多股簧非線性響應(yīng)模型及其影響研究

丁傳俊， 劉 寧， 張相炎

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 210094)

多股螺旋彈簧(簡稱多股簧，圖1)是由多股鋼絲擰成鋼索卷制而成的圓柱螺旋彈簧。和普通單股彈簧相比，多股簧抗沖擊性能好、吸振能力強、具有較大的剛度和非線性阻尼、壽命長，常被用作小口徑自動武器的緩沖復(fù)進簧[1]。

多股簧響應(yīng)模型是描述多股簧在靜、動態(tài)載荷下恢復(fù)力與變形量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。目前使用較多的響應(yīng)模型有雙折線模型[2]和基于現(xiàn)象模型的Bouc-Wen遲滯模型及其修正模型[3](簡稱BW模型)。雖然以上兩種模型可以較好地描述多股簧的響應(yīng)特性，但構(gòu)建模型時的測試速度都很低，并沒有考慮到自動武器發(fā)射過程中的高速、沖擊等特性，應(yīng)用于自動武器動力學(xué)計算時將會產(chǎn)生一定的誤差[4-5]。

圖1 多股簧Fig.1 A stranded wire helical spring

王時龍等[6-7]通過建立兩端并圈的多股簧有限元模型，研究了多股簧受沖擊時彈簧各質(zhì)點的運動形式，結(jié)論認為如果沖擊速度過大，彈簧簧圈會發(fā)生壓并現(xiàn)象；田波[8]測試了不同沖擊速度下多股簧的剛度和阻尼，發(fā)現(xiàn)高速沖擊時多股簧的阻尼系數(shù)是自由衰減時的6倍。雖然以上學(xué)者進行了多股簧的沖擊試驗，但是并沒有將多股簧沖擊試驗結(jié)果應(yīng)用于武器的緩沖復(fù)進計算。

本文根據(jù)多股簧靜態(tài)、低速動態(tài)和沖擊試驗的測試結(jié)果對多股簧靜態(tài)、低速動態(tài)恢復(fù)力模型進行了參數(shù)辨識，并提出了計及沖擊端速度的廣義修正歸一化Bouc-Wen遲滯模型(簡稱廣義BW模型)。通過建立火炮自動機發(fā)射動力學(xué)有限元模型，同時考慮內(nèi)彈道和導(dǎo)氣裝置的耦合過程并將以上三種彈簧模型應(yīng)用于自動機動力學(xué)仿真計算，本文驗證了當(dāng)前耦合計算模型、自動機有限元模型的準確性。通過對比三個多股簧響應(yīng)模型的計算結(jié)果，本文發(fā)現(xiàn)，雙折線模型的滯回耗能較大、彈簧恢復(fù)力較小，復(fù)進時自動機的傳動框不能及時復(fù)進到位；BW模型和廣義BW模型都能夠使自動機的傳動框復(fù)進到位，且廣義BW模型的理論射速高于BW模型。

1 多股簧非線性響應(yīng)模型及其試驗

1.1 雙折線模型

雙折線模型采用一組分段線性函數(shù)來描述多股簧的遲滯響應(yīng)。作為一種簡單遲滯模型，主要用于自動武器前期的概念設(shè)計。圖2為萬能拉壓試驗機所輸出的某撥彈板簧的恢復(fù)力曲線(加載速度為0.8 mm/s)。從圖中可以看出，當(dāng)軸向位移加載到一定程度時，由于簧絲之間發(fā)生了緊密接觸和摩擦，多股簧恢復(fù)力有明顯的擰緊點，且擰緊點前后彈簧的靜態(tài)剛度有一定差異；卸載時多股簧簧絲逐漸放松，卸載階段彈簧的放松點不太明顯，有些較為“松軟”的多股簧甚至沒有放松點。

雙折線模型的恢復(fù)力為：

圖2 多股簧的靜態(tài)響應(yīng)Fig.2 Measured static response of stranded wire helical spring

(1)

式中：F(x)、F0分別為多股簧的恢復(fù)力和預(yù)壓力，ca0、ca1、cb0、cb1分別彈簧各段的靜態(tài)剛度，xap、xbp分別為加載時的擰緊點和卸載時的放松點。

