基于某推力機(jī)構(gòu)彈道修正彈角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析*

邢炳楠，張志安，高光發(fā)，雷曉云，盛娟紅

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院智能彈藥技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，南京 210094）

0 引言

對(duì)現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)而言，彈藥精確打擊的重要性在戰(zhàn)場(chǎng)上體現(xiàn)的越發(fā)明顯。彈道修正彈作為新興制導(dǎo)武器中的一種，在提高打擊精度，減小打擊誤差上以及低成本等方面具有非常突出的優(yōu)勢(shì)。如何保證在修正力作用下彈丸依然具有良好的飛行穩(wěn)定性是非常重要的問題。而彈箭飛行過程中攻角變化可以直觀地反映出其穩(wěn)定性變化。

目前二維修正彈藥多采用鴨舵或者脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)方式進(jìn)行修正，在文獻(xiàn)[1]中，王中原等人以旋轉(zhuǎn)彈為研究對(duì)象，從理論上簡(jiǎn)單分析了在修正力系下的彈丸角運(yùn)動(dòng)方程，并在此基礎(chǔ)上討論了其對(duì)飛行穩(wěn)定性影響變化。但缺少一定的數(shù)值仿真論證。Murphy在對(duì)自旋導(dǎo)彈穩(wěn)定性研究的過程中，通過建立彈箭的角運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)出關(guān)于彈箭的自由飛行穩(wěn)定性判據(jù)，但是對(duì)于其中非線性因素的考慮有一定的局限性[2]。楊紅偉等在文獻(xiàn)[3]中通過建立脈沖修正彈角運(yùn)動(dòng)方程組，對(duì)彈道修正過程中彈丸轉(zhuǎn)速過程中彈丸轉(zhuǎn)速的變化進(jìn)行分析，并得出結(jié)論：脈沖作用的徑向偏心是造成彈丸轉(zhuǎn)速大幅變化的主要原因。大家認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)速變化對(duì)彈箭穩(wěn)定性影響有非常重要的作用。Daniel Corriveau[4]主要在建立線性攻角運(yùn)動(dòng)模型基礎(chǔ)上，討論在雙脈沖矢量條件下如何將角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性盡可能提高，對(duì)于研究修正機(jī)構(gòu)依次先后作用下的攻角變化具有非常重要的意義。在文獻(xiàn)[5]中，姚文進(jìn)提出了在確定適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)速條件下，將對(duì)提高彈丸修正能力非常有利，并通過設(shè)置不同脈沖參數(shù)對(duì)修正效果進(jìn)行了分析。但并沒有通過建立攻角運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)一步分析擾動(dòng)對(duì)彈箭穩(wěn)定性影響。曹小兵等人通過建立攻角方程討論了強(qiáng)擾動(dòng)下的攻角運(yùn)動(dòng)響應(yīng)特性，并通過控制脈沖沖量及其距彈體質(zhì)心距離為變量，探討一個(gè)基于最大允許攻角的變量約束條件[6]。

本文對(duì)采用新型“預(yù)置質(zhì)量塊”修正的低旋尾翼彈進(jìn)行研究，并用Matlab軟件進(jìn)行六自由度彈道建模分析，認(rèn)為修正力對(duì)彈箭造成沖擊擾動(dòng)，基于這一基礎(chǔ)上建立復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程。由于轉(zhuǎn)速對(duì)彈箭修正能力有很大影響，以及低旋尾翼彈會(huì)容易發(fā)生共振閉鎖現(xiàn)象，運(yùn)用變系數(shù)方法考慮轉(zhuǎn)速變化對(duì)彈箭攻角運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)行分析。為了保證修正彈的飛行穩(wěn)定性，主要對(duì)擾動(dòng)下彈丸的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性以及追隨穩(wěn)定性進(jìn)行分析，探討彈箭受到強(qiáng)擾動(dòng)時(shí)影響穩(wěn)定性的重要因素，以期對(duì)設(shè)計(jì)具有良好氣動(dòng)布局的彈丸提供參考意見。

