GM(1,1)模型的改進(jìn)現(xiàn)狀及應(yīng)用

陳鵬宇，鄧宏偉

（內(nèi)江師范學(xué)院 地理與資源科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論由我國(guó)學(xué)者鄧聚龍?zhí)岢?，?jīng)過(guò)不斷的完善和發(fā)展已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1，2]。GM(1,1)模型作為灰色理論中最基本的預(yù)測(cè)模型，其建模原理簡(jiǎn)單，易于操作。但是，傳統(tǒng)GM(1,1)模型在建模原理上存在固有缺陷，使其不具備白指數(shù)率預(yù)測(cè)無(wú)偏性[3]。正是由于該缺陷的存在，為GM(1,1)模型的改進(jìn)留下了大量空間，從而涌現(xiàn)出了各式各樣的改進(jìn)算法。如果避開(kāi)所謂“灰色”、“累加”等概念，從本質(zhì)上講，GM(1,1)模型屬于指數(shù)函數(shù)的一種建模方法，而各式各樣的改進(jìn)算法無(wú)非是尋求一個(gè)最佳逼近結(jié)果或者最佳擬合函數(shù)。目前，GM(1,1)模型的改進(jìn)算法繁多，各類(lèi)改進(jìn)算法的思路各不相同，建模的難易程度有所差異。為此，本文對(duì)GM(1,1)模型的改進(jìn)現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié)，對(duì)比分析了各類(lèi)改進(jìn)算法的優(yōu)缺點(diǎn)，最后給出了GM(1,1)模型改進(jìn)算法的應(yīng)用建議。

1 GM（1，1）模型的建模原理和缺陷分析

令x(0)為GM(1,1)模型的建模原始序列：

其一次累加序列為：

定義：

為GM(1,1)模型的灰微分方程，即GM(1,1)模型的定義型。式中，a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，

以最小二乘法確定參數(shù)：

式中：

GM(1,1)模型的白化方程為：

GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)式為：

還原值為：

從GM(1,1)模型的擬合公式（8）可見(jiàn)其適合于近似齊次指數(shù)序列的建模分析。但是GM(1,1)模型不具備白指數(shù)率預(yù)測(cè)無(wú)偏性，這是由其固有缺陷導(dǎo)致的，具體而言就是白化方程與灰微分方程的不匹配問(wèn)題，已經(jīng)有許多學(xué)者從不同的視角對(duì)其進(jìn)行分析，具體可見(jiàn)文獻(xiàn)[4] 中的總結(jié)分析，本文不在復(fù)述。除此以外，初始條件的選擇也常被認(rèn)為是GM(1,1)模型一個(gè)缺陷，表現(xiàn)在兩個(gè)方面，其一是對(duì)累加數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)（7）默認(rèn)經(jīng)過(guò)了初始點(diǎn)，與最小二乘擬合思想不符[5]；其二是一次累加算法使得還原函數(shù)（8）對(duì)初始值不存在擬合效果[4]，所以只能默認(rèn)其等于初始值，這是不合理的。

2 GM（1，1）模型的改進(jìn)現(xiàn)狀

GM(1,1)模型的固有缺陷主要是指白化方程與灰微分方程的不匹配問(wèn)題及初始條件的選擇問(wèn)題。相對(duì)而言，初始條件對(duì)擬合精度的影響一般不及前者，其改進(jìn)方法也多是添加一個(gè)初始值修正項(xiàng)或以最小二乘原理求解最優(yōu)初值[5，6]，本文不再詳述。針對(duì)白化方程與灰微分方程的不匹配問(wèn)題，可以采用多種修正方法，主要總結(jié)為背景值構(gòu)造的改進(jìn)、白化方程參數(shù)重構(gòu)、灰微分方程建模（離散GM(1,1)模型），直接求解參數(shù)法。

2.1 背景值構(gòu)造的改進(jìn)

2.2 白化方程參數(shù)重構(gòu)

背景值或灰導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)目的都是為了使灰微分方程與白化方程相匹配，當(dāng)然也可以通過(guò)重構(gòu)白化方程使其與灰微分方程相匹配，具體可通過(guò)重構(gòu)白化方程的參數(shù)實(shí)現(xiàn)，重構(gòu)依據(jù)同背景值的重構(gòu)相似，即假設(shè)原始數(shù)據(jù)為離散指數(shù)序列。文獻(xiàn)[3] 給出了重構(gòu)后的白化方程及參數(shù)表達(dá)式如下：

上述改進(jìn)方法同樣可使GM(1,1)模型滿足白指數(shù)率預(yù)測(cè)無(wú)偏性，但是相對(duì)于背景值重構(gòu)方法，該方法僅在原有建模步驟的基礎(chǔ)上，增加了參數(shù)轉(zhuǎn)換步驟，避免了復(fù)雜的改進(jìn)算法。

2.3 灰微分方程建模

所謂灰微分方程建模即是以灰微分方程為基礎(chǔ)建立模型，而不再考慮白化方程，從而不再存在灰微分方程與白化方程不匹配的問(wèn)題?；椅⒎址匠蹋?）可寫(xiě)為：

