基于非線性M-C準(zhǔn)則的圓形基礎(chǔ)下伏土洞抗沖切破壞研究

王志斌，羅謝鑫，夏浩祥

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基于非線性M-C準(zhǔn)則的圓形基礎(chǔ)下伏土洞抗沖切破壞研究

王志斌，羅謝鑫，夏浩祥

(湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

針對(duì)土體材料特點(diǎn)，引入非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則及相關(guān)流動(dòng)法則，構(gòu)建圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切破壞模式。采用極限分析上限法推導(dǎo)出其極限承載力的計(jì)算公式，得出參數(shù)任意組合條件下圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切極限承載力。利用Plaxis 3D軟件建模分析，并與理論解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文方法的有效性。研究結(jié)果表明：非線性系數(shù)對(duì)極限承載力的影響較大，在其他參數(shù)條件一定的情況下，極限承載力與呈非線性負(fù)相關(guān)，且趨于穩(wěn)定。極限承載力隨土體初始黏聚力0，頂板厚度以及剛性基礎(chǔ)寬度的增大而增大，隨土體重度、土體抗拉強(qiáng)度的增大而減小。

非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則；極限分析；極限承載力；圓形基礎(chǔ)；沖切

我國(guó)巖溶地質(zhì)分布范圍廣泛，土洞是發(fā)育于可溶巖層上覆土體內(nèi)的空腔，是巖溶區(qū)常見(jiàn)的一種巖溶作用產(chǎn)物[1]。在一些沖積區(qū)，第四系土層覆蓋厚度較大，可達(dá)40余米，土洞深埋于第四系土層中[2]。當(dāng)樁基或獨(dú)立基礎(chǔ)位于土洞或軟弱下臥層上方時(shí)，常產(chǎn)生沖切破壞[3]。目前國(guó)內(nèi)外研究重點(diǎn)在于巖溶區(qū)樁基抗沖切破壞模式，Hongseob等[4]得出混凝土和巖石等脆性材料在受沖切作用破壞時(shí)的沖切破壞體并非標(biāo)準(zhǔn)的圓錐臺(tái)形，而是以一定曲線為母線所形成的軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體。趙明華等[5?6]通過(guò)將溶洞簡(jiǎn)化為梁板結(jié)構(gòu)模型，系統(tǒng)地研究了溶洞頂板的穩(wěn)定性與安全厚度；張慧樂(lè)等[7?8]采用室內(nèi)模型試驗(yàn)的方法，研究了巖溶區(qū)嵌巖樁的承載能力與破壞模式，得出嵌巖樁破壞模式和影響因素；劉善軍等[9]基于應(yīng)力平衡法建立了松散蓋層穩(wěn)定性計(jì)算公式。曾中林等[10]采用變分法對(duì)巖溶區(qū)條形剛性基礎(chǔ)下伏孔洞巖體沖切破壞機(jī)制進(jìn)行了研究。雷勇等[11]采用變分法得到巖溶區(qū)樁端巖層抗沖切安全厚度計(jì)算公式。這些研究指明了地下空洞變形破壞的方向。通過(guò)對(duì)以上研究現(xiàn)狀的總結(jié)發(fā)現(xiàn)，以往研究對(duì)象多集中在巖溶，以巖質(zhì)材料為主，對(duì)土質(zhì)材料形成的孔洞承受地表荷載的研究甚少。本文采用極限分析上限法，構(gòu)建圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞破壞模式，根據(jù)非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則及相關(guān)流動(dòng)法則，推導(dǎo)出其極限承載力的計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上采用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行編程求解，得出非線性Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則[12?17]參數(shù)任意組合條件下圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切極限承載力，利用Plaxis 3D軟件建模分析，并與理論解作了對(duì)比，兩者吻合較好，驗(yàn)證了本文方法的有效性，具有較強(qiáng)的理論與實(shí)踐意義。

1 基本理論

極限分析上限定理：對(duì)于任意一個(gè)有效破壞機(jī)構(gòu)，假定存在1個(gè)同時(shí)滿足速度邊界條件和應(yīng)變?速度相容條件的速度場(chǎng)，根據(jù)外荷載功率等于內(nèi)部能量損耗率的關(guān)系條件，能夠得到1個(gè)不小于實(shí)際破壞荷載的極限荷載。具體如式(1)所示。

