一維離散映射的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目設(shè)計(jì)與實(shí)踐

熊梅　李順異　張大林

【摘 要】利用MATLAB軟件，對(duì)一維離散映射的參數(shù)分支進(jìn)行模擬，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明混沌對(duì)初值的敏感性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);倍周期;混沌

中圖分類號(hào)： O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）05-0220-003

1 背景簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以實(shí)際問(wèn)題為載體，把數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，以數(shù)學(xué)理論知識(shí)作為原理，以軟件編程、圖形演示和數(shù)值計(jì)算等為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以實(shí)際生活問(wèn)題和數(shù)學(xué)教材為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，以計(jì)算機(jī)作為工具，以分析建模、模擬仿真、軟件求解和總結(jié)推廣為主要實(shí)驗(yàn)方法。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，在教師引導(dǎo)下查閱文獻(xiàn)資料，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型與實(shí)踐，再運(yùn)用現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)專業(yè)軟件來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)推演和數(shù)值計(jì)算，以求出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)，借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）來(lái)分析解決實(shí)際問(wèn)題，并撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告或論文，使學(xué)生得到全面鍛煉，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探索精神、綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)。

“混沌”一詞出現(xiàn)在生活的各個(gè)領(lǐng)域，不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)、物理和生物等自然科學(xué)，而且出現(xiàn)在金融、經(jīng)濟(jì)和管理等社會(huì)科學(xué)，甚至出現(xiàn)在文學(xué)和藝術(shù)范疇：從宇宙起源到龍卷風(fēng)的產(chǎn)生，從金融危機(jī)到侏羅紀(jì)公園中恐龍的重現(xiàn)。本文從一個(gè)一維離散映射開(kāi)始，用MATLAB軟件進(jìn)行模擬研究，進(jìn)而討論了復(fù)雜而有趣的混沌現(xiàn)象.

2 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

（1）復(fù)習(xí)函數(shù)的迭代，差分方程，不動(dòng)點(diǎn)等基本知識(shí);Matlab編程實(shí)踐時(shí)間序列圖，蛛網(wǎng)迭代圖，參數(shù)分支圖等的作圖.

（2）使用數(shù)值迭代，蛛網(wǎng)迭代等方法來(lái)研究混沌的數(shù)值特征.

（3）了解渾沌的倍周期分叉，遍歷性和某些普適結(jié)構(gòu)，計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)結(jié)合在科學(xué)研究中的重要性.

（1）在區(qū)間[6，18]所劃分的各區(qū)域（I至V）內(nèi)自行選擇參數(shù)α的值，做出映射（1）迭代的時(shí)間序列圖和蛛網(wǎng)迭代圖，觀察并比較圖形特征.通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明混沌對(duì)初值的敏感性.

由分支圖（圖1）可知，從區(qū)域I到V，映射（1）經(jīng)歷了典型的倍周期到混沌過(guò)程.通過(guò)作出迭代映射的時(shí)間序列圖和蛛網(wǎng)迭代圖，表征典型的周期解和混沌現(xiàn)象.如圖2所示，分別取α=13，17作出圖形，其很好的表征了映射的周期性和混沌特性，回顧了”迭代映射”的基本知識(shí)，考查了迭代映射的時(shí)間序列圖和蛛網(wǎng)迭代圖形的基本作圖。

用數(shù)值試驗(yàn)說(shuō)明混沌對(duì)初值的敏感性，即初值相差非常小，經(jīng)過(guò)充分迭代之后結(jié)果相差也是非常大的.將對(duì)”混沌對(duì)初值的敏感性”轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值試驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐，令初值x0=0.1，另一初值X0=x0+10-6，? |x0-X0|=10-6.取α=17，作出由初值x0，X0所確定的時(shí)間序列圖和迭代絕對(duì)誤差圖.由圖3可知，迭代次數(shù)n≤25時(shí)，由初值x0，X0出發(fā)所確定的迭代結(jié)果非常接近，而當(dāng)?shù)螖?shù)n>25時(shí)，迭代結(jié)果（絕對(duì)誤差）相差就很大了.通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)，形象的說(shuō)明了混沌對(duì)初值的敏感性.

