用于濾波器組多載波系統(tǒng)的新型濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)算法

王 磊，梁 燕，蘭海翔

(重慶郵電大學(xué) 移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)作為4G的核心技術(shù)，其巧妙地利用了子載波頻譜的周期性零點(diǎn)，使各子載波在頻域相互重疊而不相互干擾，從而使其具有很高的頻譜利用率，這一點(diǎn)在頻譜資源日趨緊張的當(dāng)下，顯得很有吸引力[1]。然而，OFDM技術(shù)也存在很多缺點(diǎn)，比如，時(shí)頻定位要求很高，大量頻譜資源消耗在解決時(shí)頻同步問題上；對多普勒頻偏非常敏感，高速移動(dòng)終端的通信質(zhì)量無法得到保障；調(diào)制方式缺乏靈活性，難以滿足5G多樣化的業(yè)務(wù)需求[2]。針對OFDM技術(shù)的缺點(diǎn)，很多新型濾波器組多載波調(diào)制方案陸續(xù)被提出來，諸如，濾波多音調(diào)制(filtered multi-tone, FMT)、基于濾波器組多載波的偏移正交幅度調(diào)制(filter bank based multicarrier offset quadrature amplitude modulation, FBMC-oQAM)、濾波正交頻分復(fù)用(filtered-OFDM, F-OFDM)、通用濾波器組多載波(universal bank multicarrier, UFMC)、廣義頻分復(fù)用(generalized frequency division multiplexing, GFDM)等[3]。新型濾波器組多載波調(diào)制方案大多是利用濾波器組的濾波作用來實(shí)現(xiàn)子載波頻譜約束性的提高，從而解決OFDM技術(shù)存在的對頻率偏移敏感等問題[4-6]。濾波器組的濾波性能主要由原型濾波器決定，因而如何在諸多限制條件下設(shè)計(jì)出令人滿意的原型濾波器是解決問題的關(guān)鍵。

用于多載波調(diào)制系統(tǒng)的數(shù)字濾波器一般為有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response,FIR)濾波器， FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法有很多，比較經(jīng)典的有窗函數(shù)法、升余弦(rise cosine,RC)法、等波紋法、頻率采樣法等[7-8]。窗函數(shù)法通過對理想低通濾波器的無限長時(shí)域脈沖響應(yīng)乘以一個(gè)窗函數(shù)，進(jìn)行軟截?cái)?，從而得到一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器。但是，這種軟截?cái)嗟淖龇〞?huì)帶來吉布斯(Gibbs)效應(yīng)，即濾波器過渡帶的加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)；而且通過加窗軟截?cái)鄟慝@得濾波器系數(shù)的做法，局限性很大，濾波器的系數(shù)可能的取值有限且無法單獨(dú)改變。RC滾降法是對理想低通濾波器的頻譜做升余弦滾降，從而得到一個(gè)可物理實(shí)現(xiàn)的濾波器，同時(shí)也帶來了時(shí)域拖尾幅度的降低，減輕了多載波符號(hào)間干擾(inter symbol interference, ISI)，但是卻導(dǎo)致了濾波器主瓣的展寬，降低了多載波系統(tǒng)的頻譜利用率，加重了載波間干擾(inter carrier interference, ICI)[9]。RC滾降法同樣無法單獨(dú)改變?yōu)V波器的系數(shù)，而是被滾降因子整體性地改變，缺乏靈活性。

為了解決傳統(tǒng)濾波器設(shè)計(jì)方法的不足，新型濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)算法陸續(xù)被提出，許多啟發(fā)式優(yōu)化算法，如遺傳算法、模擬退火算法等，已經(jīng)被應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中[10]。2003年N.E. Mastorakis等[11]提出用遺傳算法解決數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，雖然遺傳算法在尋找搜索空間中極小值可能存在的區(qū)域方面具有良好的性能，但在解決方案質(zhì)量以及確定局部最小值方面效率并不高。B. Luitel和 G.K. Venayagamoorthy[12]提出進(jìn)化粒子群優(yōu)化算法(evolution particleswarm optimization，EPSO)，EPSO算法易于實(shí)現(xiàn)，其收斂可以通過少量參數(shù)進(jìn)行控制，但是EPSO算法的局限性在于它可能受到過早收斂和停滯問題的影響。介紹了一種基于貪心策略的啟發(fā)式算法—雕塑算法，這種算法的靈感來自于雕刻的過程，本算法將約束條件轉(zhuǎn)化為多維空間的一個(gè)子空間，通過尋找此子空間中能使目標(biāo)函數(shù)獲得最大或最小值的向量，來達(dá)到解決問題的目的。