一般情況下自動武器中的多股簧其工作范圍都在加載擰緊點之上，所以彈簧的恢復(fù)力可以用擰緊點后的兩條直線來描述。雖然靜態(tài)試驗曲線形成了非對稱滯回曲線，但這種滯回曲線并不能用BW模型及其修正模型來描述，其原因是靜態(tài)試驗的加載速度為定值且存在加載和卸載時的突變。多股簧的雙折線模型可以采用最小二乘法求解，由于模型比較簡單，所獲得的參數(shù)有著較高的精度。

1.2 修正歸一化Bouc-Wen模型(BW模型)

Zhao等[3]提出使用修正歸一化BW模型來表示多股簧的力/位移響應(yīng)特性。該模型作為非線性微分模型將彈性元件的恢復(fù)力分解為彈性部分和純遲滯部分，并將遲滯量以微分方程解的形式給出。由于BW模型及其修正模型能夠同時描述多股簧的剛度和遲滯阻尼效應(yīng)，響應(yīng)曲線比較光滑，且在加載和卸載的各個區(qū)域內(nèi)都能很好地與試驗結(jié)果吻合，因此能以較高的精度反映出多股簧的非線性動態(tài)特性并獲得了廣泛的應(yīng)用。BW模型的表達式為：

(2)

式中：x(t)、t分別為位移和時間；FE和FA分別是恢復(fù)力的非線性彈性部分和非線性放大部分；kEi和kAi分別是非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子，N是多項式的階數(shù)，一般取2階或3階；ω(t)為純遲滯部分，對于任意的x(t)和t，都有|ω(t)|≤1；ρ、σ、n為控制純遲滯部分ω(t)曲線形狀的遲滯三參數(shù)。Ikhouane等[9]進一步指出歸一化BW模型只有在滿足ρ>0、σ≥0.5時才有物理意義，而且在實際應(yīng)用中，若n<1則會使微分方程的右端出現(xiàn)無限大的量，從而導(dǎo)致計算發(fā)散。

圖3即為使用動態(tài)疲勞試驗機測得的某撥彈板簧恢復(fù)力曲線。從圖中可以看出，動態(tài)情況下多股簧的響應(yīng)曲線也是非對稱滯回曲線；和靜態(tài)試驗結(jié)果相比，動態(tài)加載時彈簧的回彈力所有增加。需要指出的是使用動態(tài)試驗機測試多股簧的響應(yīng)時，儀器的加載速度和幅值都比較有限，例如當(dāng)前試驗條件下，試驗機的最大加載速度、幅值分別是214 mm/s，45 mm。

圖3 多股簧的動態(tài)響應(yīng)Fig.3 Measured dynamic response of stranded wire helical spring

多股簧的BW模型以及本文將要提出的廣義BW模型是一個多參數(shù)的非線性遲滯模型，對其參數(shù)辨識存在一定的難度，目前廣泛采用的辨識方法大體可以分為兩類：解析算法和迭代算法。其中常用的解析算法有三步法[3]、極限環(huán)法[9]等，這類方法大多數(shù)都要求在求解前對試驗數(shù)據(jù)進行平滑降噪和遲滯量分離處理，優(yōu)點在于求解速度快；迭代算法主要有濾波算法[10]、粒子云算法[11]、差分演化算法[12]等，這些算法一般不需要對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，求解參數(shù)數(shù)量不受限制，計算過程抗噪聲性能較強且參數(shù)辨識結(jié)果精度高，但求解過程比較耗時。圖3中的黑色實線即為本文使用自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法[13-14](AUKF)預(yù)測出的多股簧力/位移響應(yīng)。

1.3 廣義修正歸一化Bouc-Wen模型(廣義BW模型)

自動武器中的多股簧在使用時主要承受高速沖擊載荷，彈簧的變形速度很快。在這種變形速度下，由于彈簧自身有質(zhì)量和慣性，其內(nèi)部各質(zhì)點的運動速度沿軸向不再是線性分布，而是以縱波的形式向固定端傳遞并在固定端反射[7]。由于以上兩個模型不能反映多股簧在自動武器中的實際工作狀態(tài)，因此本文提出計及沖擊端速度的廣義BW模型。廣義BW模型不再將彈性部分和非線性放大因子中的系數(shù)當(dāng)做定值，而視其為沖擊端速度v的二階或者三階函數(shù)。一般情況下，通過三到四次不同沖擊速度的測量即可確定模型中的參數(shù)。廣義BW模型的表達式為：

