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    修正Camassa-Holm方程的可積推廣及其可積性質(zhì)

    2019-04-19 05:28:38洪建彬吳紅霞
    關(guān)鍵詞:哈密頓孤子將式

    洪建彬,吳紅霞

    (集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門 361021)

    0 引言

    修正的Camassa-Holm(modified Camassa-Holm,mCH)方程最初以一種新的可積系統(tǒng)被研究[1-3]。之后,文獻(xiàn)[4-5]重新發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出該方程。文獻(xiàn)[1]把三哈密頓結(jié)構(gòu)運用于mKdV方程的雙哈密頓形式中,從而推出mCH方程。

    眾所周知,mCH方程在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。例如,在物理學(xué)上,該方程描述是在淺水波上單方向傳播時的相互作用,其中u是自由液面高度,文獻(xiàn)[6]從二維流體力學(xué)的表面波推導(dǎo)出該方程;在幾何學(xué)上,該方程也來自一種內(nèi)在的(弧線保留)流在歐幾里得幾何[7]不變的平面曲線。從此,mCH方程引起了人們的關(guān)注。研究表明,mCH方程與CH方程有很多相似的可積性質(zhì),該方程具有Lax對和達(dá)布變換[8]、爆破波和peakon[7]、Well-posedness[9]、雙哈密頓結(jié)構(gòu)[1]、無窮守恒律、孤子解[10]。然而,mCH方程與CH方程的可積性質(zhì)[11]不同之處在于mCH方程具有高階非線性,所以mCH方程具有包括爆破波和multi-peakon動態(tài)等新的特點。而且,無論mCH方程在有無界條件下,該方程都具有光滑的亮孤子解[12]。

    作為孤子方程的可積推廣,帶源的孤子方程(soliton equations with self-consistent sources,SESCS)在很多領(lǐng)域如等離子體、固體物理和流體力學(xué)等均有廣泛的應(yīng)用。例如,帶源KdV方程描述了長短毛細(xì)-重力波的相互作用[13]。2010年,文獻(xiàn)[14]考察了帶自相容源的Camassa-Holm方程(Camassa-Holm equation with self-consistent sources,CHESCS)在淺水中不同孤立波的相互作用,同時構(gòu)造了CHESCS及其相應(yīng)Lax對、無窮守恒律和互反變換,也給出了CHESCS的一些新解,例如soli-ton、negaton、positon和單peakon解。

    已有學(xué)者對CHESCS進(jìn)行了研究,但對mCHESCS研究過少。由于CH方程具有二次非線性,而mCH方程具有三次非線性,這必將使得mCHESCS的構(gòu)造要比CHESCS的更復(fù)雜。本文主要研究mCH方程

    (1)

    的推廣問題,這里u(x,t)是與空間變量x和時間變量t有關(guān)的函數(shù)。本文主要研究mCHESCS的構(gòu)造和求解,同時,mCHESCS的Lax對、無窮守恒律和互反變換等一些可積性質(zhì)也會相繼給出。

    1 帶源mCH方程及其Lax對

    1.1 帶源mCH方程

    眾所周知,mCH方程(1)Lax對中的空間部分為

    (2)

    時間部分為

    (3)

    這里λ為譜參數(shù)。

    利用式(2)和式(3)的相容性可推導(dǎo)出mCH方程(1)。以下為mCH方程的雙哈密頓形式

    (4)

    對于n個不同的實數(shù)λj,考慮以下譜問題

    (5)

    (6)

    其中φ1j和φ2j由式(5)確定。由式(6)可推導(dǎo)出mCHESCS

    (7)

    φ1jx=-φ1j/2+λjmφ2j/2,φ2jx=-λjmφ1j/2+φ2j/2,j=1,…,N。

    (8)

    在式(8)條件下,mCHESCS可以重寫為

    (9)

    1.2 帶源mCH方程的Lax對

    下面推導(dǎo)出mCHESCS的Lax對。假設(shè)mCHESCS有如下的Lax對

    (10)