2 剛性圓形基礎(chǔ)下伏土洞沖切上限分析

2.1 水平圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切破壞模型計(jì)算假定

根據(jù)極限分析上限定理，對(duì)于任意假定的沖切破壞機(jī)制，其速度場(chǎng)必須滿足機(jī)動(dòng)容許的要求，即滿足如下條件：1) 速度邊界條件；2) 幾何相容條件；3) 相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。通過(guò)虛功原理的功率平衡方程，解得的承載力為實(shí)際承載力的一個(gè)上限解。

由于極限分析上限定理是建立在將土體假想為理想的彈塑性體和忽略了其幾何變形的基礎(chǔ)上，故在構(gòu)建破壞模式時(shí)作如下假設(shè)：1) 圓形剛性基礎(chǔ)受沖切作用時(shí)，基礎(chǔ)下覆土體為理想的彈塑性介質(zhì)，破壞時(shí)服從非線性M-C強(qiáng)度屈服準(zhǔn)則及相關(guān)流動(dòng)法則；2) 基礎(chǔ)下部的破壞土體為剛性體，且破壞過(guò)程中不與剛性基礎(chǔ)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；3) 圓形剛性基礎(chǔ)直徑為2，下覆土層的厚度為，沖切破壞半徑為，下伏土洞頂部支護(hù)力為。

為求得土洞區(qū)圓形剛性基礎(chǔ)下覆土體受沖切作用時(shí)的極限承載力，必須先假定一種沖切破壞機(jī)制。為了使獲得的上限解盡可能接近真實(shí)解，假定的沖切破壞機(jī)制還必須與圓形剛性基礎(chǔ)下覆土體的實(shí)際破壞模式相同。Hongseob等[4]得出混凝土和巖石等脆性材料在受沖切作用破壞時(shí)的沖切破壞體是以一定曲線為母線所形成的軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體。這是由于混凝土與巖石等材料的強(qiáng)度屈服準(zhǔn)則往往具有非線性的特點(diǎn)，材料破壞面上應(yīng)力分布不均，從而導(dǎo)致破壞面母線為曲線形式。

根據(jù)極限分析上限定理和沖切破壞體自身的特點(diǎn)，構(gòu)建了圖1所示的沖切破壞機(jī)制，并對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)假定：

1) 圓形剛性基礎(chǔ)頂部受力的作用時(shí)傳遞到基礎(chǔ)底部的作用為圓形均布荷載，破壞時(shí)呈三維軸對(duì)稱破壞，且破壞場(chǎng)與基礎(chǔ)對(duì)稱軸重合。

2) 沖切破壞面方程開(kāi)始于剛性基礎(chǔ)端部邊緣，在土體內(nèi)部連續(xù)，其破壞面的母線幾何方程為()。

3) 圓形剛性基礎(chǔ)下覆土體為理想均質(zhì)彈塑性體，破壞時(shí)服從非線性MC強(qiáng)度屈服準(zhǔn)則。

4) 圓形剛性基礎(chǔ)在達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)，下覆土體內(nèi)部產(chǎn)生的塑性變形必須滿足相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的要求。

圖1 圓形剛性基礎(chǔ)三維沖切破壞機(jī)制

2.2 水平圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切極限承載力變分分析

2.2.1 水平圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切三維破壞機(jī)制的構(gòu)建

假設(shè)圓形剛性基礎(chǔ)下覆土體為理想均質(zhì)彈塑性體，破壞時(shí)服從非線性Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，剛性基礎(chǔ)與土體之間無(wú)相對(duì)位移，圓形剛性基礎(chǔ)極限狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的三維曲線型破壞機(jī)制構(gòu)建過(guò)程如下：首先假設(shè)有一條關(guān)于軸對(duì)稱的速度間斷線()，()自基礎(chǔ)底部開(kāi)始向下，直至土洞頂部，形成一個(gè)上部窄而下部寬的破壞面；其次令()繞軸旋轉(zhuǎn)180°，形成一個(gè)“漏斗”型的沖切破壞體；該沖切破壞體由半徑分別為和的圓和以()為母線的旋轉(zhuǎn)曲面組成。該沖切破壞體的體積和側(cè)表面積均可用解析數(shù)學(xué)的方法求解，在極限分析上限定理的能耗計(jì)算中，可以根據(jù)沖切破壞機(jī)構(gòu)的體積和側(cè)表面積算出其破壞機(jī)制的內(nèi)能耗散功率于外力功率。