1 多載波原型濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型

評價(jià)多載波原型濾波器的性能，主要有以下4個(gè)評價(jià)參數(shù)[13]:①阻帶衰減幅度。阻帶衰減幅度越大，帶外能量泄露越少，當(dāng)前子載波對其他子載波的干擾(ICI)也就越少，載波間干擾的降低會(huì)帶來系統(tǒng)誤碼率性能的顯著提高；②通帶波動(dòng)程度。原型濾波器通帶幅度的波動(dòng)會(huì)引起信號(hào)的幅度失真，從而給接收端準(zhǔn)確地恢復(fù)出發(fā)送端的數(shù)據(jù)造成困難；③過渡帶寬度。過渡帶越窄，每一個(gè)子載波占用的頻帶資源越少，在帶寬受限的情況下就可以容納更多的子載波，從而提高系統(tǒng)的頻譜利用率；④時(shí)域拖尾衰減速率。原型濾波器時(shí)域拖尾衰減越快，符號(hào)之間重疊部分的功率就會(huì)越低，符號(hào)間干擾(ISI)就會(huì)越少，接收端就能更準(zhǔn)確地解調(diào)出發(fā)送的數(shù)據(jù)。因此，以多載波原型濾波器的這4個(gè)參數(shù)的加權(quán)和為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，可以準(zhǔn)確而全面地反映原型濾波器的整體性能。

圖2為濾波器幅頻特性示意圖，圖2中顯示了[0,π]的頻率成分，整個(gè)幅頻特性曲線被分割為3部分，即：Ⅰ通帶、Ⅱ過渡帶和Ⅲ阻帶。其中，通帶截至頻率為kp，阻帶截至頻率為ks。

設(shè)濾波器的時(shí)域響應(yīng)為h(n)，通過DFT變換，可以得到其頻率響應(yīng)H(k)為

(1)

(1)式中：n為濾波器時(shí)域響應(yīng)序號(hào)；k為頻率響應(yīng)序號(hào)；N為濾波器階數(shù)。

圖1 濾波器幅頻特性示意圖Fig.1 Filter amplitude-frequency characteristics

濾波器阻帶衰減幅度用阻帶平均功率Pstop來衡量，Pstop可表示為

(2)

(2)式中，ks表示濾波器阻帶截止頻率。

通帶波動(dòng)程度用通帶標(biāo)準(zhǔn)差Spass來衡量，Spass可以表示為

0≤m,l≤kp-1

(3)

(3)式中，kp表示濾波器的通帶截止頻率。

過渡帶寬度的影響用過渡帶加權(quán)平均功率Ptranss來衡量，Ptranss可表示為

(4)

(4)式中，w(i)為權(quán)重函數(shù)。

時(shí)域拖尾衰減速率用加權(quán)平均衰減加速度atail來衡量，atail可表示為

0≤l≤Ntail-1

(5)

vtail(m)=‖h(m+1)-h(m)‖,

0≤m≤Ntail-1

(6)

(5)式中，vtail為衰減速度向量；w(l)為權(quán)重函數(shù)；Ntail為時(shí)域第一零點(diǎn)對應(yīng)的序號(hào)。

所以，總優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)φ可以表示為

φ=α·Pstop+β·Spass+χ·Ptranss+δ·atail

(7)

(7)式中，α，β，χ，δ為各評價(jià)參數(shù)的權(quán)重系數(shù)，這4個(gè)權(quán)重系數(shù)的和約束于1。

綜上所述，多載波原型濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可以歸結(jié)為：求得使目標(biāo)函數(shù)φ取得最小值時(shí)對應(yīng)的h(n)向量。

2 雕塑算法簡介

2.1 雕塑算法核心思想

一尊美麗的雕塑作品最初只是一塊普通的大理石，隨著刻刀一點(diǎn)點(diǎn)地雕刻，其輪廓慢慢地清晰起來，這個(gè)雕刻的過程實(shí)際上也是一個(gè)優(yōu)化的過程。如果將最初的這塊大理石看作一個(gè)多維空間的子空間，大理石外輪廓上的每一個(gè)點(diǎn)看作一個(gè)向量的每一個(gè)元素，那么一尊完美的雕塑作品就等價(jià)于這個(gè)向量的每一個(gè)元素取值達(dá)到符合審美標(biāo)準(zhǔn)的一種最佳組合[14]。

