基于多元表征的完全平方公式的教學探究

◎鄒丹

一、緣起

表征指用一物作為另一物的代表，或用一種信號代表一種事物。在心理學中對表征有兩方面的理解：一方面，表征是獨立于學習者的外部信息結(jié)構(gòu)形式；另一方面，表征是指反映外部信息的學習者的認知結(jié)構(gòu)。

從表征的視覺來說，數(shù)學中的“數(shù)”主要是指數(shù)學對象的語言表征，包括數(shù)學中的文字、數(shù)字、公式、數(shù)學定理等；相應的，數(shù)學中的“形”主要是指數(shù)學對象的視覺表征，包括數(shù)學中模型、圖像、圖形等。

從以往的教學中看，在學生平時的作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)以下4種錯誤：（1）漏掉中間項，如（a＋4）2＝a2＋16；（2）中間項漏乘2，如（2a－1）2＝4a2－2a＋1；（3）與平方差公式混淆，如（a－2）2＝a2－4；（4）系數(shù)不平方，如（2a＋1）2＝2a2＋4a＋1。分析學生發(fā)生錯誤的原因是他們只看到了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2的表面形式，并沒有真正掌握完全平方公式的本質(zhì)。因此，在教學中，應當加強對學生的引導，充分分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并通過合理的設置變式訓練，讓學生進一步領(lǐng)會完全平方公式的實質(zhì)，達到教學的預期目標。而基于多元表征的完全平方公式的教學就是要優(yōu)化教學內(nèi)容的信息結(jié)構(gòu)和教學設計，促進學習者對數(shù)學對象的理解。

二、教學策略分析

1.問題引入

從學生熟悉的代數(shù)運算角度，引導學生歸納出完全平方公式的代數(shù)解釋。

問題1：根據(jù)乘方的定義，我們知道：a2＝a·a，那么（a＋b）2應該寫成什么樣的形式呢？計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（p＋2）2＝（p＋2）（p＋2）＝

（3＋y）2＝（3＋y）（3＋y）＝

（a＋x）2＝（a＋x）（a＋x）＝

學生討論，教師歸納，得出結(jié)果：

（p＋2）2＝（p＋2）（p＋2）＝p2＋4p＋4

（3＋y）2＝（3＋y）（3＋y）＝9＋6y＋y2

（a＋x）2＝（a＋x）（a＋x）＝a2＋2ax＋x2

分析推廣：結(jié)果中有兩個數(shù)的平方和，而4p＝2·p·2，2ax＝2·a·x，6y＝2·3·y恰好是兩個數(shù)乘積的兩倍.

問題2：根據(jù)分析推廣計算（a＋b）2＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析結(jié)果，得到結(jié)論：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。

問題1問題2從多項式的乘法角度出發(fā)，讓學生從中發(fā)現(xiàn)完全平方和公式，并用符號表征闡述完全平方公式，在此，為了加深學生對公式的理解，教師繼續(xù)提出問題。

問題3：你能用自己的文字語言來表述這個公式嗎？（學生先行討論，教師總結(jié)斷后。）

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍.

即從語言表征的角度加深學生對公式的認識，同時給出以下相應的練習。

練習1：填空：

（m＋2）2＝（ ）2＋2（ ）（ ）＋（ ）2

（2m＋1）2＝（ ）2＋2（ ）（ ）＋（ ）2

讓學生從形式上再次明確完全平方和公式的內(nèi)容。

問題4：計算：（p－2）2＝（p－2）（p－2）＝

（a－x）2＝（a－x）（a－x）＝

學生討論，歸納得出結(jié)果寫出結(jié)論，并用文字語言闡述公式的內(nèi)容，即用符號表征和語言表征認識完全平方差公式。

（a－b）2＝a2－2ab＋b2。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍.

學生自己書寫，教師適時指導，再一次從模型表征的角度闡述完全平方公式，加深學生對公式代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解。

2.幾何分析

你能根據(jù)圖（1）和圖（2）的面積說明完全平方公式嗎？

圖（1）大正方形的邊長為（a＋b），面積就是（a＋b）2，同時，大正方形可以分成圖中①②③④四個部分，它們分別的面積為a2，ab，ab，b2，通過整體面積和部分面積比較可以得出（a＋b）2＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2。

圖（2）一方面可直接根據(jù)邊長a－b表示（a－b）2（即圖①的面積）；另一方面可根據(jù)邊長為a的大正方形面積減去兩個長、寬分別為a、b的兩個長方形的面積，同時補回一個邊長為b的小正方形的面積（即④的面積），可以得出（a－b）2＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2。

這樣可以借助圖形的直觀性，激發(fā)了學生的探究欲望，同時從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，讓學生領(lǐng)略了數(shù)形結(jié)合的美妙，即從圖形表征的角度，闡述完全平方公式。通過以上問題的設計，讓學生從不同的角度認識完全平方公式，從不同的表征闡述完全平方公式，從心理學的角度講就是從不同的角度去刺激學生的大腦來思考完全平方公式，從而加深學生對公式的認識，理解公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，從而避免學生只會死記硬背公式。