2.2.2 水平圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切能耗計(jì)算

將剛性基礎(chǔ)下覆土體沖切破壞速度間斷面視為薄變形層，其厚度為，作用在變形層上的剪應(yīng)力為τ，正應(yīng)力為σ，滿足非線性M-C強(qiáng)度屈服準(zhǔn)則。屈服函數(shù)可表示為：

在主應(yīng)力空間內(nèi)，令塑性勢(shì)函數(shù)面與強(qiáng)度屈服面重合，根據(jù)相關(guān)流動(dòng)法則，可得塑性勢(shì)函數(shù)為[10]：

根據(jù)塑性位勢(shì)理論[10]：

則將式(3)代入式(4)中可得分離薄層上的塑性應(yīng)變率為：

根據(jù)圖1中幾何運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可得：

沖切破壞體分離薄層上的塑性應(yīng)變率也可表示為：

將式(6)代入式(7)中可得：

為滿足變形的相容協(xié)調(diào)，式(5)和式(8)中的塑性應(yīng)變率分量應(yīng)相等，故可得分離薄層上的正應(yīng)力分量和剪應(yīng)力分量：

沖切破壞時(shí)內(nèi)部能耗僅發(fā)生在剛性基礎(chǔ)下覆土體的破壞分離面處，故薄變形層上單位體積的耗散功率為：

沖切破壞時(shí)，破壞土體的側(cè)面積可以按旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式得到：

將式(10)沿沖切破壞體側(cè)面積積分可得速度間斷面上內(nèi)能耗散功率為：

沖切破壞時(shí)土體重力的功率為：

圓形剛性基礎(chǔ)極限承載力的功率為：

圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞洞頂支護(hù)力的功 率為：

根據(jù)虛功率原理建立平衡方程，內(nèi)能耗散功率等于外力功率，故有：

將式(12)~式(15)代入式(16)中可得圓形剛性基礎(chǔ)沖切極限承載力的表達(dá)式為：

式中：

由極限分析上限法可知，求解結(jié)果大于真實(shí)的極限承載力，其最小值才更接近真實(shí)解。極限承載力的極值由式(17)所確定，通過(guò)變分運(yùn)算可以將這一泛函的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解歐拉方程在滿足邊界條件下的定解問(wèn)題。對(duì)應(yīng)的歐拉方程為[10]：

根據(jù)歐拉方程對(duì)()和()的偏導(dǎo)分別為：

將式(20)代入式(19)并整理可得：

式中：1為積分常數(shù)，可由如下邊界條件求得。

由于沖切破壞時(shí)沒(méi)有水平外力作用，且沖切破壞為對(duì)稱破壞，故根據(jù)剛性基礎(chǔ)端部微元體的平衡可知，水平剪應(yīng)力分量τ=0。其表達(dá)式為：

其中：

故有：

將式(23)代入式(22)并由式(21)可得：

即：

故有：

由式(27)可知，只有當(dāng)?1是整數(shù)時(shí)，才能積分得到()的精確表達(dá)式，根據(jù)位移邊界條件求得積分常數(shù)以及沖切破壞寬度，進(jìn)而求得剛性基礎(chǔ)下覆單層土體沖切極限承載力u的表達(dá)式。根據(jù)圖1可知，位移邊界條件如下：

式中：為下伏土洞沖切破壞寬度。

當(dāng)其不是整數(shù)時(shí)，無(wú)法求得其原函數(shù)，但可根據(jù)差分原理并結(jié)合邊界條件分層迭代得到()的函數(shù)曲線形狀，同理，也可得到固定參數(shù)條件下極限承載力u的數(shù)值。

