基于模糊層次分析法的射擊有利度分析模型

李彩峰，徐 鋒，張玉梅，孟麗潔，王 偉

（北方自動控制技術研究所，太原 030006）

0 引言

射擊有利度是評估武器火力打擊效果的一種指標，它的計算是火力分配中重要的一環(huán)，防空火炮的射擊有利度是指其對空襲兵器施行打擊的有利水平，結合對來襲兵器的威脅度評估和射擊有利度，可以有效地分配防空火力單元。對射擊有利度有影響的內容具有多因素、多層次的特點，因此，適合構建多層次結構模型。再使用層次分析法的理論就可以分析出各個因素的權重，然后再結合火炮和空襲兵器的具體參數(shù)即可計算出射擊有利度。

層次分析法中所有的計算都依賴于其比較判斷矩陣的構建，而采用傳統(tǒng)理論構建的比較判斷矩陣存在如下缺陷：1）采用數(shù)值1～9表示相對重要的程度，同時采用其倒數(shù)表示相對不重要的程度，這種表示方法不具備線性性。2）比較判斷矩陣的一致性需要計算矩陣的最大特征值，計算復雜度相對較高。3）判別矩陣的一致性驗證CR＜0.1缺乏理論依據(jù)。4）一致性的驗證與人類的思維差異性較大。5）判斷矩陣在出現(xiàn)不一致的情況下時再調整較為復雜。針對這些問題，按照比較重要程度的線性關系，再結合人類思維的一致性，從而提出模糊一致矩陣，構建模糊層次分析法。本文利用文獻[1]中構建的防空火炮的射擊有利度模型比較了兩種方法。

1 模糊層次分析法

1.1 層次分析法

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一種將定性分析轉化為定量分析的有效方法。層次分析法的實現(xiàn)一般需要以下4個步驟。

1.1.1 建立模型

建多層次模型是層次分析法的基礎。如圖1所示，多層次模型由最上層的目標層、制約目標層的準則層和對準則層直接相關的方案層[2]。

圖1 多層次模型結構

構建準則層是為了細分影響決策目標的因素，這些影響因素具有獨立性，根據(jù)需要可將準則層再分解，構建樹狀的多層次模型，如圖1所示，模型中的每一個葉子節(jié)點都與備選方案直接相關。

1.1.2 生成比較判斷矩陣

建立比較判斷矩陣是建模過程中由定性轉為定量的關鍵一步，一般情況下使用表1表示兩個因素之間的相對重要程度。

相對應地，使用這些數(shù)字的倒數(shù)表示相對不重要的程度。通過一定的調查方法，比如專家咨詢法，得出各個準則之間的重要關系數(shù)值，生成比較判斷矩陣，該矩陣中第i行第j列的元素表示第i個元素相比于第j個元素的重要程度，一般而言，該矩陣對角線對稱的元素互為倒數(shù)[3-4]。

1.1.3 一致性檢驗

在實際情況下，比較判斷矩陣中元素的選取可能不符合實際情況，比如元素1相對于元素2重要程度為9，元素2相對于元素3重要程度為3，但是元素1相對于元素3的重要程度為2，就不符合一致性規(guī)則。因此，一個為經過一致性檢驗的比較判斷矩陣是無法使用的。層次分析法采用如下步驟進行檢驗：1）計算一致性指標，其中n表示元素的個數(shù)，即比較判斷矩陣的階數(shù)，表示比較判斷矩陣的最大特征值。2）查詢一致性指標RI，如表2所示。

1.1.4 結果計算

根據(jù)比較判斷矩陣可以得到各個因素的權重，計算方法有幾何平均法、算數(shù)平均法、最小二乘法和特征向量法等。然后給出各個方案在不同的葉子節(jié)點上歸一化后的值，將歸一化后的值與權重相乘后相加直到求出決策目標的值，即根據(jù)決策目標值的大小比較各個方案的優(yōu)劣[5-6]。

1.2 模糊一致矩陣

針對引言中提到的層次分析法中比較判斷矩陣存在的問題，采用模糊一致矩陣代替?zhèn)鹘y(tǒng)層次分析法中的比較判斷模型，可以較好地解決這些問題。

1.2.1 定義

設存在階數(shù)為n的方陣Cn×n，其第i行第j列的元素為cij，滿足以下3個條件：

則稱方陣C為模糊一致矩陣，如果方陣不滿足條件2，則稱其為模糊矩陣。

1.2.2 特性

模糊一致矩陣具備模糊性、對稱性和一致性：

1）模糊性，鑒于需要得出各種因素之間的權重，故而將兩種元素之間的關系定義為模糊關系“XX比XX重要”，所以可以使用0到1之間的數(shù)值衡量這種關系，如果使用其他數(shù)值，就可以使用歸一化方法將其放縮到0到1之間。

2）對稱性，關系“兩者同樣重要”可以選取0到1之間的中間值0.5來表示，大于0.5的值表示前者比后者重要，相應地，小于0.5的值表示后者比前者重要，假設元素1比元素2的重要關系的數(shù)值為m，那么根據(jù)上述取值的方式可知1-m則表示元素1不比元素2重要的程度，即元素2比元素1重要的程度。這即模糊一致矩陣的對稱性。

3）一致性，使用數(shù)值A表示元素1比元素2重要的程度，B表示元素2比元素3重要的程度，C表示元素1比元素3重要的程度，根據(jù)人類思維的一致性，C-B表示元素1相對于元素2的相對重要程度，再加上元素2相對于本身的重要程度即元素1比元素2的重要程度，即A=C-B+0.5。

模糊性從模糊關系的角度給出了元素之間重要程度的關系，對稱性從線性角度給出了衡量比較元素之間重要程度的數(shù)量值，一致性不僅是從邏輯上給出了其定義，而且其檢驗相對于計算最大特征值的方式計算復雜度低。

進一步對模型概率估計結果進行了研究,以對比UIF-IMM 2與UIF-IMM 1兩種方法,找出提高位置和角度精度的原因.如圖5所示,UIF-IMM 2考慮了基于各種傳感器的累積似然函數(shù),使濾波器能夠更精確地估計模型概率,從而對狀態(tài)和協(xié)方差進行更精確的融合和估計.