(3)

式中：kEi(v)和kAi(v)分別是計及沖擊端速度的非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子。圖4(a)即為重慶大學(xué)多股簧課題組[7]研制的沖擊試驗裝置，其中A為沖擊試驗所用的高壓氣源，B為沖擊結(jié)構(gòu)主體(包括多股簧固定裝置、沖擊體和閥門等)，C為測量簧圈運動情況所用的光電傳感器。圖4(b)為當(dāng)沖擊體速度為17.65 m/s時某復(fù)進裝置多股簧的沖擊響應(yīng)情況。從圖中可以看出，沖擊時多股簧剛度的非線性特性更為明顯，當(dāng)壓縮變形量為0.4 m時彈簧的恢復(fù)力約為靜態(tài)測試情況下的1.5倍。圖4(b)中的黑色曲線即為本文使用反向差分演化算法[15](ODE)預(yù)測出的多股簧的力/位移響應(yīng)。

(a) 多股簧沖擊試驗裝置

(b) 實測的多股簧響應(yīng)圖4 多股簧的沖擊試驗Fig.4 Dynamic Impact of stranded wire helical spring

2 火炮自動機動力學(xué)模型

為考察三種不同彈簧恢復(fù)力模型對自動機運動性能的影響，本文通過分析身管和導(dǎo)氣裝置之間存在的變質(zhì)量熱力學(xué)過程，建立了內(nèi)彈道耦合導(dǎo)氣裝置的變質(zhì)量熱力學(xué)計算模型，并將計算方程編制成子程序作為邊界添加到自動機動力學(xué)仿真之中。

2.1 自動機運動原理

本文研究的自動炮為某23 mm導(dǎo)氣式航空自動炮，除首發(fā)裝填需高壓氣瓶外，自動機的動力源均為導(dǎo)氣裝置內(nèi)的氣體壓力。發(fā)射藥被點燃后，彈丸在火藥燃氣壓力的作用下擠進膛線并加速向前運動。當(dāng)彈丸經(jīng)過導(dǎo)氣孔時，部分燃氣由導(dǎo)氣孔流入導(dǎo)氣室，由于內(nèi)彈道起始階段膛內(nèi)氣壓比氣室氣壓高出很多，導(dǎo)氣孔處出現(xiàn)臨界流動，此時氣室壓力逐漸升高并推動傳動框加速向后運動；傳動框向后運動的同時，帶動撥彈板操縱器及其相關(guān)機構(gòu)、加速臂及其相關(guān)機構(gòu)并最終完成開閂、抽殼、撥彈等動作。隨著膛內(nèi)壓力下降和傳動框運動導(dǎo)致氣室容積增大，氣室壓力達到峰值后開始下降。當(dāng)傳動框上的活塞越過導(dǎo)氣室排氣孔時，導(dǎo)氣室不再提供動力、傳動框進入慣性后坐階段，傳動框在復(fù)進簧和撥彈板簧的共同作用下逐漸減速，并以一定的速度撞擊緩沖器。撞擊后傳動框和緩沖器一起后坐一定距離，然后在彈簧恢復(fù)力和緩沖器推力的作用下加速復(fù)進。復(fù)進時推彈臂在加速臂和加速座的作用下，加速推彈入膛，當(dāng)復(fù)進到一定位置時，傳動框提起炮閂，于此同時自動扣機扣住炮閂上的撞擊筒。最后傳動框以一定的余速撞擊反跳鎖，當(dāng)剩余的能量被消耗后，傳動框被反跳鎖鎖死并停留在最前位置，至此一個射擊循環(huán)完成。