2.2.3 差分原理

為獲求任意參數(shù)條件下圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切極限承載力，以下利用差分原理進(jìn)行沖切破裂面曲線函數(shù)()數(shù)值求解，得到破裂面曲線函數(shù)()和旋轉(zhuǎn)后的三維曲面形狀，進(jìn)一步分層積分迭加可以求得對(duì)應(yīng)剛性基礎(chǔ)極限承載力u。

根據(jù)差分法的基本概念：

給定式中參數(shù)，，σ，0和，可得出任意點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)值。假設(shè)曲線的每一微段為x+1?x=Δ，則將每點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可視為點(diǎn)(x，(x))和點(diǎn)(x+1，(x+1))連接直線的斜率。將微小直線段近似為實(shí)際解析函數(shù)的曲線段，根據(jù)式(29)可得：

利用式(30)進(jìn)行迭加計(jì)算，可得出每點(diǎn)的(x+1)值，其表達(dá)式為：

由于無(wú)法得到精確的解析曲線表達(dá)式，極限承載力u的求解采取同樣的思路。首先得出每一微段直線對(duì)應(yīng)的薄層極限承載力u()的積分表達(dá)式：

將全部的薄層極限承載力積分進(jìn)行累加，可得整個(gè)破壞機(jī)構(gòu)的極限承載力u的表達(dá)式為：

根據(jù)以上推導(dǎo)過(guò)程，利用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行編程求解，可得出非線性Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則參數(shù)任意組合條件下圓形剛性基礎(chǔ)下伏巖溶土洞沖切極限承載力及其對(duì)應(yīng)三維破壞模式。

2.3 圓形剛性基礎(chǔ)下覆單層土體特殊分析模型

當(dāng)=1.0時(shí)，非線性MC準(zhǔn)則退化為線性Mohr- Coulomb準(zhǔn)則，沖切破壞面退化為理想的圓臺(tái)面，如圖2所示。

由圖2可知，破壞直線的斜率為：

故其破壞直線的函數(shù)形式為：

式中：為待定系數(shù)，可由如下邊界條件確定。

代入可得：

破壞直線方程為：

此時(shí)沖切破壞時(shí)內(nèi)能耗散功率為：

圖2 圓形剛性基礎(chǔ)三維沖切直線破壞機(jī)制

土體重力的功率為：

式中：表示破壞圓臺(tái)的體積。

根據(jù)虛功率原理建立平衡方程可得：

3 對(duì)比分析

采用Plaxis 3D建模進(jìn)行對(duì)比分析。在半無(wú)限空間中，沖切破壞為圓對(duì)稱破壞，故取1/4模型進(jìn)行分析，如圖3所示。模型邊界尺寸20 m×20 m×20 m，圓形剛性基礎(chǔ)半徑=1 m，其上作用有均布荷載，即未知的極限承載力，土層厚度=5 m，孔洞半徑=4.5 m，洞頂支護(hù)力=20 kN/m2，土體容重=18 kN/m3，土體黏聚力為=20 kPa，單軸抗拉強(qiáng)度t=30 kPa，非線性系數(shù)=1.0，內(nèi)摩擦角=33.7°，楊氏模量=10 000 kN/m2，泊松比=0.3，不考慮水的影響。

圖3 1/4模型圖

利用Plaxis 3D軟件進(jìn)行塑性分析和安全性分析，通過(guò)在剛性基礎(chǔ)上施加荷載，計(jì)算模型的安全系數(shù)，當(dāng)計(jì)算得到的安全系數(shù)恰好為1時(shí)，此時(shí)的荷載為極限荷載。通過(guò)計(jì)算，得到的沖切極限承載力約為177 kN，安全系數(shù)s=1.002，其塑性剪切帶三維圖如圖4所示。而本文基于極限分析上限定理所得沖切極限承載力為185.5 kN，孔洞破壞寬度約為4.33 m，其極限承載力和破壞寬度的誤差分別為4.58%和3.93%，均不超過(guò)5%。同時(shí)，將剪切破壞帶與理論解的破壞曲線作了對(duì)比，并將其展示在同一張圖中，如圖5所示，兩者吻合較好，由此可說(shuō)明本文方法的可行性和有效性。