1 某新型推力修正彈動(dòng)力學(xué)建模

1.1 某新型推力機(jī)構(gòu)基本修正原理

目前國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有的主要二維修正方法為鴨舵修正和脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)修正。本文中所討論觀點(diǎn)均基于一種新型“預(yù)置質(zhì)量塊”式推力修正機(jī)構(gòu)。該修正機(jī)構(gòu)主要作用原理為：通過在某低旋尾翼彈質(zhì)心之后圍繞彈體呈環(huán)狀多層布置多個(gè)質(zhì)量塊，利用射出質(zhì)量塊造成的推力對(duì)彈箭飛行過程中進(jìn)行橫向和縱向的二維修正，從而提高落點(diǎn)精度和打擊效率。具體修正機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 預(yù)置質(zhì)量塊式新型修正機(jī)構(gòu)剖面示意圖

根據(jù)修正機(jī)構(gòu)原理分析，選取相關(guān)坐標(biāo)系，設(shè)單個(gè)質(zhì)量塊造成推力大小為FP，預(yù)置質(zhì)量塊與彈軸坐標(biāo)系Oη軸之間夾角為γP。

圖2 修正力作用示意圖

設(shè)預(yù)置質(zhì)量塊所在橫剖面距質(zhì)心距離為lP，則可得預(yù)置質(zhì)量塊對(duì)質(zhì)心的作用力矩MP投影至彈軸坐標(biāo)系為：

1.2 修正彈丸六自由度彈道模型

根據(jù)以上推導(dǎo)可得無(wú)控6D彈道方程中由于外力矢量變化而變化的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程中的3項(xiàng)為：

由于外部力矩變化而變化的彈丸繞心運(yùn)動(dòng)方程為：

將式（3）、式（4）分別代入無(wú)控飛行標(biāo)準(zhǔn)六自由度彈道方程組中，其余方程組不變即可得到修正力系作用下彈丸的六自由度彈道方程。

2 修正力系下角運(yùn)動(dòng)分析

2.1 修正力系下攻角運(yùn)動(dòng)方程

建立角運(yùn)動(dòng)方程時(shí)的一些假設(shè)前提如下：在小攻角線性化假設(shè)前提下定義復(fù)攻角為（δ1，δ2為高低攻角與方向攻角），。其中稱為復(fù)擺動(dòng)角（φ1，φ2分別為高低擺動(dòng)角和側(cè)向擺動(dòng)角），用來(lái)確定彈軸空間方位，將稱為復(fù)偏角，用于確定速度線方位（分別為高低偏角與側(cè)向偏角）；并且可以近似認(rèn)為都是小量，有關(guān)系式成立（上述符號(hào)含義均參見文獻(xiàn)[7]）。

由式（3）、式（4）可知，修正力對(duì)復(fù)偏角引起變化，修正力矩使復(fù)擺動(dòng)角發(fā)生變化。并有以下關(guān)系式成立：

在認(rèn)為預(yù)置質(zhì)量塊造成的推力使低旋尾翼彈受到?jīng)_擊擾動(dòng)前提下，根據(jù)文獻(xiàn)[1]所得，考慮風(fēng)W作用下，認(rèn)為攻角運(yùn)動(dòng)方程如下所示：

其中，B為常數(shù)，表示周期干擾的幅值，γ為預(yù)置質(zhì)量塊作用角度與彈軸坐標(biāo)系Oη軸之間夾角：

但考慮到馬氏力本身很小，由橫風(fēng)產(chǎn)生的附加馬氏力更小，所以方程中bz值很小，一般只有10-5量級(jí)，故可以忽略該項(xiàng)影響。并著重考慮彈丸受到?jīng)_擊擾動(dòng)情況下角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析，為了消去和Δ前的因子v2和v，將自變量從時(shí)間t改為弧長(zhǎng)s，經(jīng)過推導(dǎo)得簡(jiǎn)化后修正力作用下攻角運(yùn)動(dòng)方程如下：