3.2 通過(guò)數(shù)值方法求取第一分叉值c1及第二分叉c2.

（1）利用Feigenbaum常數(shù)估計(jì)第三分叉值c3'.

（2）直接使用數(shù)值方法計(jì)算第三分叉值c3.

用估計(jì)方法和數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果有什么區(qū)別？

用數(shù)值方法計(jì)算分支值，要求學(xué)生給出分支點(diǎn)的估計(jì)值.如計(jì)算周期1周期2的分支值，可使用二分法，逐步搜索法等.在獲得第一和第二分叉值后，由Feigenbaum常數(shù)的定義

由（2）式可以給出第三分叉值的估計(jì)值.注意到Feigenbaum常數(shù)是取極限以后的結(jié)果，所以估計(jì)值c3'與數(shù)值計(jì)算直接得到的c3有較大差異，引導(dǎo)學(xué)生探討發(fā)生這種情形的根本原因.

3.3 作出映射（1）關(guān)于參數(shù)α在區(qū)間[6，40]上變化的參數(shù)分支圖，闡述分支圖的特征，比較它與Logistic映射分支圖形的異同.

由分支圖知道，映射（1）由倍周期分支到混沌，再經(jīng)歷周期窗口到混沌，中間又有倍周期分支到混沌.在每一個(gè)小的部分與整體是自相似的，迭代結(jié)果的范圍逐步增大，而Logistic映射只在α∈[0，4]上存在.

4 實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才

4.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)及其分類

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以實(shí)際問(wèn)題為載體，把數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，以數(shù)學(xué)理論知識(shí)作為原理，以軟件編程、圖形演示和數(shù)值計(jì)算等為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以實(shí)際生活問(wèn)題和數(shù)學(xué)教材為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，以計(jì)算機(jī)作為工具，以分析建模、模擬仿真、軟件求解和總結(jié)推廣為主要實(shí)驗(yàn)方法.強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，在教師引導(dǎo)下查閱文獻(xiàn)資料，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型與實(shí)踐，再運(yùn)用現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)專業(yè)軟件來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)推演和數(shù)值計(jì)算，以求出實(shí)驗(yàn)結(jié)果.用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)，借助適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）來(lái)分析解決一些實(shí)際問(wèn)題，并撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告或論文，使學(xué)生得到全面鍛煉，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探索精神、綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí).

圖3 時(shí)間序列圖和絕對(duì)誤差圖，其中α=17，x0=0.1，X0=x0+10-6.

圖4 映射（1）關(guān)于α∈[6，40]的分支圖

按其實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和性質(zhì)，?？煞譃橐韵铝鶄€(gè)層次的實(shí)驗(yàn)：（1）基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).此類實(shí)驗(yàn)的目的是要求學(xué)生掌握一些常用數(shù)學(xué)軟件包的基本命令，熟悉相關(guān)軟件的圖形繪制與數(shù)值計(jì)算等的基本技能.（2）驗(yàn)證性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).要求學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀測(cè)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)中的基本理論和經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，以增強(qiáng)其對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，并揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵.（3）研究性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).要求學(xué)生根據(jù)教師提出的實(shí)驗(yàn)課題設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)方案，運(yùn)用數(shù)學(xué)理論相關(guān)知識(shí)和數(shù)學(xué)技巧，尋求解決實(shí)際問(wèn)題的途徑，得出研究性結(jié)論.（4）應(yīng)用性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).要求學(xué)生結(jié)合實(shí)際生活問(wèn)題，如太陽(yáng)能房屋的造型設(shè)計(jì)、股市行情走勢(shì)分析、基金投資分配等，建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，從而指導(dǎo)實(shí)際問(wèn)題.（5）拓展性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).要求學(xué)生學(xué)會(huì)揭示數(shù)學(xué)理論之間的聯(lián)系并從中拓展發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，或拓展到其他相關(guān)領(lǐng)域（如運(yùn)籌與優(yōu)化、數(shù)值方法計(jì)算、分形與混沌等科學(xué)領(lǐng)域）.（6）綜合性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).[5]