圖4 塑性剪切帶

圖5 三維破壞曲面剖面圖

4 參數(shù)與破壞模式分析

由式(17)可知，影響圓形剛性基礎(chǔ)土洞頂板的沖切極限承載力的因素眾多。且非線性M-C準(zhǔn)則的非線性系數(shù)對(duì)極限承載力的影響更為顯著，以下分析土洞頂板自由沖切極限承載力隨單一參數(shù)的影響變化情況以及破壞模式的變化。取剛性基礎(chǔ)半徑=0.5~1.5 m，土體抗拉強(qiáng)度t=40~60 kPa，土體初始黏聚力0=10~30 kPa，土體重度=16~24 kN/m3，頂板厚度=4~8 m，土洞頂板底部支護(hù)力=100 kPa，分別繪制出極限承載力隨=1.0~3.0之間變化時(shí)的影響曲線。如圖6~10所示。

圖6 Pu隨C0變化曲線

綜合圖6~10可知，非線性系數(shù)對(duì)極限承載力的影響較大，在其他參數(shù)條件一定的情況下，極限承載力與呈非線性負(fù)相關(guān)，且趨于穩(wěn)定。極限承載力隨土體初始黏聚力0，頂板厚度以及剛性基礎(chǔ)寬度的增大而增大，隨土體重度、土體抗拉強(qiáng)度的增大而減小。

圖7 Pu隨d變化曲線

圖8 Pu隨γ變化曲線

圖9 Pu隨σt變化曲線

圖10 Pu隨H變化曲線

5 結(jié)論

1) 根據(jù)非線性Mohr-Coulomb準(zhǔn)則及相關(guān)流動(dòng)法則，構(gòu)造出圓形基礎(chǔ)下伏土洞土體沖切破壞的機(jī)動(dòng)速度場(chǎng)，利用極限分析上限法結(jié)合變分原理，推導(dǎo)出圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切破壞時(shí)的破壞曲面函數(shù)，利用差分原理結(jié)合邊界條件迭代出破壞曲面函數(shù)形狀及其極限承載力，拓展分析了圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞沖切破壞時(shí)的特殊模型。利用Plaxis 3D軟件建模分析，并與理論解作了對(duì)比，兩者吻合較好，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

2) 對(duì)于圓形剛性基礎(chǔ)下伏土洞的沖切破壞，非線性系數(shù)對(duì)極限承載力的影響較大，在其他參數(shù)條件一定的情況下，極限承載力與呈非線性負(fù)相關(guān)，且趨于穩(wěn)定。極限承載力隨土體初始黏聚力、頂板厚度以及剛性基礎(chǔ)寬度的增大而增大，隨土體重度、土體抗拉強(qiáng)度的增大而減小。

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Punching analysis of soil under circular foundation based on nonlinear M-C criterion

WANG Zhibin, LUO Xiexin, XIA Haoxiang

(School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

The nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion and the associated flow rule have been introduced according to the characteristics of soil mass, and then the punching failure mechanism of the soil with an underlying circular rigid foundation was constructed. Then the calculation formula of the ultimate bearing capacity was established using limit analysis method. Furthermore, the ultimate bearing capacity of the soil with an underlying circular rigid foundation was obtained in the condition of arbitrary combination of parameters. The Plaxis 3D software was used to analyze, and the numerical results were in agreement with the theoretical solutions, which verified the validity of the proposed method. The influence of parameters on ultimate bearing capacity was also analyzed, and the results shows that the influence of the nonlinear coefficienton the ultimate bearing capacity is obvious, and that the ultimate bearing capacity decreases with the increase of, and the decreasing trend tends to be gentle with given parameters,. The ultimate bearing capacity increases with the0of initial cohesive force of soil, the roof thickness and the rigidity foundation width, and decreases with the increase of soil weight and the increase of soil tensile strength.

nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion; limit analysis; ultimate bearing capacity; circular foundation; punching

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.03.011

TU473

A

1672 ? 7029(2019)03 ? 0637 ? 09

2018?04?01

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2017YFB1201204)

王志斌(1975?)，男，湖南桃江人，講師，博士，從事邊坡穩(wěn)定性及隧道圍巖穩(wěn)定性等研究；E?mail：71496933@qq.com

(編輯 涂鵬)