找加強學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)的契機，提升學(xué)生解決問題的能力尤為重要且必要。

蘇教版教材第四冊的“認(rèn)識分米和毫米”單元有一道題：“一只螞蟻先向東爬5分米，再向西爬4分米；又向東爬7分米，向西爬3分米，然后停下來。這時螞蟻停在起點的東面還是西面？離起點幾分米？”此題雖然涉及的新知識是常見的量“分米”，但解題所用的知識基礎(chǔ)卻是加減法間的數(shù)量關(guān)系，與學(xué)生已有的加減法的應(yīng)用能力相比，有一定距離。這樣稍有高度的綜合性應(yīng)用更利于啟發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生在思維碰撞中生成靈感，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的好載體。對此，教師可挖掘與課本素材相關(guān)聯(lián)的知識外延，找到可以拓展的銜接點，對課本素材進行補充、優(yōu)化、重構(gòu)，設(shè)計拓展課程，以題組呈現(xiàn)，構(gòu)建更嚴(yán)密的知識體系，給學(xué)生搭建更適合的臺階，讓學(xué)生在探究中獲得更為完整的內(nèi)涵體驗，力求使隱性的數(shù)感外顯，可以看得見、說得出，落地有聲。

二、立足課堂

螞蟻原來的所在位置可以是一個起點，也可以理解為一個標(biāo)準(zhǔn)，重點需要思考標(biāo)準(zhǔn)下后續(xù)的變化過程?；谶@點思考，以問題“與原來做比較，有什么變化？”建立題組，從最基本的一步變化到兩步變化再到三步變化，在不斷增加外部條件的同時，給各環(huán)節(jié)增設(shè)達成目標(biāo)，以不斷提升學(xué)生解決問題的能力，增強學(xué)生的數(shù)感。

1.一步變化：（1）桌上有一籃桃子，猴爸爸又買回10個；（2）桌上有一籃桃子，被猴大吃掉6個，現(xiàn)在和原來相比，個數(shù)是多了還是少了？多（少）了幾個？

二年級學(xué)生慣用兩個條件解決問題，在發(fā)現(xiàn)題目只給出一個條件時，就會自發(fā)地啟用假設(shè)的策略：假設(shè)原有桃子的個數(shù)，通過多次嘗試，發(fā)現(xiàn)“桃子原有個數(shù)”這個條件在“與原來比”的問題下，可以忽略不計，只需直接觀察變化的有關(guān)信息。這里對“原有個數(shù)”的不計，其實是把“原有個數(shù)”作為起點或是標(biāo)準(zhǔn)的淺思維，需要教師通過直觀手段，讓學(xué)生思維由表及里，引發(fā)學(xué)生的深層次感悟。

2.兩步變化：（1）桌上有一籃桃子，猴爸爸又買回10個，被猴大吃掉6個；（2）桌上有一籃桃子，被猴大吃掉10個，猴爸爸又買回6個，現(xiàn)在和原來相比，個數(shù)是多了還是少了？多（少）了幾個？

學(xué)生畫圖直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。這種圖示是學(xué)生自己喜歡的，可以幫助學(xué)生看圖和梳理、挖掘已知條件、整合條件，把解決問題的本質(zhì)直觀形象地呈現(xiàn)出來。通過觀察比較，得到這一類題的共同屬性，有利于學(xué)生明確探討任務(wù)的類型由文字到橫向的實物桃子圖，再到縱向的較抽象的圓形圖，實現(xiàn)了從抽象到形象再到抽象的層層遞進，是對文字處理到尋求直觀性策略再逐步提煉成模型的過程。將原有個數(shù)用橫線表示，從直觀上把“原有”定位為一個比較的標(biāo)準(zhǔn)，將“買回”和“吃掉”兩個相反意義的數(shù)量變化形式，抽象成“向上”和“向下”兩個相對的變化方向，使得學(xué)生能從抽象的文字符號到借助直觀圖理解數(shù)量的多與少及變化關(guān)系，讓數(shù)感有據(jù)可依，有體可載。