當(dāng)?shù)袼芩囆g(shù)家開始雕刻之前，首先要在大腦中有一個(gè)基本的構(gòu)圖，這個(gè)構(gòu)圖是一個(gè)模糊的形象，每次雕刻都在逼近這個(gè)模糊的形象，每一次雕刻后，雕塑藝術(shù)家重新對得到的模糊形象進(jìn)行再構(gòu)圖，產(chǎn)生一個(gè)比之前更清晰的形象，然后揮動(dòng)刻刀去逼近這個(gè)形象，如此反復(fù)，作品的形象逐漸清晰起來，最終得到一尊完美的雕塑作品。藝術(shù)家最初的構(gòu)圖可以看作待優(yōu)化向量的初始值，刻刀每揮動(dòng)一下可以看作對初始向量的其中一個(gè)元素進(jìn)行優(yōu)化，每一次重新構(gòu)圖可以看作從全局角度重置優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值，以達(dá)到每次優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)基準(zhǔn)值都比前一次更加理想，這也是貪心策略的核心要求[15]。

2.2 雕塑算法步驟及流程圖

雕塑算法的具體步驟整理如下。

①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)φ。

②根據(jù)約束條件，劃定待優(yōu)化向量的可能子空間p。

③設(shè)置初始值Oorig，并求出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Torig。

④根據(jù)梯度值確定待優(yōu)化向量的具體變量元素Ok。

⑤求出可能子空間Vp中此變量下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值Tk。如果本次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)值比優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Tk-1更優(yōu)，以本次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)值作為下次迭代的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Tk，并將取得最優(yōu)值時(shí)對應(yīng)的變量Ok取值替代原變量取值Ok-1，同時(shí)算法終止變量C置0。如果本次迭代產(chǎn)生的最優(yōu)值比優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Torig更劣或相等，按偏導(dǎo)數(shù)值大小原則執(zhí)行對下一個(gè)變量的優(yōu)化，同時(shí)保持優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Torig和此變量值Ok不變，算法終止變量C加1。

⑥重復(fù)④,⑤的操作，直到算法終止變量C等于變量的個(gè)數(shù)N時(shí)判定算法終止，同時(shí)得到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值和求得最優(yōu)值時(shí)對應(yīng)的最優(yōu)向量。

雕塑算法的簡易流程圖如圖2所示。

圖2 雕塑算法的流程圖Fig.2 Flowchart of the sculpture algorithm

雕塑算法可用于解決各種非線性優(yōu)化問題，在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為非凸函數(shù)、約束條件要求苛刻和優(yōu)化變量過多的情形下，相比于其他啟發(fā)式算法，雕塑算法具有顯著的優(yōu)勢。越嚴(yán)苛的約束條件對應(yīng)的優(yōu)化變量可能子空間越小，從而使迭代次數(shù)減少，算法收斂速度更快。合理地選取初始值，有利于算法更快地求得最優(yōu)解。

3 雕塑算法解決多載波原型濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題

為了使多載波系統(tǒng)在接收端完全恢復(fù)發(fā)送端的信號(hào)，不存在相位失真，要求原型濾波器具有線性相位。本文考慮設(shè)計(jì)具有第一類線性相位的FIR濾波器，第一類線性相位FIR濾波器要求其系數(shù)滿足偶對稱的特性，即h(n)=h(N-n)，其中，N為濾波器階數(shù)。因此，濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可以用公式(8)表示。

s.t.h(n)=h(N-n),0≤n≤N

(8)

(8)式中，N為濾波器階數(shù)。

實(shí)用的多載波系統(tǒng)中原型濾波器都具有時(shí)域拖尾逐漸衰減至0的特性，根據(jù)這一特性，通過合理地增加約束條件，排除那些不滿足要求的取值，從而使搜索空間V更小，有利于算法更快地尋找到最優(yōu)的解向量。在本文中，用一個(gè)偶對稱的四邊形包絡(luò)來限定濾波器系數(shù)的取值，從而在不影響濾波器系數(shù)最優(yōu)解取值的前提下，縮小變量取值的搜索范圍，減少算法迭代次數(shù)。因此，濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可以更加準(zhǔn)確地表示為

s.t.h(n)=h(N-n)

h(n)∈V,0≤n≤N

(9)