2.2 沖擊擾動(dòng)下的角運(yùn)動(dòng)解析解

欲對(duì)沖擊擾動(dòng)作用下彈箭角運(yùn)動(dòng)進(jìn)行準(zhǔn)確分析，需求得式（8）分析求解。易知式（8）為非齊次方程，根據(jù)微分方程理論可知，其齊次方程的解表示了在起始擾動(dòng)條件下的角運(yùn)動(dòng)，可考慮將作用前攻角條件認(rèn)為是起始擾動(dòng)條件，對(duì)式（8）進(jìn)行求解。

設(shè)方程齊次方程解析解形式如下[6]：

由文獻(xiàn)[7]可知角運(yùn)動(dòng)對(duì)于攻角初始擾動(dòng)有以下關(guān)系式成立：

設(shè)推力作用前攻角為Δ1，作用后為Δ2。由關(guān)系式（5）可知，有：

則將式（10）～式（12）代入式（9）即得式（8）解析解表達(dá)式。

一般情況下，采用常系數(shù)法對(duì)式（9）進(jìn)行分析，但實(shí)際彈箭角運(yùn)動(dòng)方程中系數(shù)會(huì)隨空氣密度變化，為了更精確地分析彈箭角運(yùn)動(dòng)變化，可以采取平均法對(duì)角運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)行分析。

設(shè)變系數(shù)情況下攻角方程解仍為二圓運(yùn)動(dòng)形式，即式（9）。與常系數(shù)凍結(jié)法不同的是，此處對(duì)作為弧長(zhǎng)s的一般函數(shù)處理。

在變系數(shù)情況下頻率方程保持不變，阻尼方程如下：

P'由于系數(shù)可變產(chǎn)生，由于轉(zhuǎn)速對(duì)修正彈的修正效果有很大影響，進(jìn)一步討論在僅有轉(zhuǎn)速項(xiàng)P變化情況下，得到阻尼系數(shù)如下：

易知馬赫數(shù)以及空氣密度變化會(huì)引起M變化。在僅考慮空氣密度變化對(duì)角運(yùn)動(dòng)方程系數(shù)變化影響情況下，可以得到阻尼系數(shù)表達(dá)式如下[7]：

則將式（15）、式（16）代入式（9）可討論緩變系數(shù)項(xiàng)條件下攻角運(yùn)動(dòng)變化。

3 角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性及仿真結(jié)果分析

對(duì)于低旋尾翼彈而言，由于低速旋轉(zhuǎn)，因而其陀螺效應(yīng)很弱，甚至可以忽略不計(jì)，所以廣義上認(rèn)為靜穩(wěn)定尾翼彈具有陀螺穩(wěn)定性。而為了保證彈箭飛行穩(wěn)定性，要求彈丸繞彈道切線有迅速衰減的擺動(dòng)，沒有共振效應(yīng)，并且在彈道曲線段應(yīng)具有追隨穩(wěn)定性，同時(shí)更重要的是應(yīng)滿足動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性[8]。

3.1 推力修正下彈箭追隨穩(wěn)定性分析

彈箭的追隨穩(wěn)定性主要根據(jù)動(dòng)力平衡角的變化進(jìn)行分析，動(dòng)力平衡角是由于彈道彎曲引起的。彈箭可能在重力法向分量mg sinθ作用下攻角不斷增大并最終發(fā)生彈底著地情況，而過大的動(dòng)力平衡角會(huì)破壞彈箭的飛行特性，造成其散布增大，并且一定程度上造成射程減少[9]。因此，研究彈箭飛行的追隨穩(wěn)定性具有非常重要的意義。