    (11)

    (12)

    λm(B3+C3)/[2(λ-λj)]+λm(B4+C4)/2+λ2m(B5+C5)/2}=0,

    (13)

    B3/(λ-λj)+B4+λB5],

    (14)

    (15)

    (16)

    (17)

    -A4x+m(B0+C0)/2+mλj(B2+C2)/2=0,-A5x+m(B2+C2)/2+m(B4+C4)/2=0,

    (18)

    B5+C5=0,A5=0,

    (19)

    (20)

    (21)

    B4x+mA0+λjmA2+B4=0,mt=2(B5x+mA2+mA4+B5)=0,

    (22)

    (23)

    (24)

    C4x+mA0+λjmA2-C4=0,mt=-2(C5x+mA2+mA4-C5)=0。

    (25)

    (26)

    (27)

    2 帶源mCH方程的無窮守恒律

    基于mCHESCS的Lax形式,構(gòu)造出帶源mCH方程的無窮守恒律。令Γ=φ2/φ1,其中φ1和φ2是由方程(26)和(27)所確定。由式(26)知道Γ滿足Riccati方程[15]

    Γx=-λm(Γ)2/2+Γ-λm/2。

    (28)

    由方程(26)和(27)可得出

    (lnφ1)x=-1/2+λmΓ/2, (lnφ1)t=V11+V12Γ,

    (29)

    其中,

    (30)

    注意到方程(29)的相容性條件,

    θt=Fx,

    (31)

    其中,θ=mΓ,

    (32)

    其中,θ為守恒密度,F(xiàn)為伴隨通量。以下通過兩種正負(fù)不同的λ的階展開Γ,從而得到守恒密度的顯式表達(dá)式。

    第一種以λ負(fù)階形式展開Γ,

    (33)

    其中Γj,θj和Fj(j=0,1,2,…)是與x,t有關(guān)的函數(shù)。

    將式(33)代入式(28)并比較λ的系數(shù),得到

    Γ0=I, I2=-1, Γ1=1/m,

    (34)

    以及與Γj有關(guān)的遞推公式:

    (35)

    將式(33)~式(35)代入式(32),分別得到方程(9)的守恒密度和伴隨通量,

    (36)

    其中Γj由式(34)和式(35)所確定。

    第二種Γ的展開是以λ的正階展開

    (37)

    將式(37)代入式(28)并比較λ的系數(shù),得到

    (38)

    將式(37)和式(38)代入式(32),同樣得到

    θ2j=0,F2j=0,j≥0,

    (39)

    以及

    (40)

    其中Γ2j+1由以下遞推公式所定義

    (41)

    3 帶源的mCH方程的互反變換

    方程(7)可重寫為

    (42)

    方程(42)給出封閉的1-form

    (43)

    以下通過文獻(xiàn)[8]的關(guān)系定義互反變換(x,t)→(y,s)

    (44)

    以及

    (45)

    進(jìn)而mCHESCS(7)可轉(zhuǎn)為以下新的形式

    (46)

    mφ1jy=-φ1j/2+λjmφ2j/2,mφ2jy=-λjmφ1j/2+φ2j/2,

    (47)

    且u與m有關(guān),即

    (48)

    稱式(46)、式(47)和式(48)的系統(tǒng)為相伴的mCHESCS(associated mCHESCS,AmCHESCS)?;诨シ醋儞Q(45),譜問題(26)的空間部分可轉(zhuǎn)變?yōu)檠Χㄖ@中的譜問題

    φ2yy=-λ2φ2/4+Uφ2,

    (49)

    以及

    U=1/(4m2)-my/(2m2)。

    (50)

    同樣,譜問題(27)的時間部分也可轉(zhuǎn)為

    (51)

    V=-2(u+ux)=-2(u+muy)。

    (52)

    由式(49)和式(51)的相容性,可得出

    (53)