(9)式中，V為偶對稱四邊形包絡(luò)限定的濾波器系數(shù)取值范圍，如圖3中的四邊形所示。

圖3 偶對稱四邊形包絡(luò)Fig.3 Even symmetrical quadrilateral envelope

根據(jù)前面介紹的雕塑算法的一般步驟結(jié)合濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的具體問題，用雕塑算法解決濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的過程如下：首先，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)φ，確定解向量的可能取值空間Vp，這些工作前面已經(jīng)完成；然后，指定解向量的初始值Oorig，根據(jù)初始值求出目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Torig，作為第一次迭代結(jié)果的參照標(biāo)準(zhǔn)，本文選擇由傳統(tǒng)的窗函數(shù)法生成的濾波器作為解向量的初始值。在每一次迭代過程中，求出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)在解向量初始值所在位置的梯度值

(10)

(10)式中：N為濾波器的階數(shù)；Oi為Oorig的第i個(gè)元素。

偏導(dǎo)數(shù)絕對值越大，說明此變量對目標(biāo)函數(shù)的影響越大，本算法中取偏導(dǎo)數(shù)絕對值最大的變量作為待優(yōu)化變量Ok，即

Ok∈Oorig

(11)

其他變量用解向量的初始值代替，即為常數(shù)。在待優(yōu)化變量的約束條件范圍內(nèi)求出目標(biāo)函數(shù)的最小值φmin，如果φmin小于目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Tk-1，以此最小值φmin更新目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值稱為Tk，以此極小值對應(yīng)的變量取值更新解向量的初始值；否則，目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)值Tk-1和解向量Oorig不變，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)大小執(zhí)行對下一個(gè)變量的優(yōu)化。

在整個(gè)算法執(zhí)行過程中，始終遵循著貪心策略的原則：每次更新的目標(biāo)函數(shù)基準(zhǔn)值Tk都比上次優(yōu)化得到的值Tk-1更小。即

T1>T1>…>Tk-1>Tk…

(12)

許多啟發(fā)式算法，例如：模擬退火算法、遺傳算法、蟻群算法等都存在一個(gè)問題，即無法保證得到的結(jié)果是全局最優(yōu)解。在本文的算法中設(shè)置了一個(gè)算法終止控制變量C，當(dāng)本次優(yōu)化得到的變量值等于上次的優(yōu)化值時(shí)，判定此變量與上一個(gè)變量已經(jīng)聯(lián)合優(yōu)化得到局部最優(yōu)解，此時(shí)令C加1。但是隨著其他變量數(shù)值的改變，此局部最優(yōu)解可能會(huì)改變，所以當(dāng)本次得到的優(yōu)化變量值不等于上次的優(yōu)化值時(shí)，說明還存在可以優(yōu)化的變量，前面得到的局部最優(yōu)解并不是全局最優(yōu)解，此時(shí)將算法終止控制變量C置零，優(yōu)化過程繼續(xù)。當(dāng)連續(xù)N個(gè)變量的優(yōu)化取值都等于上次的優(yōu)化值時(shí)，這時(shí)C=N，此時(shí)改變?nèi)魏巫兞慷紵o法使優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)獲得更小的值，那么可以斷定全部N個(gè)變量已經(jīng)聯(lián)合優(yōu)化到最優(yōu)值，此時(shí)得到的局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解，不存在還可以優(yōu)化的變量，算法終止。

4 仿真及結(jié)果分析

將給出一個(gè)用上述算法優(yōu)化一個(gè)由傳統(tǒng)的窗函數(shù)法生成的濾波器的實(shí)例。為了評價(jià)所提算法的性能，以2014年Roland Baudin等提出的一種基于模擬退火算法的濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)算法[16]作為參照對象。在雕塑算法濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，濾波器的設(shè)計(jì)規(guī)格參數(shù)如表1所示。其中，α，β，χ，δ各評價(jià)參數(shù)的權(quán)重系數(shù)是作者在多次仿真實(shí)踐中得到的使系統(tǒng)性能最好的一組參數(shù)組合。

表1 濾波器設(shè)計(jì)規(guī)格參數(shù)

