《玩轉(zhuǎn)面積》教學實錄

孟曉超

【教學內(nèi)容】

浙教版《數(shù)學》配套用書《學數(shù)學，長智慧》四年級上冊第32頁。

【教學過程】

一、開門見山，激活學習經(jīng)驗

師：同學們，“玩”不僅能帶來快樂，也常常蘊含著新的發(fā)現(xiàn)。今天我們就和修路隊一起來“玩轉(zhuǎn)面積”。

（出示：邊長為65米的正方形草地）

師：這是一個？

生：邊長為65米的正方形。

師：看到這個圖形，你能提出什么數(shù)學問題？

生：正方形的面積是多少？

師：算好了嗎？我請一位同學來說一說。

生：正方形的面積＝邊長×邊長，所以這個正方形的面積就是65×65＝4225（平方米）。

二、設(shè)計道路，多式探討面積

1.設(shè)計道路，分類呈現(xiàn)。

師：請在正方形草地里設(shè)計兩條長65米、寬5米的道路。你打算怎么設(shè)計？把你的設(shè)計畫在《學習單》上。

師：請看屏幕（下圖），有和他們畫得一樣的嗎？

師：這些圖有什么共同之處？

生：這幾幅圖畫的道路都是相互平行的。

師：你用到了我們學習的直線的位置關(guān)系來解釋，很會思考。

師：也有一些同學是這樣畫的，我們一起來看一下。

師：這幾幅圖上兩條道路的位置關(guān)系你們看出來了嗎？

生：相互垂直！

師：你們覺得哪一幅最特別？

生：我認為垂足在正方形正中間的最特別。

師：老師選出以下三幅設(shè)計圖。你能想到哪些數(shù)學問題？

生：道路的面積是多少？

生：剩余部分草地的面積是多少？

師：同學們都很會開動腦筋。其實這兩個問題聯(lián)系密切，今天這節(jié)課，我們選個難一點的問題，就圍繞剩余部分的草地面積來展開。

2.研究面積，交流優(yōu)化。

師：你能夠獨立解決哪幾幅圖中剩余草地的面積？請你在《學習單》上列式計算。

師：（指著圖①）哪些同學求出了這幅圖剩余草地的面積？你是如何思考的？

生：可以先求出大正方形的面積是65×65＝4225（平方米），再求出兩條道路的面積是65×5×2＝650（平方米），大正方形的面積減去兩條道路的面積就得到了剩余圖形的面積，就是3575（平方米）。

［根據(jù)學生回答補充板書：65×65－65×5×2＝3575（平方米）］

師：（指著圖②）有計算這幅圖剩余部分面積的嗎？

（教師拍照上傳學生的算法）

師：同一幅圖，我們班有這么多種方法，真厲害！請這幾位同學來說說他們的想法。

●方法一：突破重疊難點。

生：65×65－65×5×2＋5×5＝3600（平方米）。我的想法是這樣的，這幅圖和前一幅圖相比，它多了一塊兩條道路重疊的部分，這個重疊的部分正好是一個邊長為5米的小正方形，所以在大正方形的面積減去兩條道路的面積的基礎(chǔ)上，再加上這一塊小正方形的面積，也就是加上5×5，算出答案就是3600平方米。

師：大家聽懂了嗎？有沒有什么問題？

生：為什么要加上一塊小正方形的面積，而不是減去呢？

生：因為大正方形的面積減去一條道路的面積，再減去一條道路的面積，這塊小正方形的面積被重復減了兩次，所以要再加回一次才可以。

師：解釋的很詳細，還聯(lián)系到了我們的第一幅圖，將兩幅圖放在一起對比，第一種修路的方法要將兩條道路的面積完整減去。第二種修路的方法——

生：可以少減一次重疊部分的面積。

●方法二：分塊觀察圖形。

生：（65－5）÷2＝30（米），30×30×4＝3600（平方米）。我是這樣想的，垂足在中間，那么剩下的這四個小正方形就是一樣大的，它們的邊長都是（65－5）÷2＝30（米），可以求出一個小正方形的面積是30×30＝900（平方米），有這樣的四個正方形，所以再乘4，等于3600平方米。

師：他觀察到了這個大正方形被道路分割后剩下的是四個一樣大小的小正方形，只要求出其中一個小正方形的面積，那么就可以求出剩余部分的面積了。他很會利用圖形的特點，掌聲送給他。

●方法三：分塊組合圖形。

師：我們繼續(xù)看下一種，這位同學的算式好像和前面那位同學很相似，可是兩個人的做法真的一樣嗎？我們請他來說一說。

生：（65－5）÷2＝30（米），（30＋30）×（30＋30）＝60×60＝3600（平方米）。我前面一步的做法和前面那位同學是一樣的，因為小正方形的邊長是30米，那么我們就可以把它們給拼起來變成一個大正方形，那么大正方形的邊長就是30＋30＝60（米），面積就是 3600平方米。