    不難發(fā)現(xiàn),式(53)為負(fù)階的KdVESCS(negative order KdVESCS,NKdVESCS)。

    令ρ=φ2y/φ2。由方程(49)發(fā)現(xiàn),ρ滿足Riccati方程

    ρy=-λ2/4+U-ρ2。

    (54)

    將式(50)代入式(54),得到

    m=1/(2ρ)|λ=0=φ2(y,s,λ)/(2φ2y(y,s,λ))|λ=0。

    (55)

    注意到式(55)可用來求AmCHESCS的multi-soliton、multi-negaton和multi-positon解。

    4 帶源的mCH方程的解

    4.1 帶源的mCH方程的multi-soliton解

    由文獻(xiàn)[8],注意到負(fù)階的KdV方程的N-soliton已給出

    (56)

    其相應(yīng)特征函數(shù)

    φ=W(f1,f2,…,fN,eξj)/W(f1,f2,…,fN),

    (57)

    其中W是N個函數(shù)f1,f2,…,fN的朗斯基行列式。這里函數(shù)fj由以下

    (58)

    根據(jù)文獻(xiàn)[16]和常數(shù)變易法,得到NKdVESCS(53)的N-soliton解

    (59)

    (60)

    (61)

    注意到φ1和φ2的漸近性質(zhì)分別為

    (62)

    (63)

    進(jìn)一步,把式(63)代入式(48)中,得到以下mCHESCS的N-soliton解

    (64)

    其中α為任意常數(shù)且

    (65)

    特別地,當(dāng)N=1,從方程(64),得到如下mCHESCS的one-soliton解的參數(shù)形式

    (66)

    4.2 帶源的mCH方程的multi-negaton解

    αj(s)=yj(pj)

    (67)

    αN+j(s)=(pN+j-pj)ej(s)/pN+j+yj(pN+j),j=1,2,…,N,

    (68)

    其中:yj(k)是與k有關(guān)的漸近函數(shù);ej(s)是與s有關(guān)的任意函數(shù)。

    通過泰勒展開式和假設(shè)pN+j→pj,j=1,2,…,N,得到如下NKdVESCS(53)的N-negaton解

    (69)

    (70)

    與mCHESCS的N-soliton解的做法相似,得到如下mCHESCS的N-negaton解

    (71)

    其中α是任意可積常數(shù)且

    (72)

    特別地,當(dāng)N=1,從方程(71),得到mCHESCS的one-negaton解

    (73)

    4.3 帶源的mCH的multi-positon解

    當(dāng)N=0時,令V=-2k和U=1/(4k2)為NKdVESCS(53)的解,從方程(49)和式(51),得到

    φ2yy=(-λ2/4+1/(4k2))φ2,φ2s=-2kφ2/λ2。

    (74)

    注意到-λ2/4+1/(4k2)<0,得到如下(74)的解

    fj=sinξj,

    (75)

    與N-negaton解的做法相似,如下得到NKdVESCS(53)的N-positon解

    (76)

    (77)

    由式(77)知道如下φ1和φ2的漸近性質(zhì)

    (78)

    其中I2=-1。類似地,得到

    (79)

    與N-negaton解的做法類似,得到如下mCHESCS的N-positons解

    (80)

    其中α是任意可積常數(shù)且

    (81)

    特別地,當(dāng)N=1時,從方程(80),得到如下mCHESCS的one-positon解

    (82)

    5 結(jié)語

    本文推導(dǎo)出mCHESCS及其相應(yīng)的Lax對。此外,構(gòu)造出該方程的互反變換和無窮守恒律?;谶_(dá)布變換和常數(shù)變異法,得到mCHESCS的N-soliton、N-negaton和N-positon解。眾所周知,由于mCH方程存在peakon解,那么mCHESCS是否也有peakon解?這是一個令人感興趣的問題,在以后的研究中,筆者將會做進(jìn)一步的探討。

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