這里列算式雖然作為較高思維層次的解決方式，但在學(xué)生沒有通透理解知識本質(zhì)之前出現(xiàn)，并不利于學(xué)生直觀感受的建立，所以在這里不主張列式解決。而手勢比畫實則是較圓形圖更為抽象的一種線段圖的走向。由文字到實物桃子圖，到圓形圖，再到較為抽象的線段圖的模擬比畫，實現(xiàn)了從形象到抽象的自然過渡。再一次的手勢比畫是讓學(xué)生將文字信息抽象成圖形，在腦里模擬作圖，再外顯在變化手勢中，完成了對題意的理解及對數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)提煉。

【鞏固練習(xí)】口答：（1）桌上有一籃桃子，猴大吃掉6個，猴二吃掉10個；（2）桌上有一籃桃子，猴爸爸先買回6個，猴媽媽又買回10個。學(xué)生在思考時，自發(fā)選用了手勢比畫的方法模擬變化走勢，使較多的變化步驟在直觀方式的輔助下得以呈現(xiàn)，并將對數(shù)量關(guān)系的直覺理解落實在動作上，讓數(shù)感這種直覺思維有了外顯的載體。

3.三步變化：（1）桌上有一籃桃子，猴爸爸先買回12個，被猴大吃掉20個，猴媽媽又買回15個。（2）桌上有一籃桃子，猴爸爸先買回12個，猴媽媽又買回15個，被猴大吃掉20個。逐步加大難度，設(shè)計大數(shù)據(jù)、多步驟的變化，讓學(xué)生產(chǎn)生利用此前方法解決問題較為煩瑣要另尋策略的需求，在形式的不斷簡潔中完成辨析和概括，逐步完成思維抽象，讓加減法的數(shù)量關(guān)系再次外顯在符號中，賦予了“+”“-”號更豐富的內(nèi)涵。

4.拓展：一只螞蟻先向東爬5分米，再向西爬4分米；又向東爬7分米，向西爬3分米，然后停下來。這時螞蟻停在起點的東面還是西面？離起點幾分米？變換變化順序，讓學(xué)生在此題中立即得到實惠。學(xué)生的自主應(yīng)用顯示出他們對“+”“-”的再認(rèn)識和理解。這里的“+”不再是之前理解的各部分“合起來”，“-”也不是“去掉部分?jǐn)?shù)后的剩余部分”，這對意義相反的運算符號在這里被賦予了“量的相對變化”這一新內(nèi)涵。

5.變式：12路公交車原有59人，在新華書店下去了9人，又上來了4人；火車站下去5人，又上來了12人?，F(xiàn)在公交車上有多少人？體驗原有數(shù)據(jù)最初參與計算與最后參與計算的不同，感受過程性思考的價值。

6.延伸：二（1）班珠心算社團要求大家在規(guī)定時間內(nèi)完成10道題，各人完成情況記錄如下表：

以“+”“-”號為依托，在加減法數(shù)量關(guān)系的綜合探究應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，并向相關(guān)知識領(lǐng)域（負(fù)數(shù)、平均數(shù)）進行拓展。

三、延續(xù)鏈接

課程標(biāo)準(zhǔn)在關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的說明中指出，數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性進行解釋。

在綜合拓展中，進行“數(shù)感”數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要教師深層次研讀教材，了解數(shù)學(xué)知識的相關(guān)背景，掘出它的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，在課堂中隨時捕捉學(xué)生的動態(tài)生成，找到知識切入點，溝通聯(lián)系，向“本外”延伸，組建較豐富的素材資源，讓其成為強化和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主陣地。

數(shù)感既然是對數(shù)的一種感悟，就不會像知識、技能的學(xué)習(xí)那樣立竿見影，它需要教師在教學(xué)中幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，經(jīng)歷一個逐步建立、發(fā)展的過程，更需要教師在課堂上實施智慧調(diào)控。

（責(zé)編 黃春香）