2.2 自動機有限元模型建模

進行火炮自動機有限元建模時必須對模型進行簡化。對于那些剛度大、變形小且對自動機運動影響較小的部件可以當(dāng)做剛體或者直接將其從計算模型中刪去。炮箱作為一個比較復(fù)雜的部件，其內(nèi)部有許多碰撞接觸表面，在建模時需要精確處理；由于本文主要關(guān)注自動機運動情況，因此只建立藥筒模型，并將膛底壓力施加在藥筒內(nèi)部；推彈臂和加速臂之間、加速臂和傳動框之間采用旋轉(zhuǎn)鉸單元建立鉸接運動關(guān)系，并在這些單元上施加小質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量以平衡計算；為了減少計算成本，將炮箱和加速座設(shè)定為剛體并將其固定在計算區(qū)域中；為了方便彈簧恢復(fù)力的施加，分別建立撥彈板簧和復(fù)進簧的施力耦合面，并將這些面耦合到彈簧力的施力點上。最終的計算模型共含有13個部件、409 108個實體單元，如下圖所示(隱藏炮箱和身管)。

2.3 導(dǎo)氣室內(nèi)火藥氣體壓力計算和載荷施加

由于導(dǎo)氣室內(nèi)的氣體壓力變化規(guī)律與自動機傳動框的往復(fù)運動有關(guān)，因此在計算導(dǎo)氣室壓力時需將傳動框的運動和導(dǎo)氣裝置氣流參數(shù)的變化規(guī)律耦合起來計算。

圖5 簡化的自動機計算模型Fig.5 Simplified computation model of automatic mechanism

以下為當(dāng)前變質(zhì)量熱力學(xué)計算模型的基本假設(shè)：

(1) 內(nèi)彈道采用經(jīng)典內(nèi)彈道模型求解，并將后效期膛內(nèi)氣流當(dāng)作準定常流處理；

(2) 不考慮導(dǎo)氣裝置內(nèi)氣流參數(shù)的分布，將氣室內(nèi)氣體壓力、密度、溫度取平均參數(shù)；

(3) 氣室與活塞之間的間隙漏氣作臨界流動處理；

(4) 忽略氣體在管道以及間隙中的橫向流動效應(yīng)；

(5) 流動中的氣體為完全氣體，不計質(zhì)量力。

導(dǎo)氣式自動武器變質(zhì)量熱力學(xué)計算模型包括內(nèi)彈道模型、導(dǎo)氣裝置模型和導(dǎo)氣孔流量(耦合)方程。詳細的內(nèi)彈道方程和導(dǎo)氣孔流量方程可以參考相關(guān)文獻。由于耦合模型中的傳動框速度vh、位移xh可以通過ABAQUS的傳感器接口向外輸出，因此導(dǎo)氣室氣體參數(shù)方程不需要求解傳動框的運動參數(shù)，于是簡化后的導(dǎo)氣裝置動力學(xué)模型如下：

(4)

式中：ρq、pq、Tq分別為導(dǎo)氣室內(nèi)的氣體密度、壓力和溫度；qmb、qmq、Vq0、Sh分別為流入導(dǎo)氣室氣體流量、導(dǎo)氣室間隙的泄漏量、導(dǎo)氣室初始容積、活塞的橫截面積；γ、Q、R、ei、eq分別為絕熱指數(shù)、導(dǎo)氣室氣體對外散熱量、火藥氣體常數(shù)、導(dǎo)氣室流入和流出單位質(zhì)量氣體所具有的能量。

計算時將內(nèi)彈道程序輸出的膛底壓力施加在彈殼內(nèi)部表面上，結(jié)合導(dǎo)氣孔處的膛內(nèi)火藥氣體壓力和密度，將計算得到的導(dǎo)氣室壓力施加在活塞頭端面上。至于復(fù)進簧和撥彈板簧的彈簧力，則需要在VUAMP子程序內(nèi)部調(diào)用傳動框的位移和速度信息、計算微分方程并將彈簧力施加在相應(yīng)的耦合節(jié)點上；除了9.8 N/m2的重力場之外，以上所施加載荷均使用ABAQUS的VUAMP子程序進行施加，效果如圖6(b)所示；模型中的其他載荷(如推彈臂推彈阻力、撥彈齒的彈鏈阻力)均采用常值的方式簡化處理。在有限元模型中設(shè)定計算時間為0.05 s，計算終止條件為傳動框撞擊反跳鎖后反彈速度為小于10-7m/s。

