淺議共軛薛定諤方程及其物理量算符

魏 標(biāo)，廖榮寶，金 鳳，金曉艷，田志美，董秋靜，陳水生，劉 杰，馬成丙

（阜陽師范學(xué)院 化學(xué)與材料工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

量子力學(xué)對現(xiàn)代科技產(chǎn)生了巨大影響，半導(dǎo)體技術(shù)[1]、晶體管[2-3]、原子鐘[4-6]、激光技術(shù)[7-8]、核武器[9-10]、量子通信技術(shù)[11-14]、電子存儲設(shè)備的巨磁阻效應(yīng)[15-18]等都與量子力學(xué)理論相關(guān)。而且量子力學(xué)理論還將持續(xù)推動人類對自然界的認(rèn)識。

1925年，奧地利物理學(xué)家薛定諤采用描述波動力學(xué)的波函數(shù)描述電子的運動，標(biāo)志著描述微觀粒子的波動力學(xué)正式誕生[19-21]。1926年，德國物理學(xué)家Born給出了波函數(shù)物理意義的解釋，即薛定諤方程得出的波函數(shù)的模平方是概率密度分布函數(shù)[22]。體系的狀態(tài)函數(shù)可通過求解薛定諤方程獲得，采用可觀測物理量對應(yīng)的算符作用于狀態(tài)函數(shù)可獲得體系的各種物理性質(zhì)。

狀態(tài)函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)，狀態(tài)函數(shù)的模平方是個實函數(shù)，且對于任何一個空間位點，模平方函數(shù)取值均為正。波恩把模平方函數(shù)與概率密度對應(yīng)起來，因此模平方函數(shù)具有明確的物理意義。不同于模平方函數(shù)，波函數(shù)本身及其共軛函數(shù)的物理意義并不明確。對波函數(shù)本身及其共軛函數(shù)物理意義的研究依然很有必要。本文對比了薛定諤方程及其共軛方程的數(shù)學(xué)形式差異，討論了二者本征函數(shù)、物理量算符之間的關(guān)系。

1 共軛薛定諤方程及算符

1.1 共軛薛定諤方程的推導(dǎo)

含時薛定諤方程如(1)式所示。對(1)式兩邊同時取復(fù)數(shù)共軛可得(2)式。采用(3)式把波函數(shù)ψ(r,t)的復(fù)共軛函數(shù)定義為一個新的波函數(shù)φ(r,t)，則必有(4)式成立?，F(xiàn)把(4)式命名為共軛薛定諤方程。顯然，如果存在狀態(tài)函數(shù)服從薛定諤方程(1)，那么必有與其共軛的狀態(tài)函數(shù)服從薛定諤方程(4)。反過來，如果通過共軛薛定諤方程獲得一個狀態(tài)函數(shù)φ(r,t)，那么φ(r,t)的復(fù)共軛函數(shù)必服從薛定諤方程(1)。

依據(jù)Born的觀點，狀態(tài)函數(shù)與其共軛函數(shù)的乘積對應(yīng)于概率密度。記服從薛定諤方程(1)的狀態(tài)函數(shù)ψ(r,t)對應(yīng)的概率密度為ρψ(r,t)，則有(5)式關(guān)系。記服從共軛薛定諤方程(4)的狀態(tài)函數(shù)φ(r,t)對應(yīng)的概率密度為ρφ(r,t)，則有(6)式關(guān)系。此時，有(7)式成立。依據(jù)密度泛函理論，具有相同密度分布的體系有相同的物理性質(zhì)。因此態(tài)函數(shù)ψ(r,t)與其共軛函數(shù)φ(r,t)在描述物理性質(zhì)方面并無本質(zhì)差別。所以，按照(4)式的共軛波動方程，也可解得態(tài)函數(shù)。依據(jù)密度泛函的觀點，這個態(tài)函數(shù)也可用于描述體系的物理狀態(tài)和各種物理性質(zhì)。

1.2 共軛薛定諤方程的算符

依據(jù)量子力學(xué)理論，可觀測物理量都對應(yīng)一個線性厄密的算符。薛定諤方程(1)中各個物理量對應(yīng)的算符是已知的。但適用于薛定諤方程(1)的算符不一定適用于共軛薛定諤方程(4)。由于方程(4)與方程(1)是共軛關(guān)系，且兩方程的解也有對應(yīng)的共軛關(guān)系，因此適用于共軛薛定諤方程(4)的算符與適用于薛定諤方程(1)的算符間也有共軛關(guān)系?，F(xiàn)分別給出適用于共軛薛定諤方程(4)的能量算符、哈密頓算符、動量算符、角動量算符，見(8)式至(11)式。

2 含時波函數(shù)必是非實數(shù)波函數(shù)

把(1)式和(4)式相減可得(12)式。假設(shè)含時波函數(shù)是實數(shù)波函數(shù)，則必有關(guān)系(13)式成立，進(jìn)而有(14)式成立。綜合(12)式和(14)式可知，狀態(tài)ψ(r,t)和φ(r,t)不存在。若含時波函數(shù)是非實數(shù)波函數(shù)，則無此問題。因此，由含時波動方程(1)或含時波動方程(4)獲得的波函數(shù)必是非實數(shù)函數(shù)。

3 小結(jié)

本文通過對薛定諤方程的變換得到了共軛薛定諤方程。給出了共軛薛定諤方程的某些物理量對應(yīng)的算符。通過共軛薛定諤方程也可解得體系的狀態(tài)函數(shù)，且共軛薛定諤方程解得的波函數(shù)對應(yīng)的概率密度分布與原薛定諤方程解得的波函數(shù)對應(yīng)的概率密度分布完全相同。因此得出，共軛薛定諤方程與原薛定諤方程具有同等地位。并進(jìn)一步通過對原薛定諤方程和共軛薛定諤方程的對比得出含時波函數(shù)必是一個非實數(shù)函數(shù)。