3.鞏固提升

例1.應用完全平方公式計算：

（1）（4m＋n）2（2）（x－2y）2（3）（－a－b）2

解：（1）（4m＋n）2＝16m2＋8mn＋n2

（2）（x－2y）2＝x2－4xy＋4y2

（3）（－a－b）2＝（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

教師先行板書第（1）題，給學生做好相應的示范，學生獨立完成，教師及時反饋。

變式訓練1：應用完全平方公式計算：

（1）（x－1）2（2）（2x＋3y）2（3）（－a＋b）2

評析：讓學生熟練完全平方公式的結(jié)構(gòu)和特點，能正確的運用公式計算，讓學生進一步理解完全平方公式，體會完全平方公式的直接性。同時可以讓學生理清完全平方公式中符號、位置、系數(shù)的變化，能靈活運用公式。

例2.下列各式的計算是否正確？如果不正確，應怎樣改正。

（1）（x＋y）2＝x2＋y2→x2＋2xy＋y2

（2）（a－b）2＝a2－b2→a2＋2ab＋b2

（3）（x－1）2＝x2－2x＋1

（4）（a＋2b）2＝a2＋2ab＋b2→a2＋4ab＋b2

（5）（3x－2）2＝9x2＋6x＋4→9x2－12x＋4

評析：再一次讓學生，從糾錯的角度闡述完全平方公式，進一步加深完全平方公式的理解，讓學生理清完全平方公式中符號、位置、系數(shù)的變化。分析典型錯誤，這樣學生在練習中能盡量避免這些錯誤。

通過實例的設置，讓學生從正向和逆向的角度理解完全平方公式，體會完全平方公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

例3.公式的拓展運用：

（1）（a＋b＋c）2（2）（x－2y）2（x＋2y）2

解答：

（1）（a＋b＋c）2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc

（2）(x－2y)2(x＋2y)2＝ [(x－2y)(x＋2y)]2＝（x2－4y2）2＝x4－8x2y2＋16y4

評析：靈活運用完全平方公式來解題，首先要牢記公式的結(jié)構(gòu)，再針對具體題目進行仔細分析，設法通過調(diào)整項的位置或添括號等變形技巧，把題目融于公式之中。第（1）題其含意可歸納為“幾個數(shù)和的平方，等于這幾個數(shù)的平方和再加上兩兩乘積的2倍”。第（2）題中如果先算平方，再相乘，顯然比較復雜，我們可以通過添加中括號，變成積的平方，然后先相乘，再平方。

通過實例的設置，讓學生更深刻的理解公式中a、b的涵義。隨著例題的層層推進，引導學生從本質(zhì)上理解a、b，這里的a、b可以是單獨的一個數(shù)字，一個字母，也可以是一個單項式，甚至是一個多項式，從而深刻認識到a、b的內(nèi)涵和公式的本質(zhì)，促進學生熟練、靈活地運用公式。

4.學以致用

（1）一塊方巾鋪在正方形的茶幾上，四周剛好都垂下15cm，如果設方巾的邊長為a，怎樣求茶幾的面積？結(jié)果怎樣用關(guān)于a的多項式表示？如果a＝100cm，茶幾的面積是多少cm2？

（2）用簡便的方法計算

①1022②1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655

（3）已知（a＋b）2＝11，ab＝1，求（a－b）2的值.

評析：讓學生進一步體會生活中蘊含的數(shù)學規(guī)律和數(shù)學思想、實際問題數(shù)學化。數(shù)學來源于生活，數(shù)學與生活的聯(lián)系是普遍存在的。另外，進一步提升學生觀察、分析、解決問題的能力，能靈活運用完全平方公式。

5.歸納小結(jié)

你能用幾種形式表述完全平方公式？再次讓學生從不同的表征闡述完全平方公式，理解其代數(shù)的結(jié)構(gòu)。

三、感悟與反思

公式的教學在數(shù)學中占有相當重要的地位，學生由于對公式的理解不透徹，經(jīng)常記錯公式，直接影響學生的數(shù)學學習。基于多元表征的完全平方公式的教學探究，就是要利用不同的表征形式讓學生理解完全平方公式。但并不是把完全平方公式的所有表征全部呈現(xiàn)給學生就能達到目的，而應該根據(jù)學生的認知水平，從簡單到復雜，循序漸進呈現(xiàn)完全平方公式的各種表征形式，讓學生從不同的角度理解完全平方公式，知道其代數(shù)結(jié)構(gòu)。本節(jié)課我遵循以上原則，從多項式乘法出發(fā)，引出完全平方公式，然后通過語言表征、符號表征、圖形表征、模型表征來闡述完全平方公式。在教學策略中，將公式的證明推導過程變成解決問題的過程，設計一系列有層次、前后銜接的梯度問題，使學生思維活動層層展開。在強化公式的過程中，從不同的角度，不同層次解釋知識之間的聯(lián)系，促進學習者對數(shù)學公式本質(zhì)和結(jié)構(gòu)的理解。

為此，在后續(xù)的教學過程中，教師應該注重從不同的角度闡述數(shù)學公式和數(shù)學定理，數(shù)學思想和方法，引導學生從不同的視角認識和看待數(shù)學公式和定理，數(shù)學思想和方法，從而強化對數(shù)學的理解，促進學生的數(shù)學學習。