類似于比較判斷矩陣，可以給出模糊一致矩陣的度量及其含義，如表3所示。

表3 模糊一致矩陣的度量及其含義

2 實例

文獻[1]構建了一種基于層次分析法的防空火炮的射擊有利度模型，本節(jié)將使用模糊層次分析法重新構建該模型，并比較兩者之間的差異。

2.1 模型

利用層次分析法構建如圖2所示的防空火炮對不同批次的空襲目標的射擊有利度層次結構模型：

圖2 射擊有利度的多層次模型

射擊精度越高、有效射擊時間越長、穿越次序越早、目標被彈面積越大，對射擊越有利。而針對射擊精度而言，目標高度越低、目標速度越低，射擊精度越高，目標航路捷徑等于瞄準死界半徑時，射擊精度最大，大于瞄準死界時，航路捷徑越大，精度越低，小于瞄準死界時，無法瞄準故而精度為0。針對目標被彈面積而言，可以根據(jù)不同類型的目標判斷其被彈面積[7-8]。

空襲武器的飛行高度、飛行速度、航路捷徑、飛行時間、機型大小、穿越次序一般無法直接用于模型，需要使用效用方法將這些數(shù)據(jù)歸一化后帶入模型，效用方法參見文獻[1]。

2.2 數(shù)據(jù)計算

2.2.1 比較判斷矩陣與模糊一致矩陣

使用歸一化方法可以直接將比較判斷矩陣轉化為模糊矩陣，然后對模糊矩陣進行修正可以得到模糊一致矩陣。由文獻[1]中層次分析法得到的比較判斷矩陣如表4、表5所示。

表4 準則層1對射擊有利度的比較判斷矩陣

表5 準則層2對射擊精度的比較判斷矩陣

其中C1表示射擊精度，C2表示有效射擊時間，C3表示穿越次序，C4表示被彈面積，D1表示目標高度，D2表示目標速度，D3表示航路捷徑，利用歸一化方法將比較判斷矩陣轉化為如表6、下頁表7所示的模糊矩陣。

表6 準則層1對射擊有利度的模糊矩陣

表7 準則層2對射擊精度的模糊矩陣

表8 準則層1對射擊有利度的模糊一致矩陣

表9 準則層2對射擊精度的模糊一致矩陣

2.2.2 計算射擊有利度

計算射擊有利度需要首先計算準則層相對于其目標的效用，即準則層對其目標的影響力度的大小，這里使用權重表示。使用ωi表示第i個因子的權重。比較判斷矩陣一般使用特征值法求解權重。而對于模糊一致矩陣，可以推導出其權重數(shù)值滿足：

其中rij表示模糊一致矩陣中的第i行第j列元素，a是一個調節(jié)因子，其范圍是（0，0.5]，其大小表示人們對各個影響因素差異性重視度的大小，本文將a的取值為0.5。求解可得兩種矩陣的權重如表10、表11所示。

表10 準則層1對射擊有利度的權重表

表11 準則層2對射擊精度的權重表

可以看出，雖然在數(shù)值上，兩種矩陣所得的權重數(shù)值不同，但是在整體的起伏上，其結果大致相似。

為了得到射擊有利度，首先從文獻[1]獲得空襲兵器的參數(shù)，如表12所示。

表12 6批不同空襲兵器的部分參數(shù)表

利用原文獻中的效用方法將這些數(shù)據(jù)做歸一化處理可得下頁表13所示。

將目標高度、目標速度和航路捷徑與其對應的權重相乘后求和可得到射擊精度的效用值，如表14所示。

使用同樣的方法對射擊精度、有效射擊時間、穿越次序和目標類型做處理可得出防空火炮對各個批次空襲兵器的射擊有利度，如表15所示。

可以看出，這兩種方法得出一致的排序，而且在具體的數(shù)值上差別不大。但是使用模糊一致矩陣在計算復雜度上減小了，同時在檢驗一致性和矩陣修正兩方面有了很大的簡化。

3 結論

模糊層次分析法針對傳統(tǒng)的層次分析法存在的計算復雜度高，一致性判斷概念相對模糊以及和人類的思維不符，比較判斷矩陣數(shù)據(jù)的限定缺乏依據(jù)，一致性調整復雜的問題給出了改進，本文一方面從理論上給出了模糊層次分析法的優(yōu)越性，另一方面使用實例，使用兩種方法生成數(shù)據(jù)并進行了對比，證實了模糊層次分析法取得了和層次分析法一致的結果。綜合這兩方面可知模糊層次分析法具有更好的實用性。

表13 6批不同空襲兵器的歸一化數(shù)據(jù)

表14 兩種不同方法得出的射擊精度效用值

表15 兩種不同方法得出的射擊有利度