(a) 傳動框和多股簧的相對位置

3 模型驗證及計算結(jié)果分析

3.1 模型驗證

由于廣義BW模型輸出的恢復(fù)力比較符合實際，因此本文首先使用廣義BW模型來驗證當(dāng)前自動機計算模型的準確性。由ABAQUS子程序輸出的內(nèi)彈道壓力、導(dǎo)氣室壓力和彈丸出膛速度分別如圖7和圖8所示，最大膛內(nèi)壓力、最大導(dǎo)氣室壓力、彈丸出膛速度分別均為326.0 MPa、40.27 MPa、695.2 m/s，和文獻[16]給出的結(jié)果分別相差了-0.5%、+2.7%、-1.4%，這說明本文所建立的內(nèi)彈道/導(dǎo)氣裝置耦合計算模型是準確的。

當(dāng)彈丸越過導(dǎo)氣孔時(1.179 ms)時，膛內(nèi)氣壓很大，導(dǎo)氣孔處出現(xiàn)正向臨界流動、導(dǎo)氣室開始充氣；2.2ms時彈丸飛離炮口、內(nèi)彈道時期結(jié)束，膛內(nèi)氣體開始迅速排空，但此時的膛內(nèi)壓力依然高于導(dǎo)氣室壓力，導(dǎo)氣孔處為正向亞臨界流動；2.5 ms時導(dǎo)氣室壓力開始高于導(dǎo)氣孔處的膛內(nèi)壓力，導(dǎo)氣孔處出現(xiàn)火藥燃氣的反向流動；隨著導(dǎo)氣室內(nèi)的氣體不斷流入膛內(nèi)和導(dǎo)氣室空間的不斷增大，導(dǎo)氣室壓力逐漸降低；7.87 ms時活塞越過導(dǎo)氣室泄氣孔，導(dǎo)氣室壓力降為一個大氣壓，至此傳動框開始進入無動力慣性后坐階段。

圖8 廣義BW模型的彈丸速度和位移Fig.8 Displacement and velocity of Generalized BW model

傳動框的速度曲線如圖9所示，在導(dǎo)氣室壓力的作用下，傳動框的速度不斷增大，并在加速臂撞擊加速座前達到了最大值16.58 m/s。加速臂撞擊加速座時，加速臂相對于傳動框旋轉(zhuǎn)的同時，還要后坐并帶動推彈臂加速抽殼、拋殼，因此導(dǎo)致傳動框的速度有一定的衰減；加速臂和加速座分離后不久，傳動框便以10.17 m/s的速度撞擊緩沖器，并在彈簧力和緩沖器反力的作用下速度降為0；傳動框后坐大約12 mm后開始反彈復(fù)進，經(jīng)過短暫的復(fù)進加速后其復(fù)進速度達到了最大值8.38 m/s；當(dāng)其上的加速臂再次和加速座相撞使得推彈臂得以加速推彈入膛后，傳動框速度降到6.4 m/s左右。和加速座脫離接觸后傳動框的速度繼續(xù)增大，在驅(qū)動其他機構(gòu)和摩擦等消耗的作用下，傳動框最終以4 m/s左右的余速撞擊反跳鎖，并被反跳鎖消耗掉剩余的能量而停留在最初的位置上。當(dāng)前有限元模型所輸出的傳動框最大后坐速度較文獻[17]給出的結(jié)果增大5.6%；該炮的理論速射不低于1 200 r/min[16]，使用當(dāng)前模型獲得的單次射擊循環(huán)時間(已包含扣機打火、彈丸啟動等時間)為48.243 1 ms，理論速射為1 243.7 r/min。綜上所述，可以認為當(dāng)前所建立的導(dǎo)氣式自動機動力學(xué)模型是準確的。