僅考慮重力作用下的尾翼彈角運(yùn)動(dòng)方程為：

考慮到研究對(duì)象為低旋尾翼彈，由于赤道阻尼力矩項(xiàng)H較大不能忽略，略去其馬格努斯力矩項(xiàng)PT及較小量級(jí)項(xiàng)后，設(shè)有動(dòng)力平衡角，則有：

且由式（8）處分析可知，修正階段與無(wú)控飛行階段角運(yùn)動(dòng)方程相比，僅方程中馬氏力矩項(xiàng)T上有所區(qū)別，但是由于研究對(duì)象為低旋尾翼彈，推導(dǎo)過程中T忽略不計(jì)。所以可以認(rèn)為修正力系下彈箭追隨穩(wěn)定性與無(wú)控飛行時(shí)保持一致[10-11]。

為得到滿足追隨穩(wěn)定性條件，根據(jù)理論分析結(jié)果，運(yùn)用Matlab軟件，下面對(duì)低旋尾翼彈在鉛直面內(nèi)動(dòng)力平衡角δ1p與側(cè)向動(dòng)力平衡角進(jìn)行全彈道仿真分析，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 動(dòng)力平衡角變化曲線

3.2 修正力系下彈箭動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析

根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]，對(duì)于無(wú)控飛行彈箭動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性而言，其穩(wěn)定的根本條件是，即要求彈箭在運(yùn)動(dòng)中攻角不斷衰減，則此處對(duì)修正力系作用下彈箭動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性條件進(jìn)行探討?？紤]到式（15）、式（16）由于變系數(shù)引起附加阻尼項(xiàng)，則采用Matlab軟件進(jìn)行6D推力修正彈道仿真，分別得到常系數(shù)條件下和考慮P'，M'3種情況下阻尼系數(shù)變化。選取彈道上出炮口位置、彈箭上升下降階段中1/2彈道射高處，以及彈道最高點(diǎn)，著地之前5個(gè)不同部分阻尼項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

表1 阻尼系數(shù)項(xiàng)比較

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)分析可得對(duì)于低旋尾翼彈而言，相對(duì)于M'項(xiàng)，轉(zhuǎn)速項(xiàng)P的變化對(duì)阻尼系數(shù)影響更大，一定程度上可以近似認(rèn)為常系數(shù)和考慮M'情況下阻尼方程一致。故在分析動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性問題時(shí)，選取考慮轉(zhuǎn)速項(xiàng)P變化條件下的阻尼方程準(zhǔn)確性更高。

由于彈箭動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性主要通過攻角變化趨勢(shì)進(jìn)行反映。根據(jù)推力作用下攻角運(yùn)動(dòng)方程式（8），選取表1中第2組參數(shù)中考慮轉(zhuǎn)速項(xiàng)下阻尼指數(shù)，通過Matlab仿真圖直觀表明修正力系下攻角運(yùn)動(dòng)變化響應(yīng)。

除阻尼指數(shù)外，選取其余參數(shù)項(xiàng)數(shù)據(jù)如下：

圖4 復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)曲線

圖5 高低攻角δ1變化曲線

圖6 方向攻角δ2變化曲線

圖7 復(fù)攻角幅值變化曲線

4 結(jié)論

通過理論分析與仿真計(jì)算，對(duì)于“預(yù)置質(zhì)量塊式”修正彈在修正力系下的彈丸角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性可得出以下結(jié)論：由于馬氏力矩比較小，則動(dòng)力平衡角解中T項(xiàng)忽略不計(jì)，靜力矩起更為重要的作用。認(rèn)為動(dòng)力平衡角變化與未施加修正力時(shí)基本一致，修正彈滿足時(shí)彈箭具有追隨穩(wěn)定性。且對(duì)于修正彈，在考慮角運(yùn)動(dòng)響應(yīng)時(shí)選取考慮轉(zhuǎn)速項(xiàng)P變化條件下的阻尼系數(shù)，其準(zhǔn)確性更高。且在滿足條件下，修正彈箭動(dòng)態(tài)穩(wěn)定得以保證。