圖4是不同方法設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)，包括由窗函數(shù)法、模擬退火算法和雕塑算法設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)。其中，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器也作為模擬退火算法和雕塑算法的待優(yōu)化濾波器初始值。由圖4可知，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器第一旁瓣的峰值為-61.3 dB，而模擬退火算法和雕塑算法設(shè)計(jì)的濾波器第一旁瓣的峰值分別為-75.2 dB和-76.4 dB，模擬退火算法和雕塑算法都可以使濾波器的阻帶衰減幅度明顯增加。值得注意的是，與模擬退火算法相比，雕塑算法得到的濾波器具有更窄的過度帶和更大的阻帶衰減幅度，這是因?yàn)榈袼芩惴梢员ＷC算法得到全局最優(yōu)解，而模擬退火算法無法保證這一點(diǎn)。

圖4 濾波器的頻率響應(yīng)Fig.4 Frequency response of the filters

圖5是不同方法設(shè)計(jì)的濾波器的脈沖響應(yīng)，其中，三角mark，星mark和圓圈mark分別代表由窗函數(shù)法、模擬退火算法和雕塑算法設(shè)計(jì)的濾波器的脈沖響應(yīng)。從圖5中可以明顯看出，雕塑算法的拖尾衰減速率比其他2條曲線的要快，而模擬退火算法的拖尾衰減速率最慢。這是因?yàn)槟M退火算法是以理想低通濾波器為參照物，以最大限度逼近理想低通濾波器為優(yōu)化目標(biāo)，而理想低通濾波器脈沖響應(yīng)的拖尾衰減速率很慢。

圖5 濾波器的脈沖響應(yīng)Fig.5 Impulse response of the filters

FMT作為一種濾波器組多載波方案，其技術(shù)的特點(diǎn)是：各子載波之間的頻譜不重疊，使各子載波獲得良好的抗ICI的性能[17]。下面以前面得到的3種濾波器作為FMT系統(tǒng)的原型濾波器，以評估這3種濾波器在實(shí)際應(yīng)用中的性能表現(xiàn)，評價(jià)指標(biāo)為系統(tǒng)誤碼率。FMT系統(tǒng)參數(shù)配置如表2所示。

表2 FMT系統(tǒng)參數(shù)配置

圖6為3種濾波器對應(yīng)的誤碼率，其中，幅度從高到低的曲線分別代表由窗函數(shù)法、模擬退火算法和雕塑算法設(shè)計(jì)的濾波器對應(yīng)的系統(tǒng)誤碼率。從圖6中可以明顯看出，在不同信噪比下，用雕塑算法設(shè)計(jì)的濾波器表現(xiàn)出了優(yōu)良的系統(tǒng)誤碼率性能，充分證明了其設(shè)計(jì)思想的正確性以及雕塑算法在濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)中的優(yōu)越性。用窗函數(shù)法和模擬退火算法設(shè)計(jì)的濾波器在低信噪比條件下兩者區(qū)別不大，在高信噪比條件下，模擬退火算法設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)誤碼性能要優(yōu)于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器，這是因?yàn)樵谛旁氡容^低時(shí)，濾波器阻帶衰減幅度大，對誤碼性能的貢獻(xiàn)被高強(qiáng)度的信道噪聲所淹沒，而在高信噪比條件下這種優(yōu)點(diǎn)才漸漸體現(xiàn)出來。

圖6 系統(tǒng)誤碼率Fig.6 System error rate

5 總 結(jié)

介紹了一種用于解決優(yōu)化問題的啟發(fā)式算法—雕塑算法，其靈感來自于雕塑作品的創(chuàng)作過程，此算法是基于貪心策略，通過迭代來逐步優(yōu)化，最終得到多變量的聯(lián)合最優(yōu)解。緊接著，分析了多載波系統(tǒng)原型濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，建立模型并用公式表達(dá)出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。然后，將雕塑算法用于解決多載波系統(tǒng)原型濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并與窗函數(shù)法和模擬退火算法做了對比。最后，將3種算法設(shè)計(jì)的濾波器應(yīng)用于FMT系統(tǒng)，以系統(tǒng)誤碼率為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對比它們在實(shí)際系統(tǒng)中的性能。仿真結(jié)果證明，相比其他2種算法，用雕塑算法設(shè)計(jì)的原型濾波器表現(xiàn)出了優(yōu)異的誤碼率性能。