圖9 廣義BW模型的傳動框速度Fig.9 Drive box speed of of Generalized BW model

3.2 不同多股簧響應(yīng)模型對自動機運動性能的影響

三種彈簧響應(yīng)模型所輸出的撥彈板簧恢復(fù)力曲線如圖10所示。通過對比可以看出，雙折線模型的滯回曲線包絡(luò)面積最大，其線性的加載和卸載關(guān)系所產(chǎn)生的恢復(fù)力均小于BW模型和廣義BW模型，出現(xiàn)這種情況的原因在于靜態(tài)模型的加載速度太小，使得多股簧簧絲有足夠的時間擰緊和放松，從而導(dǎo)致多股簧耗能區(qū)間過大、彈簧恢復(fù)力較低，因此不足以體現(xiàn)多股簧的非線性漸硬特性；傳動框后坐到0.08 m之前，BW模型的恢復(fù)力和雙折線模型的恢復(fù)力基本相等，而在此之后多股簧表現(xiàn)出了非線性剛度，響應(yīng)曲線開始上翹；計及沖擊端速度的廣義BW模型由于考慮了沖擊時簧圈的慣性效應(yīng)，彈簧的恢復(fù)力分別是BW模型和雙折線模型的1.336倍、1.42倍(后坐位移0.16 m時)，同時彈簧的滯回耗能也較BW模型有所增加。

圖10 撥彈板簧恢復(fù)力的對比Fig.10 Comparison curves of feeding slide spring force

三個模型的傳動框速度和位移曲線如圖11(a)、(b)所示。從圖中可以看出，由于廣義BW模型計算出來的彈簧恢復(fù)力大大超過了其他兩個模型，因此在復(fù)進后期傳動框復(fù)進的動力比較充足、復(fù)進速度較大，能夠及時地使傳動框復(fù)進到位，比如0.04 s時，廣義BW模型中傳動框的速度是BW模型的1.144倍；而雙折線模型由于遲滯耗能過大、輸出的恢復(fù)力過小，導(dǎo)致傳動框復(fù)進速度過低，在距離前位17 mm處，傳動框開始緩慢“爬行”。由于在規(guī)定計算時間內(nèi)不能使傳動框復(fù)進到位，因而雙折線模型無法完成一個射擊循環(huán)。

三種響應(yīng)模型的傳動框最大后坐速度、位移、單次射擊循環(huán)耗時和理論射速(理論射速中包含了扣機平均打火時間)如表1所示。由于輸出的恢復(fù)力高于其他兩個模型，廣義BW模型的傳動框最大后坐速度和位移均小于其他兩個模型，但由于復(fù)進動力較為充足，所以理論射速高于BW模型。文獻[16]認為該武器的理論射速處于1 200～1 350 r/min之間，因此BW模型和廣義BW模型的計算結(jié)果都比雙折線模型更切合實際。

(a) 傳動框的速度

(b) 傳動框的位移圖11 三種響應(yīng)模型的傳動框速度和位移

Fig.11 Drive box speed and displacement curves of three spring response models

表1傳動框運動特性和火炮理論射速比較

Tab.1Comparisonofmotioncharacteristicsandtheoreticalshootingrateofdrivebox

多股簧響應(yīng)模型最大后坐速度/(m·s-1)最大后坐位移/m單次射擊循環(huán)耗時/s理論射速/(r·min-1)雙折線模型16.8650.161 4無無BW模型16.7650.162 120.048 392 11 239.87廣義BW模型16.5820.160 310. 048 243 11 243.70

4 結(jié) 論

(1) 本文建立了考慮身管和導(dǎo)氣裝置耦合過程的火炮自動機有限元模型并將三種多股簧響應(yīng)模型代入計算。通過分析計算結(jié)果并對比相關(guān)文獻數(shù)據(jù)，證明當(dāng)前所建立的內(nèi)彈道耦合導(dǎo)氣室計算模型、自動機仿真模型是準確的。

(2) 基于靜態(tài)試驗的雙折線模型由于滯回耗能過大、彈簧恢復(fù)力較小，導(dǎo)致傳動框復(fù)進時動力不足、速度較低，不能有效地使傳動框復(fù)進到預(yù)定位置，這說明裝備設(shè)計前期所使用的雙折線模型并不適用于后期的自動機動力學(xué)計算。

(3) 廣義BW模型的滯回耗能雖然大于BW模型，但相同后坐位移情況下廣義BW模型的恢復(fù)力是BW模型的1.336倍，復(fù)進速度是BW模型的1.144倍，此時傳動框復(fù)進動力充足，因此廣義BW模型的理論射速高于BW模型。