將上式還原即可得到擬合預(yù)測(cè)值?；椅⒎址匠探＃x散GM(1,1)模型）同樣可以滿足白指數(shù)率預(yù)測(cè)無(wú)偏性。

2.4 直接求解參數(shù)法

GM(1,1)模型實(shí)際上就是一種齊次指數(shù)函數(shù)擬合方法，但是由于其存在固有缺陷而無(wú)法擬合純指數(shù)序列，魏勇等[16]認(rèn)識(shí)到了上述問(wèn)題，建立了不涉及灰微分方程、白化方程概念，基于最小二乘法原理直接求解指數(shù)函數(shù)參數(shù)的方法，通過(guò)此方法建立的新模型不僅從理論上可保證是在滿足給定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為模擬絕對(duì)誤差平方和最小、給定精度條件下的最優(yōu)化模型，從而結(jié)束了灰色模型只有更優(yōu)，沒(méi)有最優(yōu)的歷史。但是，該方法需要通過(guò)編制計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)，求解難度高于其他改進(jìn)方法。

式（11）成為離散GM(1,1)模型[14，15]，其遞推函數(shù)形式為：

3 應(yīng)用建議

總結(jié)上述GM(1,1)模型的改進(jìn)方法，以直接求解參數(shù)法的擬合效果最佳，但需要借助計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，求解難度也是最大的。背景值構(gòu)造的改進(jìn)方法中，數(shù)值積分方法建立的背景值與加權(quán)背景值相比，表達(dá)式更為復(fù)雜，且需要借助插值公式，求解難度較大。加權(quán)背景值表達(dá)式簡(jiǎn)單易懂，但求解最優(yōu)權(quán)重需要采用迭代或搜索算法求解權(quán)重，具有一定的計(jì)算難度。離散GM(1,1)模型與傳統(tǒng)GM(1,1)模型建模難度相當(dāng)，只是離散GM(1,1)模型求解的參數(shù)是β1和β2。白化方程參數(shù)重構(gòu)只是在傳統(tǒng)GM(1,1)模型基礎(chǔ)上增加了參數(shù)轉(zhuǎn)換步驟，并未增加傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模難度。

以文獻(xiàn)[17] 提供的我國(guó)人均能源消耗量數(shù)據(jù)作為研究樣本，對(duì)上述四種改進(jìn)方法進(jìn)行對(duì)比分析。其中，背景值改進(jìn)方法以Newton-Cores公式[9]為例。由于GM(1,1)模型對(duì)初始值不具備擬合效果[4]，為了合理的對(duì)比分析，在采用直接求解參數(shù)法時(shí)，擬合數(shù)據(jù)中排除初始值。以1998—2004年的數(shù)據(jù)建模，預(yù)測(cè)2005—2007年的數(shù)據(jù)，擬合和預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)下頁(yè)表1所示。

擬合精度的提高一直都作為評(píng)價(jià)GM(1,1)模型改進(jìn)效果的依據(jù)，從最小二乘擬合原理出發(fā)，無(wú)論如何改進(jìn)背景值構(gòu)造都達(dá)不到直接求解參數(shù)法的擬合效果[18，19]，所以與其采用繁瑣的背景值構(gòu)造方法，還不如采用直接求解參數(shù)法，雖然參數(shù)求解較為復(fù)雜，卻是最佳逼近結(jié)果。表2中的結(jié)果也驗(yàn)證了上述觀點(diǎn)，從表2中可以看出，不論是以誤差平方和還是以平均相對(duì)誤差作為精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，直接求解參數(shù)法都是效果最佳的改進(jìn)方法。其余三種方法均能在一定程度上提高擬合預(yù)測(cè)精度，僅背景值構(gòu)造改進(jìn)（Newton-Cores公式）方法并未降低擬合值的誤差平方和。由于許多背景值構(gòu)造改進(jìn)方法建模比較復(fù)雜，本文不推薦采用此種方法。白化方程參數(shù)重構(gòu)、離散GM(1,1)模型所得結(jié)果均不是最佳逼近結(jié)果，就本文實(shí)例來(lái)看，白化方程參數(shù)法重構(gòu)對(duì)擬合預(yù)測(cè)精度的提高更為明顯，更接近于直接求解參數(shù)法的效果。加之白化方程參數(shù)重構(gòu)的建模原理簡(jiǎn)單，本文推薦采用此方法。離散GM(1,1)模型建模原理相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)于近似齊次指數(shù)序列建?？梢缘玫捷^好的擬合效果，實(shí)際應(yīng)用中也可以考慮采用這種方法。

表1 我國(guó)人均能源消耗量擬合預(yù)測(cè)結(jié)果 （千克標(biāo)準(zhǔn)煤）

表2 我國(guó)人均能源消耗量擬合預(yù)測(cè)精度比較

4 結(jié)論

GM(1,1)模型是目前最常用的灰色預(yù)測(cè)模型。本文在大量已有相關(guān)研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上從背景值構(gòu)造的改進(jìn)、白化方程參數(shù)重構(gòu)、灰微分方程建模（離散GM(1,1)模型），直接求解參數(shù)法四個(gè)方面對(duì)當(dāng)前GM(1,1)模型的改進(jìn)現(xiàn)狀進(jìn)行了分析和總結(jié)。對(duì)比四種改進(jìn)方法的建模難度和擬合精度，可見(jiàn)直接求解參數(shù)法擬合效果最優(yōu)，但是建模難度最大；背景值構(gòu)造改進(jìn)方法大多較為復(fù)雜；白化方程參數(shù)重構(gòu)、離散GM(1,1)模型建模相對(duì)簡(jiǎn)單，實(shí)例分析結(jié)果顯示白化方程參數(shù)重構(gòu)法與直接求解參數(shù)法擬合效果十分接近。因此，本文推薦采用白化方程參數(shù)重構(gòu)法。