師：大家聽懂了嗎？有沒有什么問題？

師：他用到了什么方法？

生：他將四個小正方形拼成了一個大正方形。

●方法四：平移轉(zhuǎn)化圖形。

師：最后一種方法的算式好像尤其簡單 60×60＝3600（平方米）。你們能看懂他的方法嗎？我們請他來講一講。

生：我是通過平移的方法。

師：你可以到黑板上去移一移，邊移邊和同學們講你是怎么思考的。

生：我認為移動不會改變圖形的面積。所以橫的這個長方形可以平移到最下面，豎的這個長方形可以平移到最右邊。剩余部分的面積就是一個正方形的面積，邊長是 65－5＝60（米），所以這個正方形的面積就是60×60＝3600（平方米）。

師：誰聽懂了他的意思？

生：照這么說，剛才第三種方法可以看成是把小正方形平移到一起，現(xiàn)在這種方法是把道路平移到兩邊。

生：平移后，只是長方形的位置變了，所占的面積并沒有變化。

師：同學們，面積的計算是我們?nèi)昙墝W習的，而平移的這種運動方式是我們四年級才學習的，有了新知識，我們就可以創(chuàng)造新方法解決舊問題。一起想象一下，位于這個大正方形內(nèi)部的兩個長方形，移動它們位置，影不影響剩余部分的面積？

生：不影響。

師：通過平移，我們將原先需要復雜計算的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形，像這樣“平移轉(zhuǎn)化”的方法也是解決面積問題的好方法。

3.確定方法，遷移思路。

師：圖②我們研究到這里，兩條道路垂直的情況在這里還有一種，猜一猜它（圖③）剩余部分的面積會是多少呢？

生：也是3600平方米。

師：你是怎么知道的？誰來說一說你的思考過程。

生：我們只需要把兩個長方形平移到邊上，剩余部分就又變成了邊長為60米的正方形，所以面積也是3600平方米。

生∶我們可以通過移動，轉(zhuǎn)化成圖②，圖形一樣，面積當然也一樣！

師：再回頭來看圖①，你有什么新想法嗎？

生：我們可以把這兩個長方形都移到最下面，那么剩余部分就形成了一個長方形，長是65米，寬是 65－5－5＝55（米），面積就是 65×55＝3575（平方米）。

師：說一說，在這一輪的解決問題中，你有什么體會？

生∶不一樣的圖形可以通過平移轉(zhuǎn)化成相同的圖形。

生：有時可以通過平移的方法，把復雜的圖形轉(zhuǎn)化為一個更簡單的圖形。

師：平移轉(zhuǎn)化確實常常能化繁為簡，而數(shù)學總是在追求那種最簡單、最有效的方法。

三、分層練習，應(yīng)用鞏固知識

師：同學們，★題的第一個都完成了嗎？

生：我們可以把豎的兩個長方形都平移到最右邊，把橫的長方形平移到最下面，那么剩余的部分就變成了一個長方形，長是30－4＝26（米），寬是 30－4×2＝22（米），所以面積就是26×22＝572（平方米）。

師：利用平移轉(zhuǎn)化的方法來解決問題，只要抓住哪幾個關(guān)鍵信息就可以了？

生：大正方形的邊長，長方形的寬度。

生：大正方形的邊長減去對應(yīng)的幾條長方形的寬度的和就是剩余圖形的長或者寬了。

師：再請一位同學上來說一說★題的第二個。

生：我們可以把豎的三個長方形都平移到最右邊，把橫的長方形都平移到最下面，那剩余的部分就變成了一個長方形，長是25－3×2＝19（米），寬是 25－3×3＝16（米），所以面積就是19×16＝304（平方米）。

師：我們一起來試一試計算★★題。

生：這道題同樣可以用平移轉(zhuǎn)化的方法來做。我把橫著的長方形平移到最下面，把兩個豎的長方形分別移到最左邊和最右邊，那么白色長方形的長就是35－3＝32（米），寬就是 35－4－7＝24（米），那么面積就是 32×24＝768（平方米）。

師：老師看到有同學平移的方向是不一樣的：有把橫向的長方形平移到最上面的，有把豎著的兩個長方形都平移到最左邊或最右邊的，平移位置的不同會影響我們計算嗎？

生：不影響，因為就算平移的位置不同，但是面積的組成部分不變，面積還是一樣的。

四、總結(jié)回顧，反思學習過程

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生：我學會了用平移轉(zhuǎn)化的方法計算面積。

生：我發(fā)現(xiàn)只要知道大正方形的邊長和長方形的寬及個數(shù)，就能求出剩余部分的面積。

生：我發(fā)現(xiàn)同一個問題有好幾種不同的解題方法，用新學習的圖形運動的知識來轉(zhuǎn)化圖形，常常能夠使解題方法更簡單。

師：是的，今天我們在一系列的面積問題的研究中，體會到圖形與圖形看似不同，實質(zhì)相同，體會到不同的圖形可以用同樣的方法來化繁為簡。在變化的習題中找到聯(lián)系，在聯(lián)系的問題中發(fā)現(xiàn)變化——希望同學們繼續(xù)帶著這種變化與聯(lián)系的眼光來探索更多的數(shù)學奧秘！